一、單選題
1．設(shè)集合，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合集合間的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，易得，故．
故選：A.
2．（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可.
【詳解】.
故選：.
3．已知單位向量滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用單位向量的定義?數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以．
故選：C
4．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．18B．54C．128D．192
【答案】D
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合求和定義，可得答案.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得．
．
故選：D.
5．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別是橢圓的左頂點(diǎn)?上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)點(diǎn)在橢圓上，且，若，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】表示出坐標(biāo)，由，可得，求解即可.
【詳解】令中，則，
所以．
因?yàn)?，所以，則，
即，
所以．
故選：D.

6．設(shè)，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等變換可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>所以，則．
故選：B.
7．把某種物體放在空氣中冷卻，若該物體原來的溫度是，空氣的溫度是，則后該物體的溫度可由公式求得．若將溫度分別為和的兩塊物體放入溫度是的空氣中冷卻，要使得這兩塊物體的溫度之差不超過，至少要經(jīng)過（ ）（取：）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，通過數(shù)學(xué)建模列不等式求解．
【詳解】的物塊經(jīng)過后的溫度的物塊經(jīng)過后的溫度．
要使得這兩塊物體的溫度之差不超過，即須使，
解得，即至少要經(jīng)過5.52min．
故選：C.
8．已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，代入數(shù)值，可得答案.
【詳解】設(shè)函數(shù)，
因?yàn)樯希希?br>所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
令，則．
設(shè)函數(shù)，
因?yàn)樯?，上?br>所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，所以，即，所以．
綜上可得：．
故選：A.
二、多選題
9．如圖，在三棱臺(tái)中，上底面是邊長為的等邊三角形，下底面是邊長為的等邊三角形，側(cè)棱長都為1，則（ ）
A．
B．
C．直線與平面所成角的余弦值為
D．三棱臺(tái)的高為
【答案】ABD
【分析】延長三棱臺(tái)的側(cè)棱，可證得幾何體為正三棱錐，根據(jù)正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征及三角形三邊關(guān)系、線面垂直的性質(zhì)定理可判斷選項(xiàng)A,B,D；由線面角的幾何法可判斷選項(xiàng)C.
【詳解】延長交于點(diǎn)P，設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，并交于點(diǎn)O，
連接．在中，，所以，可得．
同理可得，所以三棱錐為正三棱錐．
又，所以，即正確;
易得平面，所以，B正確;
因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角．易知錯(cuò)誤;
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以三棱臺(tái)的高為，D正確;
故選：ABD.
10．若函數(shù)在上的零點(diǎn)從小到大排列后構(gòu)成等差數(shù)列，則的取值可以為（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】ABD
【分析】函數(shù)有零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，畫出函數(shù)與的圖象，結(jié)合圖象求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有零點(diǎn)，所以．
畫出函數(shù)與的圖象，如圖所示．
當(dāng)或1時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意．
當(dāng)時(shí)，由題意可得．
因?yàn)椋裕?br>故選：ABD.
11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（ ）
A．B．
C．是奇函數(shù)D．沒有極值
【答案】ACD
【分析】利用賦值法，可判斷；令函數(shù)，計(jì)算得為常函數(shù)，可依次判斷.
【詳解】令，則，正確;
當(dāng)且時(shí)，由，得，
令函數(shù)，則，
所以，所以為常函數(shù)，
令，則，所以是奇函數(shù)，正確;
當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤;
因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，
所以沒有極值，正確．
故選：.
12．如圖，有一組圓都內(nèi)切于點(diǎn)，圓，設(shè)直線與圓在第二象限的交點(diǎn)為，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．圓的圓心都在直線上
B．圓的方程為
C．若圓與軸有交點(diǎn)，則
D．設(shè)直線與圓在第二象限的交點(diǎn)為，則
【答案】ABD
【分析】求出連心線所在直線方程判斷A；求出圓的方程判斷B；求出圓的圓心到y(tǒng)軸的距離，結(jié)合直線與圓相交判斷C；求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)判斷D.
【詳解】圓的圓心，直線的方程為，即，
由兩圓內(nèi)切連心線必過切點(diǎn)，得圓的圓心都在直線上，即圓的圓心都在直線上，A正確；
顯然，設(shè)點(diǎn)，則，而，
解得，因此圓的圓心，半徑為，
圓的方程為，則圓的方程為，B正確；
圓的圓心到y(tǒng)軸距離為，若圓與軸有交點(diǎn)，則，
解得，而，因此，C錯(cuò)誤；
在中，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，因此，D正確．
故選：ABD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：直線l：y=kx+b上兩點(diǎn)間的距離；
直線l：x=my+t上兩點(diǎn)間的距離.
三、填空題
13．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象至少向右平移個(gè)單位長度得到 ．
【答案】
【分析】由三角函數(shù)的平移變換即可得出答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象至少向右平移個(gè)單位長度得到．
故答案為：.
14．已知函數(shù)則滿足的的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到，求出x的取值范圍.
【詳解】畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合可得解得．
故答案為：

