一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由集合的描述有或，應用集合的交補運算求即可.
【詳解】由或，
∴，由，
∴.
故選：B
【點睛】本題考查了集合的基本運算，根據(jù)已知集合利用交補運算求集合，屬于簡單題.
2．已知復數(shù)z滿足，則復數(shù)在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算法則、結合共軛復數(shù)的定義、復數(shù)在復平面內對應點的特征進行求解即可.
【詳解】，
所以復數(shù)在復平面內對應的點位于第四象限，
故選：D
3．設直線的方程為，則的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求得直線斜率的取值范圍，進而求得的傾斜角的取值范圍.
【詳解】直線的斜率，
所以直線的傾斜角的取值范圍是.
故選：A
4．已知點在圓上運動，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】將問題轉化為直線與圓有交點，從而列式即可得解.
【詳解】依題意，設，整理得，
因為點在圓上運動，
所以直線與圓有交點，
又圓心為，半徑為，所以，解得，
經(jīng)檢驗，滿足題意，
所以的最大值為.
故選：C.
5．設點A，B的坐標分別是，，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是，點M的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用斜率坐標公式列式計算作答.
【詳解】設，因直線AM，BM的斜率之積是，則有，整理為，
顯然有，所以點M的軌跡方程為.
故選：A
6．設為等差數(shù)列的前n項和，設甲：，乙：是單調遞減數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分不必要條件
B．甲是乙的必要不充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲是乙的既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)，則（）；（），但不一定小于0，得到答案.
【詳解】若，則（），所以是單調遞減數(shù)列；
若是單調遞減數(shù)列，則（），即（），
但不一定小于0.
所以甲是乙的充分不必要條件，
故選：A.
7．在平面直角坐標系中，雙曲線的左、右焦點分別為，點M是雙曲線右支上一點，且為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連結.判斷出為直角三角形，且，由雙曲線的定義得到，求出離心率.
【詳解】如圖示，連結.
因為為等邊三角形，所以.
所以.
因為，所以.
又，所以，所以.
在中，，所以.
由雙曲線的定義可得：，即，
所以離心率.
故選：A.
8．已知函數(shù)，方程有四個不同的根，記最大的根的所有取值為集合，若函數(shù) 有零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】畫出函數(shù)的圖象，結合圖象可知，若函數(shù) 有零點轉化為與有交點，考慮特殊位置，直線與曲線相切時斜率最大，直線過點時斜率最小，求出兩個位置直線斜率即可寫出斜率的取值范圍.
【詳解】解：畫出函數(shù)的圖象如下圖所示，
方程有四個不同的根，即與有個交點，則，
由圖可知，，令得，即與在上有交點，
當過時斜率最小，此時，
當與相切時，斜率最大．設切點為，由，則，即切線的斜率為，
故有，即，即，所以斜率為．
所以
故選：B．
二、多選題
9．已知分別為直線的方向向量（不重合），分別為平面的法向量（不重合），則下列說法中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)直線方向向量、平面法向量定義，結合向量間的位置關系判斷線線、線面、面面關系即可.
【詳解】對A，當直線的方向向量平行時，由于直線不重合，故直線平行，反之直線平行時，方向向量也平行，故A正確；
對B，當時，直線可能在平面內，也可能與平面平行，所以得不到，故B錯誤；
對C，當兩平面法向量平行時，兩平面平行，當兩平面垂直時，兩平面法向量垂直，故C錯誤；
對D，兩平面的法向量垂直與兩平面垂直等價，故D正確.
故選：AD
10．已知函數(shù)對任意都有，若函數(shù)的圖象關于對稱，若，則下列結論正確的是（ ）
A．的圖象關于直線對稱B．
C．的圖象關于點對稱D．
【答案】BC
【分析】結合題意，借助函數(shù)的圖象變換及對稱性，周期性判斷即可.
【詳解】解：對于選項：由函數(shù)的圖像關于對稱，
根據(jù)函數(shù)的圖象變換，可得函數(shù)的圖象關于對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以錯誤；
對于選項B：由函數(shù)對任意都有，
可得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
因為，可得，則，
所以正確；
又因為函數(shù)為偶函數(shù)，即，所以，
可得，所以函數(shù)關于中心對稱，所以正確；
所以，所以，所以錯誤.
