一、單選題
1．已知集合只有一個(gè)元素，則a的值為 （ ）
A．0B．1C．0或1D．—1
【答案】C
【詳解】因?yàn)榧现挥幸粋€(gè)元素，
所以或或，選C.
2．若直線，，則直線間的位置關(guān)系是
A．平行B．異面或平行C．相交D．異面
【答案】B
【解析】利用空間中線線，線面的位置關(guān)系判斷即可.
【詳解】解：若直線，，則直線間的位置關(guān)系是平行或異面，
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查空間中線線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.
3．若k∈R則“k>5”是“方程 表示雙曲線”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線意義，求得k的取值范圍；結(jié)合充分及必要關(guān)系即可判斷．
【詳解】若k>5，則
所以方程 表示雙曲線
若方程 表示雙曲線，則
所以 或
綜上可知，“k>5”是“方程 表示雙曲線”的充分不必要條件
所以選A
【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，充分及必要條件關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
4．若復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．3B．4C．5D．7
【答案】C
【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念結(jié)合復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算求解.
【詳解】∵，則，
∴.
故選：C.
5．已知函數(shù)y＝f(x)的表達(dá)式為f(x)＝|lg2x|，若0＜m＜n且f(m)＝f(n)，則2m+n的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式和的取值范圍可求出mn＝1，從而利用基本不等式即可求出2m+n的取值范圍.
【詳解】因?yàn)閒(x)＝|lg2x|，0＜m＜n且f(m)＝f(n)，
所以，即，所以mn＝1．
∴2m+n≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)2m＝n，即時(shí)等號(hào)成立．
故2m+n的取值范圍為.
故選：D．
6．雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為，，，兩點(diǎn)在雙曲線上，且，，線段交雙曲線于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)，線段交雙曲線于點(diǎn)，且確定的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可求出雙曲線的離心率．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，則由對(duì)稱性可知，
因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，則，
將代入雙曲線，
可得，，消去得，故．
故選：D.
7．已知無(wú)窮正整數(shù)數(shù)列滿足，則的可能值有（ ）個(gè)
A．2B．4C．6D．9
【答案】C
【分析】變形給定的遞推公式，由，推導(dǎo)出矛盾，從而得，再代入即可分析求解.
【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，即，
于是，依題意，
若，有，則，即是遞減數(shù)列，
由于是無(wú)窮正整數(shù)數(shù)列，則必存在，使得與矛盾，
因此，即，于是數(shù)列是周期為2的周期數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，由，得，即，
從而，所以的可能值有6個(gè).
故選：C
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問(wèn)題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，結(jié)合已知條件探討項(xiàng)間關(guān)系而解決問(wèn)題.
8．已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，則b的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】轉(zhuǎn)化問(wèn)題為，恒成立，令，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，從而求得最值，可得，，進(jìn)而結(jié)合不等式的基本性質(zhì)求解即可.
【詳解】由題意，即，恒成立，
即，
即，
即．
令，，
則，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
又，，，
且，即，
所以的最小值為，最大值為．
由知，，，
設(shè)，
即，
則，解得，，
所以，
因?yàn)?，?br>所以，
，
則，
即，
所以b的最大值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，恒成立，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析其最值，最后結(jié)合不等式的基本性質(zhì)求解.
二、多選題
9．已知直線，直線，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)為B．直線恒過(guò)點(diǎn)
C．若，則D．存在，使
【答案】ABC
【分析】將代入解得兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為可判斷A；令解得可判斷B，由直線垂直的條件可判斷C，由直線平行的條件可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線，直線，
聯(lián)立解得
所以兩直線的交點(diǎn)為，故A正確；
對(duì)于B，直線，令解得即直線恒過(guò)點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于C：若，則，解得，故C正確；
對(duì)于D，假設(shè)存在，使，則，解得或，
當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，舍去，
當(dāng)時(shí)，直線，直線，兩直線重合，舍去，
所以不存在，使，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10．在中，，，，是邊上的一點(diǎn)，則（ ）
A．B．外接圓的半徑是
C．若，則D．若是的平分線，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式判斷A選項(xiàng)，應(yīng)用余弦定理及正弦定理判斷B選項(xiàng)，應(yīng)用向量加減法判斷C選項(xiàng)，根據(jù)面積公式求解判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：由余弦定理，得，解得，
由正弦定理，得外接圓的半徑是，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，所以，則，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：由等面積法，得
即，解得，故選項(xiàng)D正確；
故選：.
