一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用并集運(yùn)算求解.
【詳解】解：因?yàn)榧?，?br>所以，
故選：D
2．已知函數(shù)，則（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】A
【分析】先求出，進(jìn)而計(jì)算.
【詳解】．
故選：A．
3．已知為虛數(shù)單位，則（ ）
A．1B．C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法及乘方運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：C
4．已知半徑為2的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由題意確定圓心的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，即可確定當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)、圓心以及點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，圓心到原點(diǎn)的距離最小，由此可得答案.
【詳解】由題意知半徑為2的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)該圓圓心為P，
故該圓的圓心的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，
當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)、圓心P以及點(diǎn)三點(diǎn)共線且圓心P在坐標(biāo)原點(diǎn)和之間時(shí)，圓心到原點(diǎn)的距離最小，

最小值為，
故選：C
5．橢圓上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（ ）
A．2B．6C．4D．
【答案】B
【分析】由橢圓方程可得，再由橢圓定義即可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)橢圓方程為可知，橢圓焦點(diǎn)在軸上，
且，即，
由橢圓定義可知橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.
故選：B
6．若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)降冪公式化簡(jiǎn)題設(shè)可得，進(jìn)而結(jié)合可得，進(jìn)而結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.
【詳解】由，則，
即，即，
解得或，
因?yàn)?，所以?br>則，
所以.
故選：D.
7．如圖，已知大小為的二面角棱上有兩點(diǎn)A，B，，，若，則AB的長(zhǎng)度（ ）
A．22B．40C．D．
【答案】C
【分析】過(guò)作且，連接，易得，通過(guò)線面垂直的判定定理可得平面，繼而得到，由勾股定理即可求出答案.
【詳解】解：過(guò)作且，連接，則四邊形是平行四邊形，
因?yàn)?，所以平行四邊形是矩形，因?yàn)?，即?br>而，則是二面角的平面角，即，
因?yàn)椋礊檎切?，所以?br>因?yàn)椋?，平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?br>所以在中，，所以，
故選：C
二、多選題
8．已知橢圓C：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，短軸的上、下兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，的面積為1，離心率為，點(diǎn)P是C上除長(zhǎng)軸和短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，的平分線交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M，則（ ）
A．橢圓的焦距等于短半軸長(zhǎng)
B．面積的最大值為2
C．
D．的取值范圍是
【答案】CD
【分析】由的面積為1，離心率為列方程組，進(jìn)而可求的值，則A可判斷，B選項(xiàng)可根據(jù)P點(diǎn)位置是除長(zhǎng)軸和短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)直接排除；對(duì)于C選項(xiàng)，由的平分線交長(zhǎng)軸于點(diǎn)，得到，化簡(jiǎn)可得，結(jié)合橢圓的定義，得到，進(jìn)而求得的取值范圍可判斷D.
【詳解】對(duì)A：由的面積為1，離心率為可得，
又，所以得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：當(dāng)P點(diǎn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)位置時(shí)的面積才能取到最大值，
但是P點(diǎn)是除長(zhǎng)軸和短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，故的面積無(wú)法取到最大值，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：所以橢圓的方程為，故，，
由的平分線交長(zhǎng)軸于點(diǎn)，顯然，，
又，
所以，即，
由，，得，故C正確；
對(duì)D：設(shè)，則，而且，
即且，
也就是，且，
所以，且
所以，，
所以，故D正確；
故選：CD.
9．已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．的圖象關(guān)于中心對(duì)稱
D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】ACD
【分析】A選項(xiàng)，利用三角函數(shù)的周期公式即可判斷；BCD選項(xiàng)，利用代入檢驗(yàn)法即可判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以的最小正周期，故A正確；
因?yàn)椋?br>所以不是的對(duì)稱軸，是的對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤，C正確；
因?yàn)?，所以?br>所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.
故選：ACD.
10．已知四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，且，，，則可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】圓內(nèi)接四邊形對(duì)角相互補(bǔ)，可以分成兩個(gè)三角形，在兩個(gè)三角形中兩次用余弦定理，求出即可，根據(jù)，判斷的可能值.
【詳解】設(shè)，，，則，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
解得或，
因?yàn)椋郧?，?
因?yàn)?，，，，所以BC正確.
故選：BC
11．已知圓與直線，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．直線與圓必相交
B．直線與圓不一定相交
C．直線與圓相交且所截最短弦長(zhǎng)為
D．直線與圓可以相切
【答案】AC
【分析】求出直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合幾何知識(shí)可知當(dāng)直線與過(guò)定點(diǎn)和圓心的直線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)有最小值，由此可求出答案.
【詳解】解：直線過(guò)定點(diǎn)，
又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓必相交，
所以A正確，B，D錯(cuò)誤，
因?yàn)閳A心與點(diǎn)間的距離為，圓半徑為2.
所以最短弦長(zhǎng)為，故C正確，

