一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】計(jì)算，再計(jì)算交集得到答案.
【詳解】，
，.
故選：C.
2．如果是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分必要條件的判斷即可求解.
【詳解】由可得，
但不能得到，比如，但是，
故“”是“”的充分不必要條件，
故選：A
3．已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，求導(dǎo)代入即可求解.
【詳解】對求導(dǎo)可得，
所以，所以，
故選：C
4．已知，若，且，則的最小值為（ ）
A．9B．C．3D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)題意求出等量關(guān)系，利用基本不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?，且?br>所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
故選：B
5．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，，然后根據(jù)兩角差的正切公式，展開代入，即可得出答案.
【詳解】由可得，，
所以，，
所以，.
故選：D.
6．我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，即通過圓內(nèi)接正多邊形細(xì)割圓，并使正多邊形的面積無限接近圓的面積，進(jìn)而來求得較為精確的圓周率.如果用圓的內(nèi)接正邊形逼近圓，算得圓周率的近似值記為，那么用圓的內(nèi)接正邊形逼近圓，算得圓周率的近似值可表示成（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由三角函數(shù)的倍角公式及三角形的面積公式即可得解．
【詳解】圓的內(nèi)接正邊形的圓心角為，
所以正邊形的面積為，
由題意有，
所以，
又，
所以，
故選：D．
7．已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，數(shù)列滿足.若，則（ ）
A．24B．27C．36D．40
【答案】B
【分析】依題意得，得，再由對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解即可.
【詳解】數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，，
由，得，得，
.
故選：B.
8．若函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；再將不等式等價變形；最后利用函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】令
為定義在上的偶函數(shù)
則函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)
，當(dāng)時，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
不等式可變?yōu)椋?br>即
故，解得或
所以不等式解集為：.
故選：A.
二、多選題
9．已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．D．是的一個零點(diǎn)
【答案】ABC
【分析】根據(jù)圖像求出函數(shù)解析式，然后逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】由圖像可知，
設(shè)函數(shù)周期為，則由圖像知，所以A正確；
則，所以，
由圖像知為函數(shù)的一個最小值，所以，
得，
所以，所以，
由，得直線為的圖象對稱軸，B正確；
，所以D錯誤；
，C正確；
故選：ABC
10．已知，則下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出，再利用函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷，即可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?，則.
對于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，則，A對；
對于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，則，B對；
對于C選項(xiàng)，令，其中，則，
由，可得，由，可得，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，則，即，C錯；
對于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，則，即，D對.
故選：ABD.
11．在數(shù)列中，如果對任意都有（為常數(shù)），則稱為等差比數(shù)列，k稱為公差比，下列說法正確的是（ ）
A．等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列
B．等差比數(shù)列的公差比一定不為0
C．若，則數(shù)列是等差比數(shù)列
D．若等差數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公差比可能為2
【答案】BC
【分析】考慮常數(shù)列可以判定A錯誤，利用反證法判定B正確，代入等差比數(shù)列公式判定CD正確．
【詳解】對于數(shù)列，考慮無意義，所以A選項(xiàng)錯誤；
若等差比數(shù)列的公差比為則，則在中分母為0，不符合要求，故矛盾，所以B正確；
若，數(shù)列是等差比數(shù)列，所以C正確；
若等差數(shù)列是等差比數(shù)列，則，則，，
，所以D錯誤．
故選：BC．
12．已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
C．函數(shù)在上是增函數(shù)D．函數(shù)的值域?yàn)?br>【答案】ACD
【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將函數(shù)解析式化簡為，利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷AB選項(xiàng)；利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋?br>對于A選項(xiàng)，對任意的，，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，A對B錯；
對于C選項(xiàng)，任取、且，即，則，
，則，
所以，
，即，
所以，，
故函數(shù)在上是增函數(shù)，C對；
對于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，
故函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，
故函數(shù)的值域?yàn)?，D對.
故選：ACD.
三、填空題
13．“”為真命題，則實(shí)數(shù)的最大值為 .
【答案】
【分析】由可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椤啊睘檎婷}，
所以，即.
所以實(shí)數(shù)的最大值為.
故答案為：
14．已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則邊上的中線AD的長為 .
【答案】
【分析】根據(jù)余弦定理得出.進(jìn)而在中，利用余弦定理，即可得出答案.
【詳解】
由余弦定理可得，.
在中，有，，
由余弦定理可得
，
所以，.
故答案為：.
15．已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 .
