一、選擇題
1．在復(fù)平面內(nèi),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
2．已知命題,,命題,,則( )
A.p和q都是真命題B.和q都是真命題
C.p和都是真命題D.和都是真命題
3．若,則( )
A.B.5C.D.
4．已知是R上的減函數(shù),,是其圖象上的兩點(diǎn),則不等式的解集為( )
A.B.C.D.
5．若是函數(shù)的極小值點(diǎn),則的極大值為( )
A.B.C.D.
6．設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,,則=( )
A.6B.7C.8D.9
7．已知,,,則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.B.C.D.
8．在平行四邊形中,,E是平行四邊形內(nèi)（包括邊界）一點(diǎn),,若,則的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知集合,,,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.B.C.D.
10．函數(shù),,的最小正周期為,且方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.
B.把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,則
C.
D.
11．已知函數(shù),的定義域均為R,且,,若為偶函數(shù),且,則( )
A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
B.
C.
D.
三、填空題
12．已知,使得不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是,則m的取值范圍是________.
13．如圖,在中,,,D、E是邊上的兩點(diǎn),且,則________.
14．在正方體中,,M為棱的中點(diǎn),一束光線從點(diǎn)M射出,經(jīng)側(cè)面反射,反射光線又經(jīng)側(cè)面反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn),則這束光線在正方體內(nèi)的總長(zhǎng)度為_(kāi)_______.
四、解答題
15．在中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且.
（1）求A的值;
（2）若,求的面積.
16．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
（2）討論的單調(diào)性.
17．在四棱錐中,已知平面,,,,E是線段上的點(diǎn),.
（1）證明:平面;
（2）求平面與平面的夾角的余弦值.
18．已知數(shù)列滿(mǎn)足,,公差不為的等差數(shù)列滿(mǎn)足,,成等比數(shù)列,
（1）證明:數(shù)列是等比數(shù)列.
（2）求和的通項(xiàng)公式.
（3）在與之間從的第一項(xiàng)起依次插入中的項(xiàng),構(gòu)成新數(shù)列:,,,,,,,,,,….求中前60項(xiàng)的和.
19．若存在正實(shí)數(shù)a,對(duì)任意,使得,則稱(chēng)函數(shù)在D上是一個(gè)“函數(shù)”.
（1）已知函數(shù)在上是一個(gè)“函數(shù)”,求a的取值范圍.
（2）（i）已知當(dāng)時(shí),,證明:函數(shù)在上是一個(gè)“函數(shù)”.
（ii）設(shè),證明:.
參考答案
1．答案：C
解析：依題意,,
所以在復(fù)平面內(nèi),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.
故選:C
2．答案：B
解析：因?qū)τ诿},,若取,則,故命題p是假命題;
對(duì)于命題,,因函數(shù)在區(qū)間,上為增函數(shù),且值域?yàn)镽,
故必有解,即命題q為真命題.
故A項(xiàng)錯(cuò)誤;B項(xiàng)正確;C項(xiàng)錯(cuò)誤;D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選:B.
3．答案：B
解析：由,得,所以.
故選:B
4．答案：C
解析：依題意,,,不等式化為:,
而函數(shù)是R上的減函數(shù),則,解得,
所以不等式的解集為.
故選:C
5．答案：D
解析：函數(shù),求導(dǎo)得,
由是的極小值點(diǎn),得,解得或,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
則是的極大值點(diǎn),不符合題意;
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
則是的極小值點(diǎn),符合題意,,又當(dāng)時(shí),,
所以函數(shù)在處取得極大值.
故選:D
6．答案：A
解析：在等差數(shù)列中,由及,
得,則,
所以.
故選:A
7．答案：A
解析：因,
故,即;
又,
故,即.
故有即.
故選:A.
8．答案：B
解析：因?yàn)?br>得,即
所以點(diǎn)E在的角平分線上,設(shè)的中點(diǎn)為M
因?yàn)?所以點(diǎn)E在線段上,
不妨設(shè),,
所以
易知
所以
因?yàn)?br>所以
因?yàn)?br>所以
故選:B
9．答案：BCD
解析：函數(shù)中,,則,,
對(duì)于A,,A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,,B正確;
對(duì)于C,,則,C正確;
對(duì)于D,集合A的元素是數(shù),集合C的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì),因此,D正確.