故選：BC.
11．已知與，以下結論正確的有（ ）
A．與有且僅有2條公切線
B．若直線與分別切于相異的兩點，則
C．若分別是與上的動點，則的最大值為16
D．與的一條公切線斜率為
【答案】BD
【分析】A選項，得到兩圓外切，得到公切線條數(shù)；C選項，數(shù)形結合得到當四點共線時，最大，求出最大值；BD選項，先得到直線的斜率存在，設其與軸交點為，斜率為，作出輔助線，求出且斜率為.
【詳解】選項A，由題意可知：的圓心，半徑，
的圓心，半徑，
因為，所以與外切，
所以與有且僅有3條公切線，故錯誤；
選項C：因為，
當且僅當四點共線時，等號成立，所以的最大值為10，故錯誤；
選項BD：當直線的斜率不存在時，直線與分別切于相同的點，不合要求，
顯然直線的斜率存在且不為0，根據(jù)對稱性，
不妨設直線的與軸交點為，斜率為，如圖所示，
連接，過作，垂足為，
可知四邊形為矩形，且，
在Rt中，可得，
所以，
故直線的斜率，故BD正確.
故選：.
12．已知，是橢圓與雙曲線共同的焦點，，分別為，的離心率，點是它們的一個交點，則以下判斷正確的有（ ）
A．面積為
B．若，則
C．若，則的取值范圍為
D．若，則的取值范圍為
【答案】ABD
【分析】由橢圓和雙曲線的焦點三角形面積公式可判斷A；由和結合基本不等式可判斷B；由條件可得，結合函數(shù)的性質可判斷C、D.
【詳解】設，，，
不妨設點是，在第一象限內的交點，則，
，，所以，，
在中，由余弦定理可得：，
即，
一方面，
所以，此時面積為
；
另一方面，，
所以，此時面積為
，
對于A，因為，所以，故A正確；
對于B，因為且，所以，
所以，
所以，所以，又，
所以，故B正確；
當時，
由得，
即，所以，所以，，
對于C，令，
則，
所以，，故C錯誤；
對于D，，
記，則，
函數(shù)是對勾函數(shù)，在上單調遞增，
所以，
即的取值范圍為，故D正確.
故選：ABD
三、填空題
13．已知，則的最小值為 .
【答案】
【分析】先利用冪指數(shù)運算求出ab的值，在利用基本不等式求和的最小值即可
【詳解】因為
所以
所以，
當且僅當即時取等號
故答案為：.
14．過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，如果，那么＝ .
【答案】12
【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線的準線方程，再結合拋物線定義計算作答.
【詳解】拋物線的準線為：，設拋物線的焦點為F，
由拋物線定義得：，
所以.
故答案為：
15．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像平移變換，寫出函數(shù)的解析式，再由函數(shù) 在區(qū)間上有且僅有一個零點，列出不等式組求出的取值范圍即可
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的圖象
再將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），
得到函數(shù)的圖象，
函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，
，
解得
故答案為
【點睛】本題主要考查了函數(shù)的圖像變換，考查了計算能力，而且還涉及了零點問題，有一定綜合性，屬于中檔題．
16．表面積為的球面上有四點，，，且是等邊三角形，球心到平面的距離為，若平面平面，則棱錐體積的最大值為 ．
【答案】27
【分析】根據(jù)球的表面積公式，結合面面垂直的性質、三棱錐的體積公式進行求解即可.
【詳解】設球的半徑為，
因為球的表面積為，所以有.
設的中心為,則 ,所以 ，
則，
棱錐的底面積為定值，
欲使其體積最大，應有到平面的距離取最大值，
又平面平面，
所以由球的性質可知：當在平面上的射影是的中點時，點到平面的距離取最大值，而，
顯然有平面，平面，因此，
過做，于是有，，
則到平面的距離的最大值為，
∴.
故答案為：27
【點睛】關鍵點睛：利用球的性質，結合面面垂直的性質是解題的關鍵.
四、解答題
17．已知函數(shù).
(1)若，求的值；
(2)當時，的解集為，求.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根據(jù)得到方程，求出或；
（2）解分式不等式，求出解集.