15．已知拋物線與直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且為直角三角形，則面積的最小值為 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)已知設(shè)，由垂直關(guān)系有，可得求a的范圍且，即可求三角形面積最小值.
【詳解】設(shè)，

則．
因?yàn)闉橹苯侨切危?br>所以，即．
因?yàn)?，所以?br>所以．
故答案為：1
16．如圖，這是某同學(xué)繪制的素描作品，圖中的幾何體由兩個(gè)完全相同的正六棱柱垂直貫穿構(gòu)成，若該正六棱柱的底面邊長為2，高為8，則該幾何體的體積為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，利用割補(bǔ)法結(jié)合相關(guān)提交公式運(yùn)算求解.
【詳解】過直線和直線分別作平面，平面，平面和平面都平行于豎直的正六棱柱的底面，
則該豎直的正六棱柱夾在平面和平面之間的部分的體積為．
如圖將多面體分成三部分，其中，
三棱柱的體積為，
所以多面體的體積為．
兩個(gè)正六棱柱重合部分的體積為．
一個(gè)正六棱柱的體積為．
故該幾何體的體積為．
故答案為：.
四、解答題
17．在中，為上一點(diǎn)，，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2)2.
【分析】（1）由題設(shè)求得，再應(yīng)用余弦定理求；
（2）由正弦定理可得，再由，即可得結(jié)果.
【詳解】（1）在Rt中，．
在中，，解得．

（2）在中，，所以．
在中，，所以．
故．
18．如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，．
(1)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．
(2)求平面與平面的夾角的大?。?br>【答案】(1)存在；為的中點(diǎn)，證明見解析
(2)
【分析】（1）先構(gòu)造平行四邊形證明線線平行；再利用直線和平面平行的判定定理即可證明.
（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量；再利用空間夾角的向量求法即可得出答案.
【詳解】（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面．
理由如下：
設(shè)為的中點(diǎn)，連接．
則在中，．
因?yàn)椋?br>所以，
所以四邊形為平行四邊形，
所以．
因?yàn)槠矫?，平?br>所以平面．
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)，則，
．
設(shè)平面的法向量為，
則即
令，則．
設(shè)平面的法向量為，
則即
令，則．
設(shè)平面與平面的夾角為，
，
所以，即平面與平面的夾角的大小為．
19．在數(shù)列中，．
(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列．
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）化簡(jiǎn)得，即可證明；
（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減法即可求解.
【詳解】（1）令，得，則．
因?yàn)棰伲寓冢?br>①-②得，即．
因?yàn)?，所以?shù)列為常數(shù)列．
（2）由（1）可得，所以是公差為1的等差數(shù)列，
所以．
因?yàn)椋寓郏?br>④．
③-④得
，
所以．
20．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為．
(1)求的值；
(2)當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，求的值?br>【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，代入計(jì)算可得；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，再分、兩種情況討論，求出函數(shù)的最小值，從而求出參數(shù)的值.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>依題意，解得．
（2）由（1）可得，則．
令函數(shù)，則．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，解得，舍去．
當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，解得，
此時(shí)，，，
即當(dāng)時(shí)，符合題意．
綜上，的值為2．
21．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為.
(1)求雙曲線的方程.
(2)已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，直線與雙曲線的左?右支分別交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），設(shè)直線的斜率分別為，若點(diǎn)）在雙曲線上，證明為定值，并求出該定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析，定值為
【分析】（1）利用漸近線的定義得到，再利用的關(guān)系即可得解；
（2）由題意得到，再聯(lián)立方程得到，進(jìn)而得到，從而利用斜率公式進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)闈u近線方程為，所以，即，
所以，則，
故的方程為.
（2）依題意，知，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，
所以，即，
聯(lián)立，得，
則，
設(shè)，則，，
所以
，
，
因?yàn)?，所以，所以?br>故
，
故為定值，定值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
22．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)．
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）求解的單調(diào)性，從而證明；
（2）根據(jù)，即對(duì)進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)多次求導(dǎo)后分類討論從而求解的范圍.
【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，
所以：是減函數(shù)．
又因?yàn)椋?，所以：只有一個(gè)零點(diǎn)．
（2）由題意得：，，即：，
令函數(shù)，
則：，
因?yàn)?，要使得，則存在，使得在0,x1上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，.
令函數(shù)，
則：，
因?yàn)椋?，要使得，則存在，使得在上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，，
令函數(shù)，
則：，得：，
當(dāng)，即時(shí)，
令函數(shù)，，
令函數(shù)，，
因?yàn)椋涸谏虾愠闪?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋海栽谏虾愠闪ⅲ?br>所以：在上單調(diào)遞增.
因?yàn)椋?，所以在上恒成立，即在上恒成立?br>所以：在上單調(diào)遞增，符合題意．
當(dāng)，即時(shí)，存在，使得當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減．
因?yàn)椋海援?dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減．
因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減．
因?yàn)椋海援?dāng)時(shí)，，與題意不符．
綜上：的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：（2）問中采用多次求導(dǎo)法并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，然后分類討論，從而求解出的取值范圍，

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