一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分別求出兩個集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.
【詳解】解：，
，
所以.
故選：B.
2．已知（i為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運算求復(fù)數(shù)，再由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出.
【詳解】由題設(shè)，則，
所以，故.
故選：D
3．若且，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【詳解】若，滿足，此時，排除充分性，
若，滿足，此時，排除必要性，
故選：D
4．、是兩個不重合的平面，在下列條件中，可判定平面與平行的是（ ）
A．、是內(nèi)的兩條直線，且，
B．、都垂直于平面
C．內(nèi)不共線三點到的距離相
D．、是兩條異面直線，，，且，
【答案】D
【解析】取，且，，利用線面平行的判定定理可判斷A選項；根據(jù)，判斷平面與的位置關(guān)系，可判斷B選項；設(shè)、的中點、在平面內(nèi)，記平面為平面，判斷出、、三點到平面的距離相等，可判斷C選項；過直線作平面，使得，利用線面平行、面面平行的判定定理可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，若，且，，,,則，，但與相交；
對于B選項，若，，則與平行或相交；
對于C選項，設(shè)、的中點、在平面內(nèi)，記平面為平面，如下圖所示：
、分別為、的中點，則，
，，，所以，點、到平面的距離相等，
由于為的中點，則點、到平面的距離相等，
所以，點、、三點到平面的距離相等，但平面與平面相交；
對于D選項，如下圖所示：
由于，過直線作平面，使得，則，
，，，，
，，，，.
故選：D.
【點睛】方法點睛：證明或判斷兩個平面平行的方法有：
①用定義，此類題目常用反證法來完成證明；
②用判定定理或推論（即“線線平行”“面面平行”），通過線面平行來完成證明；
③根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個平面平行”這一性質(zhì)進(jìn)行證明；
④借助“傳遞性”來完成．
5．已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】由已知可得，再由，即可求值.
【詳解】由題設(shè)，即，
而，
所以.
故選：B
6．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則，對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷．
【詳解】，，
，
，，
所以，
故選：A．
7．楊輝是南宋杰出的數(shù)學(xué)家，他曾擔(dān)任過南宋地方行政官員，為政清廉，足跡遍及蘇杭一帶．楊輝一生留下了大量的著述，他給出了著名的三角垛公式：．若正項數(shù)列的前n項和為，且滿足，數(shù)列的通項公式為，則根據(jù)三角垛公式，可得數(shù)列的前10項和（ ）
A．440B．480C．540D．580
【答案】A
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，求出數(shù)列的通項公式，再利用三角垛公式求出作答.
【詳解】，，當(dāng)時，，
兩式相減得：，即，
整理得，因此，即數(shù)列為等差數(shù)列，
又，，解得，于是，，
數(shù)列的前n項和，
所以.
故選：A.
8．定義在上的函數(shù)滿足，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】構(gòu)造函數(shù)，，先判斷其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，來確定該函數(shù)的單調(diào)性，再化簡不等式為，根據(jù)單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】設(shè)，，則，
故在上單調(diào)遞增，，
不等式，即，即，根據(jù)單調(diào)性知，
即，得，即，故解集為.
故選：B.
【點睛】思路點睛:
利用導(dǎo)數(shù)解不等式時，常常要構(gòu)造新函數(shù)，新函數(shù)一方面與已知不等式有關(guān)，一方面與待求不等式有關(guān)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.
二、多選題
9．在中，已知，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】畫出三角形，應(yīng)用向量線性表示，三角形法則，數(shù)量積關(guān)系逐項分析即可.
【詳解】如圖所示：
因為，所以，
所以，
故選項A正確，
因為，所以
所以
，
故C選項錯誤，
由，
，
在，，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
即
即，故選項D正確，
由，
所以在中，因為，
所以，故B正確，
故選：ABD.
10．在三棱柱中，、、、分別為線段、、、的中點，下列說法正確的是（ ）
A．、、、四點共面B．平面平面
C．直線與異面D．直線與平面平行
【答案】ABC
【分析】證明出，可判斷A選項；利用面面平行的判定定理可判斷B選項；利用線線的位置關(guān)系可判斷C選項；利用線面平行的性質(zhì)可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，因為且，、分別為、的中點，
則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，
因為、分別為、的中點，所以，，，
故、、、四點共面，A對；
對于B選項，連接、，
、分別為、的中點，則，
平面，平面，平面，
因為四邊形為平行四邊形，則，，則，
平面，平面，平面，
，平面平面，B對；
對于C選項，由圖可知不與相交，
若，又因為，則，這與矛盾，
故與異面，C對；
對于D選項，延長、交于點，連接交于點，連接，
若平面，平面，平面平面，，
事實上，與相交，故假設(shè)不成立，D錯.
故選：ABC.
11．設(shè)，且，則（ ）
A．B．
C．的最小值為0D．的最小值為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意，由條件結(jié)合基本不等式，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】對于A，因為且，則，且，所以，
所以A正確；
對于B，假設(shè)，且，則可得，符合題意，
即成立，所以B錯誤；
對于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即取等號，此時，所以C正確；
對于D，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，即，解得，所以D正確；
故選:ACD
12．若，則的值可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由題意易知，再根據(jù)兩角差的正切公式，可知，進(jìn)而求得，由此即可得到，對取值，逐項判斷即可得到結(jié)果.
【詳解】由，可知，
當(dāng)，即時，即時，
，
顯然不成立，故；
所以，則，
所以，即，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
令，得，故的值不可能為.
故選：ABD.