故選：AC.
12．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P是C上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．C的漸近線方程為
B．若直線與雙曲線C有交點(diǎn)，則
C．點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為
D．當(dāng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合時(shí)，直線PA，PB的斜率之積為2
【答案】AC
【分析】由雙曲線的漸近線方程可判斷A，通過(guò)對(duì)比直線與雙曲線的漸近線斜率之間的關(guān)系可求解B，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，結(jié)合雙曲線方程化簡(jiǎn)可得定值，則D可判斷.
【詳解】雙曲線，則，
對(duì)于A，C的漸近線方程為，A正確；
對(duì)于B，由雙曲線的漸近線方程為可知，
若直線與雙曲線C有交點(diǎn)，則，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)，則，
點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為，C正確；
對(duì)于D，易得，，設(shè)，則，
所以直線PA，PB的斜率之積為，D錯(cuò)誤．
故選：AC.
三、填空題
13．求值： .
【答案】
【分析】將寫成，然后用兩角差的余弦公式拆開(kāi)；將用積化和差公式轉(zhuǎn)化一下，然后整體代入原式即可求解.
【詳解】，
，
代入原式得，
故答案為：.
14．已知平面向量，若，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算，求出的值，即可求得答案.
【詳解】由，
得，解得，
所以，
故答案為：
15．若曲線與圓恰有4個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)可列出不等式，從而求出的取值范圍.
【詳解】因?yàn)榍€與圓恰有4個(gè)公共點(diǎn)，
所以直線，均與圓相交，且兩直線的交點(diǎn)不在該圓上，
則有,解得．
故答案為:.
16．已知拋物線C：，過(guò)點(diǎn)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，C在A，B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，且．若點(diǎn)M到直線AB的距離為，則 ．
【答案】1
【分析】由題意設(shè)，，直線AB的方程為，聯(lián)立直線與拋物線，可得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可設(shè)出切線AM、BM的方程，聯(lián)立兩切線方程，求得的坐標(biāo)，結(jié)合已知即可求出.
【詳解】設(shè)，，顯然，直線AB的斜率存在，
且，則直線AB的方程為．
聯(lián)立，整理得，則，
由，得，求導(dǎo)得，
故切線AM的方程為，即①，
同理可得切線BM的方程為②，
兩式相減，得M的橫坐標(biāo)，兩式相加，
得M的縱坐標(biāo)．
由，得，所以，
：，即，
所以點(diǎn)M到直線AB的距離，所以，
解得或（舍去）．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題時(shí)常用的步驟：
（1）設(shè)出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，
（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，
（3）寫出韋達(dá)定理，
（4）將所求問(wèn)題或題目中關(guān)系轉(zhuǎn)化成的形式，
（5）代入韋達(dá)定理求解.
四、解答題
17．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為；
(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)位置，結(jié)合雙曲線離心率公式進(jìn)行求解即可；
（2）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）依題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，
又，故其標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)雙曲線方程為，
把點(diǎn)與點(diǎn)代入，有，解得，
故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
18．已知復(fù)數(shù)，根據(jù)以下條件分別求實(shí)數(shù)m的值或取值范圍．
(1)是純虛數(shù)；
(2)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第三象限．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的特征進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)槭羌兲摂?shù)，
所以；
（2）因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第三象限，
所以，
因此實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
19．在中，角的對(duì)邊分別為，滿足．
(1)求角；
(2)若，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理化簡(jiǎn)得，求得，即可求解；
（2）根據(jù)題意，由余弦定理求得，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理，可得，
即，
因?yàn)?，可得，所以?br>又因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)?，，?br>由余弦定理知，即，
解得，所以的面積為．
20．在平面直角坐標(biāo)系中，圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線被圓截得弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求線段的垂直平分線所在直線的方程，進(jìn)而求圓心和半徑，即可得方程；
（2）由垂徑定理可得圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，的中點(diǎn)為，且直線的斜率，
則線段的垂直平分線所在直線的方程為，
聯(lián)立方程，解得，
即圓心，，
所以，圓的方程為.
（2）因?yàn)橹本€被曲線截得弦長(zhǎng)為，
則圓心到直線的距離，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得.
21．如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，平面ABCD，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn)．

(1)證明：∥平面PBE；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明四邊形為平行四邊形，則可得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)化為，即可求解.
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，
所以且，
又因?yàn)樗倪呅螢殚L(zhǎng)方形，
所以且，
則且，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面.
（2）由平面，
則點(diǎn)到平面的距離等于到平面的距離，
因?yàn)槠矫妫?br>所以為三棱錐的高，
由，
所以三棱錐的體積為
.

22．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且F與圓上點(diǎn)的距離的最小值為4.
(1)求p；
(2)若點(diǎn)P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求面積的最大值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）結(jié)合焦點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可得與圓的最小距離為，即可求解；
（2）設(shè)切點(diǎn)，得到直線的方程，聯(lián)立可得，設(shè)直線，與拋物線進(jìn)行聯(lián)立可得，故可得到，由點(diǎn)在圓上可得，代入面積即可求得范圍
【詳解】（1）由圓可得圓心圓，半徑為1，
易得焦點(diǎn)在圓外，
所以點(diǎn)F到圓M上的點(diǎn)的距離的最小值為，解得p=2
（2）由(1)知，拋物線的方程為，即，則,

設(shè)切點(diǎn)，則易得直線，直線,
由可得，
設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，消去y并整理可得，
∴，即，且，
∴.
∵，
點(diǎn)P到直線AB的距離，
∴，①
又點(diǎn)在圓上，
故，代入①得，，
而，即，
因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.

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