【詳解】（1），則，即，
解得：或.
（2）當時，，
等價于，
解得：，
所以.
18．已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，的前項和，，．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由的前項和即可求出等比數(shù)列的通項公式，由和即可求出等差數(shù)列的通項公式.
（2）利用錯位相減法即可求得數(shù)列的前項和.
【詳解】（1）設的公差為，的公比為，
由已知可得，，則，
即．
∵，∴，
又∵，
∴，解得，即．
（2）由（1）知，
令①，
①式兩邊同乘得：②，
錯位相減得
則．
19．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）如圖，若點D在邊上，，，E為垂足，，，求長．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）根據(jù)題中條件，由正弦定理，求出，即可得出角；
（Ⅱ）根據(jù)，得到為等腰三角形，再由，，求出，結合正弦定理求出，得出，由，即可求出結果.
【詳解】（Ⅰ）因為，
由正弦定理可得，
則，即，所以，
又為三角形內角，所以；
（Ⅱ）因為，所以為等腰三角形，且角為一個底角，所以角，
又，所以為中點，則；
在中，，，，
由正弦定理可得，，
所以，
因此在中，.
【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理即可，涉及兩角和的正弦公式，屬于基礎題型.
20．如圖，在棱長是2的正方體中，分別為的中點.

(1)證明：平面；
(2)求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）以點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，由可證明，再由線面平行的判定定理即可證明.
（2）先求出平面的法向量和直線的方向向量，由點到平面的距離公式求解即可.
【詳解】（1）以點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，
分別為的中點，，.
，
又平面平面，
平面.
（2），
設平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
所以平面的法向量，
點到平面的距離.
21．如圖，過點E（1，0）的直線與圓O：相交于A，B兩點，過點C（2，0）且與AB垂直的直線與圓O的另一交點為D.
(1)當點B坐標為（0，）時，求直線CD的方程；
(2)求四邊形ACBD面積S的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當時，直線的斜率為2，由與垂直，直線的斜率為，由此能求出直線的方程.
（2）當直線與軸垂直時，，，四邊形的面積，當直線與軸不垂直時，設直線方程為，則直線方程為，求出點到直線的距離，從而得到弦長和，由此利用配方法能求出四邊形面積的最大值.
【詳解】（1）當時，直線的斜率為，
與垂直，直線的斜率為，
直線的方程為，即.
（2）當直線與軸垂直時，，
四邊形的面積
當直線與軸不垂直時，設直線方程為
即
則直線方程為，即
點到直線的距離為
則四邊形面積
令（當時，四邊形不存在）

四邊形面積的最大值為.
22．已知函數(shù)．
(1)若在單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，，且，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用導數(shù)求得，根據(jù)條件單調遞增，得到在上恒成立，從而得到在上恒成立，結合二次函數(shù)的圖像與性質即可求解；
（2）先化簡得到，求導得到，根據(jù)條件有兩個極值點，（），得到，是方程的兩個不同的根，結合韋達定理將不等式轉化為，構造函數(shù)，，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，則，
若單調遞增，則在上恒成立，
即在上恒成立，
又在上單調遞減，于是，
所以，
故實數(shù)a的取值范圍為.
（2）證明：（），
則，
依題意可得，是方程的兩個不同的根，
于是，，，即，
又，則，.
要證，
只需證，
即證，，
因為，所以，
從而，
令，，
則，
設，則，
令，解得：（舍去），
由，得，由，得，
于是在上單調遞增，在上單調遞減，
即在上單調遞增，在上單調遞減，
而，，于是在上，，
因此在上單調遞增，從而，
綜上所述，，
所以原命題得證．
【點睛】方法點睛：破解含雙參不等式證明題的3個關鍵點
（1）轉化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關系式，并把含雙參的不等式轉化為含單參的不等式.本題中得到，是方程的兩個不同的根，根據(jù)韋達定理得到及，從而將原不等式轉化為只的不等式；
（2）巧構造函數(shù)，再借用導數(shù)，判斷函數(shù)的單調性，從而求其最值.本題中構造函數(shù)，；
（3）再次利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，即可證得結果.

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