11．設(shè)向量滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式，將平方后，即可判斷A；由已知變形得，平方后即可求，即可判斷B；利用向量模的數(shù)量積公式即可判斷C；根據(jù)向量數(shù)量積的夾角公式，即可判斷D.
【詳解】將平方得，
由，，得，故A正確；
由平方得，得，所以，故B不正確；
因?yàn)?，所以，所以，所以，即，故C正確；
由選項(xiàng)C可得，，與C同理可得，，，
所以，故D正確．
故選：ACD
12．定義數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．是單調(diào)遞減數(shù)列B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)，得，結(jié)合選項(xiàng)利用各項(xiàng)間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)一次求解即可.
【詳解】由題意得，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
若，又因?yàn)椋瑒t，則，
又因?yàn)?，所以，所?
對(duì)A：設(shè)，可得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以時(shí)，，所以，所以，
由，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，則，同理得，
當(dāng)時(shí)，，所以，故數(shù)列單調(diào)遞減，選項(xiàng)A正確；
對(duì)B：需證明，
令，
令，則，
成立，所以，選項(xiàng)B正確；
對(duì)C：，設(shè)，
設(shè)，則，
所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以隨著減小，從而增大，
所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)D：當(dāng)時(shí)，根據(jù)選項(xiàng)B可知，，
當(dāng)時(shí)，，即，選項(xiàng)D正確．
故選:ABD
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用，結(jié)合構(gòu)造的模型函數(shù)進(jìn)行求解.
三、填空題
13．已知函數(shù)，若，則 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【詳解】解：函數(shù)，，
，
．
故答案為：．
14．飛鏢運(yùn)動(dòng)于十五世紀(jì)興起于英格蘭，二十世紀(jì)初，成為人們?cè)诰瓢扇粘Ｐ蓍e的必備活動(dòng).某熱愛(ài)飛鏢的小朋友用紙片折出如圖所示的十字飛鏢，該十字飛鏢由四個(gè)全等的四邊形拼成.在四邊形中，，，，，點(diǎn)是八邊形內(nèi)（不含邊界）一點(diǎn)，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】延長(zhǎng)至點(diǎn)，作，延長(zhǎng)至點(diǎn)，作，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，再利用向量的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而根據(jù)的位置確定取值范圍即可
【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，作，延長(zhǎng)至點(diǎn)，作，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.，.
.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，.故的取值范圍是.
故答案為：
15．已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且在上單調(diào)遞減，則的最大值為 .
【答案】
【分析】由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上得到，再結(jié)合在上單調(diào)遞減，求得函數(shù)即可.
【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
所以.又在上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以，
易知的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以的最大值為.
故答案為：
16．已知，，為曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為曲線與曲線在第一象限的交點(diǎn)，直線為曲線在點(diǎn)P處的切線，若三角形的內(nèi)心為點(diǎn)M，直線與直線交于N點(diǎn)，則點(diǎn)橫坐標(biāo)之差為 ．
【答案】
【分析】由題意寫(xiě)出明確兩曲線的焦點(diǎn)，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出P點(diǎn)處的切線方程，利用圓的切線性質(zhì)結(jié)合雙曲線幾何性質(zhì)求出三角形內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)，再表示出直線的方程，聯(lián)立解得N點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可求得答案.
【詳解】由題意得，，為曲線的左、右焦點(diǎn)，
點(diǎn)P為曲線與曲線在第一象限的交點(diǎn)，即C、E有相同的焦點(diǎn)，
則，聯(lián)立，消去，得，
又，可得，
對(duì)于橢圓，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，令，
則橢圓化為圓，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)即為，
由圓上一點(diǎn)處的切線方程可知在處的切線方程為，
故可得橢圓在處的切線方程為，
故由直線為曲線在點(diǎn)處的切線，P點(diǎn)在第一象限，
則，可得直線方程為①，
設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為，由等面積得，
，則 ②，
又P在雙曲線上，設(shè)三角形內(nèi)切圓圓心，各邊上的切點(diǎn)分別為，如圖：
由圓的切線性質(zhì)得，則，
即，即M點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，
由，可得直線的方程為③ ，
聯(lián)立①②③，化簡(jiǎn)可得，又，故.
故答案為：
四、解答題
17．在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．
(1)求；
(2)為邊上一點(diǎn)，，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知等式去分母，正弦定理邊化角，利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，可得角；
（2）由且，利用向量法求得，再結(jié)合余弦定理求和.
【詳解】（1）已知，
由，有，
所以，
兩邊同乘以abc得：．
由正弦定理得：．
由，，所以，．
（2）取、為平面向量的基底．
因?yàn)镈在BC邊上，且，
所以．
因?yàn)椋?，則
即，得，
所以，．
不妨設(shè)，．
在中，由余弦定理：，所以．
由余弦定理：．
18．2023年9月23日第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州開(kāi)幕，本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目.為研究不同性別學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況，某學(xué)校進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件 “了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目”， “學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)，.