三、填空題
13．已知平面向量，滿足，，與的夾角為，則 .
【答案】6
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算律求解作答.
【詳解】因，，與的夾角為，則，
所以.
故答案為：6
14．在等比數(shù)列中，為其前n項和，若，，則的公比為 ．
【答案】１或.
【分析】分和兩種情況討論.
【詳解】解：當(dāng)時，滿足，，此時；
當(dāng)時，由，，
可得：，解得 ，此時.
綜上所述：公比的值為：１或.
故答案為：１或.
15．已知一個實心銅質(zhì)的圓錐形材料的底面半徑為4，圓錐母線長，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個實心銅球，不計損耗，則銅球的表面積為 .
【答案】
【分析】首先求出圓錐的高，即可求出圓錐的體積，從而求出球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式計算可得.
【詳解】依題意圓錐的底面半徑，母線，所以圓錐的高，
所以圓錐的體積，
設(shè)銅球的半徑為，則，解得，
所以銅球的表面積.
故答案為：.
四、雙空題
16．已知：若函數(shù)在上可導(dǎo)，，則.又英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個恒等式，則 ， .
【答案】 1 /
【分析】令，即可求出，再將兩邊求導(dǎo)數(shù)，即可得到，即可得到，從而得到，再用裂項相消法求和即可；
【詳解】解：因為，令，即，所以；
又，
所以，所以，所以
所以
故答案為：；
五、解答題
17．已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間內(nèi)的值域．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換可得，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即得；
（2）根據(jù)圖象變換規(guī)律可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即得.
【詳解】（1）因為，
令，解得，
則的單調(diào)遞增區(qū)間是；
（2）由（1）可得．
因為，所以，
所以，
所以，
即在區(qū)間內(nèi)的值域為．
18．已知首項為2的正項數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項公式即可求解；
（2）根據(jù)錯位相減法求和，即可得出答案.
【詳解】（1）解：由，得，
又，所以，數(shù)列為以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）解：由（1）知：，所以，
所以，
，
兩式相減得：
.
所以.
19．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，．
(1)若，求B的大小；
(2)若△ABC不是鈍角三角形，且，求△ABC的面積取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角公式得到或.由求出；
（2）先判斷出△ABC是直角三角形，利用基本不等式求出△ABC的面積取值范圍.
【詳解】（1）因為，所以，即.
因為A，B，C為△ABC的內(nèi)角，所以或.
因為，所以（不合題意，舍去）.
所以，而，所以.
（2）由（1）可知：或.
當(dāng)時，有，這與△ABC不是鈍角三角形相矛盾，不合題意，舍去；
當(dāng)時，，所以△ABC是直角三角形，所以，即.
而.
因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.
又，所以，所以，即△ABC的面積取值范圍為.
20．已知函數(shù)
1)若a=1,求曲線在點處的切線方程
(2)若在R上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍
【答案】（1）（2）
【詳解】分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切點和切線的斜率，由點斜式方程，即可得到切線方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，若是單調(diào)遞增函數(shù)，則恒成立，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可得到實數(shù)的取值范圍．
詳解：
(1)
（2）
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
所以.
點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．
21．已知三棱柱，側(cè)面是邊長為2的菱形，，側(cè)面四邊形是矩形，且平面平面，點D是棱的中點．
(1)在棱AC上是否存在一點E，使得平面，并說明理由；
(2)當(dāng)三棱錐的體積為時，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)存在，理由見解析
(2)
【分析】（1）取的中點F，連接EF，DF ，易得 ，則四邊形DFEA是平行四邊形，從而AD∥EF，再利用線面平行的判定定理證明；
（2）根據(jù)四邊形是矩形，結(jié)合平面平面，得到面，由，得到，再由，得到，然后以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量，由求解.
【詳解】（1）解：存在，當(dāng)E為AC的中點時，AD∥平面，理由如下：
如圖所示：
取的中點F，連接EF，DF ，
∵DF是的中位線，
∴，
又 ，
∴ ，
∴四邊形DFEA是平行四邊形 ，
∴AD∥EF，
又面，面 ，
∴AD∥平面．
（2）∵四邊形是矩形，
∴，，
又∵平面平面，
∴面，
∵，
∴ ，
∵側(cè)面是菱形，，
∴是正三角形 ，
∵E是AC的中點，
∴，
以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，，
設(shè)平面的一個法向量為，
由，得，
令，則，，
∴ ，
又平面的一個法向量，
∴，
∴平面與平面的夾角的余弦值是.
22．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求在上的最值；
（2）設(shè)，若有兩個零點，求的取值范圍．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）當(dāng)時，，對其求導(dǎo)判斷單調(diào)性，比較極值和端點值即可得最值；
（2）求出，再分情況，和時，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及極值，求解函數(shù)的零點，即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，可得．
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因為，，，
所以，．
（2）因為，
可得：．
①當(dāng)時，，此時只有一個零點，故不成立；
②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因為，，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，．
有兩個不同的零點，成立；
③當(dāng)時，令，得或．
當(dāng)時，，恒成立，
在上單調(diào)遞增，至多有一個零點；
當(dāng)時，即．
若或，則；若，則．
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時，即．
若或，則；若時，則．
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時，，
．
僅有一個零點，不合題意．
綜上，有兩個零點，的取值范圍是．
【點睛】思路點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的步驟：
①寫定義域，對函數(shù)求導(dǎo)；
②在定義域內(nèi)，解不等式和得到單調(diào)性；
③利用單調(diào)性判斷極值點，比較極值和端點值得到最值即可.

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