【答案】/
【分析】先根據(jù)定義域求出的值，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，
所以為的兩個根，
所以則，
即，
令，則在單調(diào)遞減，
令，
則為開口向下，對稱軸為的拋物線，且，
所以時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
故答案為：
四、雙空題
16．已知函數(shù)，則不等式的解集為 ，若實(shí)數(shù)，，滿足且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)分段解不等式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得取值范圍.
【詳解】由，得，
又，
當(dāng)時，恒成立，
當(dāng)時，，得，
當(dāng)時，，得，
綜上所述，，即；
作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
當(dāng)時，，
又，，
所以，
且，則，
所以，
設(shè)，
則，，
所以，
設(shè)，，
則，令，解得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，
即，
故答案為：；.
五、解答題
17．在中，角，，的對邊分別為，，，已知.
(1)求角；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化即可結(jié)合和差角公式化簡求解，
（2）根據(jù)同角關(guān)系以及正弦定理即可求解.
【詳解】（1）在中，由正弦定理及條件得：
∵為的內(nèi)角，
∴,∴，，
又,所以
（2）由（1）知：，
∵，且，
∴，
由正弦定理得，且，
∴，∴
18．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的最小值及取得最小值時n的值．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時，最小，最小值為-26
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列方程，解方程得到，，然后寫通項(xiàng)即可；
（2）方法一：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求最小值即可；
方法二：根據(jù)前項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)求最小值.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由，，得，，解得，，
所以．
（2）方法一：由知是遞增數(shù)列，
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以，
所以當(dāng)時，最小，最小值為．
方法二：，
又，所以當(dāng)時，最小，最小值為-26.
19．已知不等式.
(1)求不等式的解集；
(2)若當(dāng)時，不等式 總成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合對數(shù)不等式可得出關(guān)于的不等式組，即可解出集合；
（2）求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋瑒t，解得，
故.
（2）解：令，則原問題等價，
且，其中，
令，可得，其中，
當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，即，
所以，.
20．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，__________.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
從下列兩個條件中任選一個作為已知，補(bǔ)充在上面問題的橫線中進(jìn)行求解（若兩個都選，則按所寫的第1個評分）：
①數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列；②.
【答案】(1)選擇①②，都有；
(2)證明見解析.
【分析】（1）選擇①，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得；再根據(jù)與之間的關(guān)系即可求得結(jié)果；
選擇②，利用的關(guān)系消去，構(gòu)造等差數(shù)列，與①同理，即可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）中所求求得，再利用裂項(xiàng)求和法求得，即可證明.
【詳解】（1）若選擇①數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，顯然其首項(xiàng)為
故，故；
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，滿足.
故的通項(xiàng)公式為；
若選擇②
即，整理得：
故，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
與選擇①相同，故的通項(xiàng)公式為.
（2）根據(jù)（1）中所求可得：，則
故
又，故可得.
21．設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期及圖象的對稱軸；
(2)在銳角中，若，且能蓋住的最小圓的面積為，求的取值范圍.
【答案】(1)最小正周期為，對稱軸方程是直線，
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換，化簡得出，進(jìn)而得出周期.解，，即可得出函數(shù)的對稱軸；
（2）根據(jù)已知可推得，的外接圓半徑，進(jìn)而根據(jù)正弦定理可得出，化簡得出.然后根據(jù)已知得出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出答案.
【詳解】（1）因?yàn)?br>，
所以函數(shù)的最小正周期，
令，，解得，，
所以對稱軸方程是直線，.
（2）因?yàn)闉殇J角三角形，所以，.
因?yàn)?，所以?br>所以，所以.
因?yàn)槟苌w住的最小圓為的外接圓，設(shè)半徑為，
所以，得.
由正弦定理可得，可得，
，.
所以，
.
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，
即，解得，所以，
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象以及性質(zhì)可知，
所以，
所以的取值范圍是.
22．已知函數(shù).
（1）討論在上的單調(diào)性；
（2）若，過點(diǎn)可作曲線的3條切線，求證：.
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在上的值域，分類討論進(jìn)行判斷函數(shù)單調(diào)性即可；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)的切線方程，把方程有三個不等實(shí)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明即可.
【詳解】解：（1）由題意得.
當(dāng)時，.
①若，則對任意，恒成立，
在上單調(diào)遞增；
②若，則對任意，恒成立，
在上單調(diào)遞減；
③若，則，
當(dāng)時，當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）設(shè)切點(diǎn)為，則，
∴切線方程為.
將代入上式，整理得.
構(gòu)造函數(shù)，
則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
由題可知函數(shù)有3個不同的零點(diǎn)，
，
，
.
【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是將“過點(diǎn)可作曲線的三條切線”轉(zhuǎn)化為有3個不同的零點(diǎn)，通過構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明..

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