附：，.
(1)根據(jù)已知條件，填寫(xiě)下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān)?
(2)現(xiàn)從該校了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取9名學(xué)生，再?gòu)倪@9名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，該校學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別無(wú)關(guān)
(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為
【分析】（1）根據(jù)題中所給條件填寫(xiě)表格，寫(xiě)出零假設(shè)，根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計(jì)算出值，與比較，得出結(jié)論即可.
（2）根據(jù)題意知其服從超幾何分布，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目了解的女生為，了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生為，
結(jié)合男生和女生各50名，填寫(xiě)2×2列聯(lián)表為：
零假設(shè)：該校學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別無(wú)關(guān)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷成立，
即該校學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別無(wú)關(guān).
（2）由（1）知，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取9名學(xué)生，
其中男生人數(shù)為（人）；
女生人數(shù)為（人），
由題意可得，隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3.
，，
，.
隨機(jī)變量的分布列如下：
則.
五、問(wèn)答題
19．已知數(shù)列中，，，數(shù)列中，，.
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求使得恒成立的最大正整數(shù)的值.
【答案】（1）；；（2）6.
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，再與相減可得，從而得到是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，易得是常數(shù)列且，即可得到答案；
（2）利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列的前項(xiàng)和為，求出的最小值，再解不等式，即可得到答案；
【詳解】解：（1）由題意知，∴當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，∴，
當(dāng)時(shí)，，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴.
數(shù)列中，，，
∴是常數(shù)列且
∴.
（2）由（1）知，則數(shù)列的前項(xiàng)和為
，
，
兩式相減可得，
∴，顯然單調(diào)遞增，
∴，
故恒成立，即恒成立，解得，
所以最大正整數(shù).
六、證明題
20．如圖，在四棱臺(tái)中，底面是中點(diǎn)．底面為直角梯形，且．

(1)證明：直線平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意先證平面，進(jìn)而可得，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)線面垂直的判定定理分析證明；
（2）建系，分別求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.
【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，底面，則，
由題意可知：，且平面，
所以平面，且平面，可得，
不妨設(shè)，由題意可得：，
可知：，即，
且，平面，
所以直線平面.
（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，

則，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
可得，
設(shè)二面角為，則，
所以二面角的正弦值.
七、解答題
21．已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為．橢圓的中心為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，且．
(1)求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與拋物線交于，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)．記和的面積分別為和，是否存在直線，使得？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，其方程為或
【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)直接可得拋物線方程，再設(shè)，，結(jié)合，可得橢圓方程；
（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，可得面積，再根據(jù)，可得直線方程.
【詳解】（1）由拋物線的焦點(diǎn)為，
可知，所以，
所以拋物線的方程為；
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，
所以，，
由，可得，
又，
所以，解得或（舍），
則，
所以橢圓方程為；
（2）
由題意可知，直線的斜率一定不為，
則設(shè)直線的方程為，，，，，
聯(lián)立直線與拋物線，得，，
則，，
所以的面積，
聯(lián)立直線與橢圓，得，
，
則，，
所以的面積，
又，
所以，解得，
所以存在滿足條件的直線，且直線方程為或.
【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．
(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
22．已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求在區(qū)間上的最大值；
(3)設(shè)實(shí)數(shù)a使得對(duì)恒成立，求a的最大整數(shù)值.
【答案】(1)
(2)
(3)-2
【分析】（1）求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可得出切線方程；
（2）求出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出最值即可；
（3）依題意，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為在R恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和最小值的范圍，進(jìn)而求解.
【詳解】（1），，
，，所求切線方程為，即，
所以切線方程為.
（2）令，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.
又，，，使得.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
又，，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.
（3）不等式恒成立等價(jià)于恒成立,
令，當(dāng)時(shí)，，恒成立,
當(dāng)時(shí)，令，則,
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的值域?yàn)?
，，
，
所以a的最大整數(shù)值為-2.
【點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍，常見(jiàn)兩種方法：
（1）利用分類討論思想求出函數(shù)的單調(diào)性及最值，進(jìn)而求參數(shù)范圍；
（2）利用分離變量思想，構(gòu)造新的函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求新的函數(shù)的最值，進(jìn)而求參數(shù)的范圍.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
了解
不了解
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
了解
不了解
合計(jì)
男生
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30
20
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合計(jì)
45
55
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