故選:BCD
10．答案：BCD
解析：依題意,函數(shù),
由的最小正周期為,得,解得,
對(duì)于A,,A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,得,
則,B正確;
對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,而正弦函數(shù)在上的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),
依題意,,解得,C正確;
對(duì)于D,由,得,解得,
由選項(xiàng)C知,,因此,D正確.
故選:BCD
11．答案：BD
解析：①,
②,
由②可得:③,
①③聯(lián)立可得:④,
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),A錯(cuò);
由④,又為偶函數(shù),所以,
所以,兩式相減可得:,
又,,結(jié)合
所以,B對(duì),
,由,可知:,
所以,所以,C錯(cuò);
由,可得,結(jié)合,
得:,
所以,
又,所以,,,
即,,,
所以,
所以,D正確.
故選:BD
12．答案：
解析：不等式,解得,
依題意,,則,此時(shí),
所以m的取值范圍是.
故答案為:
13．答案：或
解析：因?yàn)?,則,
不妨設(shè),則,
因?yàn)?則,
所以,,同理可得,
因?yàn)?則,
故,
由二倍角的余弦公式可得,可得,
所以,.
故答案為:.
14．答案：
解析：
如圖1,光線從點(diǎn)M射出,經(jīng)側(cè)面反射,反射光線又經(jīng)側(cè)面反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn),
則其路徑必在平面內(nèi),設(shè)光線在平面和平面內(nèi)的反射點(diǎn)分別是P,Q,如圖2所示.
在矩形中,,過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)E,
由反射的性質(zhì),可得,,且,
易得,則得,因,,則,
故,,
于是,,.
所以該光線經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為:.
故答案為:
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因?yàn)?設(shè),則,,
由余弦定理可得,
因?yàn)?故.
（2）設(shè)的外接圓半徑為r,由正弦定理可得,
所以,,,,
所以,
,
所以,,,
由三角形的面積公式可得.
16．答案：（1）;
（2）答案見(jiàn)解析.
解析：（1）當(dāng)時(shí),函數(shù),求導(dǎo)得,則,而,
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?求導(dǎo)得,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),由,得;由,得,
則函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是;
當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是.
17．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）連接交于點(diǎn)F,連接,如下圖所示:
因?yàn)?則,,所以,,
所以,,
又因?yàn)?所以,,
因?yàn)槠矫?平面,故平面.
（2）因?yàn)槠矫?,且,則,
以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),、、的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則、、、,
因?yàn)?則,
,,
設(shè)平面的法向量為,
則,
取,則,
所以為平面的一個(gè)法向量,
設(shè)平面的法向量為,,
則,
取,則,,
,
所以,,
因此,平面與平面夾角的余弦值為.
18．答案：（1）證明見(jiàn)解析;
（2）,
（3）3326
解析：（1）數(shù)列中,,
則,而,
所以數(shù)列是等比數(shù)列,其首項(xiàng)為,公比為4.
（2）由（1）知,,,
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為;
設(shè)等差數(shù)列的公差為,
由,,成等比數(shù)列,得,
即,則有,
又,即,于是,
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（3）依題意,數(shù)列中,前有數(shù)列中的前k項(xiàng),有數(shù)列中的前項(xiàng),
因此數(shù)列中,前共有項(xiàng),當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,因此數(shù)列的前60項(xiàng)中有數(shù)列中的前10項(xiàng),有數(shù)列中的前50項(xiàng),
所以
.
19．答案：（1）
（2）（i）證明見(jiàn)解析;
（ii）證明見(jiàn)解析
解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上一個(gè)“函數(shù)”,
所以對(duì)任意,恒成立,即.
令,,
則,
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng),,
又,,則.
要使恒成立,則,解得.
故a的取值范圍為.
（2）（i）要證明函數(shù)在上是一個(gè)“函數(shù)”,
只需證當(dāng)時(shí),,下面證明.
證明:當(dāng)時(shí),,
由圖象的對(duì)稱(chēng)性可知,當(dāng)時(shí),.
令,,
則,
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.
所以,即,.
令,
則,
同理可得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
則,即,.
綜上所述,.
所以,函數(shù)在上是一個(gè)“函數(shù)”.
（ii）當(dāng)時(shí),,
由（i）可得,,且.
所以,即當(dāng)時(shí),.
令,,則,
則有,
所以
.
故,得證.

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