一、單選題
1．已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可化簡求值.
【詳解】由得，
故選：A
2．設(shè)，則“”是“為奇函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，可得，即可求得，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】若為奇函數(shù)，
則，
，
解得，經(jīng)檢驗，符合題意，
“”是“為奇函數(shù)”的充分不必要條件.
故選：A．
3．點(diǎn)集表示的曲線總長度等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意整理得，，且，結(jié)合直線，圓的方程分析求解.
【詳解】由題意可知：，解得，
因為，則或，
若，且，表示以為端點(diǎn)的線段，
此時表示的曲線總長度為；
若，整理得，表示以為圓心，半徑為1的上半圓，
此時表示的曲線總長度為；
綜上所述：點(diǎn)集表示的曲線總長度等于.
故選：C.
4．函數(shù)的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除C，求導(dǎo)，再根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷BD.
【詳解】，
因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故排除C；
，
當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故排除BD.
故選：A.
5．如圖，已知定圓A的半徑為4，B是圓A內(nèi)一個定點(diǎn)，且，P是圓上任意一點(diǎn).線段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，則點(diǎn)Q的軌跡是（ ）

A．面積為的圓B．面積為的圓C．離心率為的橢圓D．離心率為的橢圓
【答案】D
【分析】連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合圓的性質(zhì)可得，再由橢圓的定義可得其軌跡.
【詳解】連接，因為線段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點(diǎn)Q，
所以，
因為，
所以，
所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，4為長軸長，焦距為2的橢圓，
所以橢圓的離心率為，
故選：D

6．已知函數(shù)在上恰有4個不同的零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)二倍角公式及輔助角公式化簡解析式，再把問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有4個不同的零點(diǎn)，借助于正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】由題意得，，
令，解得．
，
，
函數(shù)在上恰有4個不同的零點(diǎn)，
則，
，解得．
故選：D．
7．?dāng)?shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個動點(diǎn)，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由為等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判斷.
【詳解】解：由圖知：，
在中，，
所以，即，
故選：C
8．設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及基本不等式判斷出的大小關(guān)系.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，，
所以，即，
也即，則，
，
所以.
故選：D
二、多選題
9．已知等差數(shù)列{}的前n項和 ，則下列選項正確的是（ ）
A．B．
C．當(dāng)取得最大值時D．當(dāng)取得最大值時
【答案】ABC
【分析】A選項，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式列方程得到；B選項，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式判斷；CD選項，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和二次函數(shù)單調(diào)性判斷.
【詳解】設(shè)公差為，則，
所以，解得，故A正確；
，故B正確；
，所以當(dāng)時，最大，故C正確，D錯.
故選：ABC.
10．設(shè)，若為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則下列關(guān)系可能成立的是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】AC
【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合函數(shù)極值點(diǎn)的定義，分類討論，列出不等式，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得，
令，可得或，
要使得為函數(shù)的極小值點(diǎn)，
當(dāng)時，則滿足，解得，所以A正確；
當(dāng)時，則滿足，解得，所以C正確.
故選：AC.
11．若圓與圓的公共弦AB的長為，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．直線AB的方程為
C．AB中點(diǎn)的軌跡方程為D．四邊形的面積為
【答案】AB
【分析】先求得直線的方程，根據(jù)弦的長求得的關(guān)系式，由此確定AB選項的正確性，根據(jù)軌跡方程、四邊形的面積等知識確定CD選項的正確性.
【詳解】兩圓方程相減可得直線AB的方程為，
因為圓的圓心為，半徑為2，且公共弦AB的長為，
則到直線的距離為1，
所以，解得，
所以直線AB的方程為，故A，B正確；
由圓的性質(zhì)可知直線垂直平分線段AB，
所以到直線的距離即為AB中點(diǎn)與點(diǎn)的距離，
設(shè)AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即，故C錯誤；
易得四邊形為菱形，且，，
則四邊形的面積為，故D錯誤．
故選：AB
12．在棱長為2的正方體中，為線段上的動點(diǎn)，則（ ）
A．點(diǎn)四點(diǎn)不共面
B．在底面內(nèi)的射影面積為定值
C．直線與平面所成角的正弦的最大值為
D．當(dāng)為中點(diǎn)時，四棱錐外接球的表面積為
【答案】BCD
【分析】對于A，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，即可判斷四點(diǎn)共面；對于B，由在底面的射影為線段和即可判斷在底面內(nèi)的射影面積為定值；對于C，設(shè)直線與平面所成角為，則，當(dāng)點(diǎn)在與點(diǎn)重合時，直線與平面所成角最大，此時可得到；對于D，當(dāng)為中點(diǎn)時，可得外接球的半徑為，從而求出四棱錐外接球的表面積.
【詳解】如圖，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，四點(diǎn)共面，故A錯誤；
因為在底面的射影為線段，又因為，所以在底面內(nèi)的射影面積為，故B正確；
設(shè)直線與平面所成角為，則，故只需點(diǎn)到平面的距離最大，
如圖，
過做平面，垂足為，連接，
因為在直角中，，
所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，點(diǎn)到平面的距離最大，為，
所以直線與平面所成角最大為，此時，故C正確；
如圖，
當(dāng)為中點(diǎn)時，連接，交于點(diǎn)，過做，垂足為，連接.
則在直角中，,所以,
又因為,所以到四棱錐各個頂點(diǎn)的距離相等，
所以正方形的中心即為外接球的球心，所以外接球的半徑為，
從而四棱錐外接球的表面積為，故D正確.
故選：BCD
三、填空題
13．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即可求解.
【詳解】由角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，
可得，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，
又由
故答案為：.
14．已知向量，的夾角為，且，則向量在向量上的投影向量為 .用表示
【答案】/
【分析】先計算向量與向量的數(shù)量積，再代入投影向量公式中，即可得答案.
【詳解】∵夾角為，，
∴，
∴所以向量在向量方向上的投影向量為.
故答案為：.
15．已知△ABC的面積為1，且AB=2BC，則當(dāng)AC取得最小值時， BC的長為 .
【答案】
【分析】記，由面積得，由余弦定理得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得．
【詳解】記，由已知，，
，
令，則，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
設(shè)，則時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)即時，，即AC取得最小值，
此時，.
故答案為：．
16．?dāng)?shù)列滿足，，為的前n項和，若，則的范圍為 ．
【答案】
【分析】將化為，構(gòu)造數(shù)列滿足，結(jié)合兩角差的正切公式，使用裂項相消法求，再由的取值范圍求解即可.
【詳解】由已知，，
令，，則，
∵，，∴，
∴的前n項和，
又∵，，∴，
∵，∴，
又∵，
∴的范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：合理構(gòu)造數(shù)列，使用裂項相消法求和，是本題解題的關(guān)鍵所在.
四、證明題
17．（Ⅰ）證明柯西不等式：；
（Ⅱ)若且，求的最小值．
【答案】（Ⅰ）答案見解析，（Ⅱ）．
【分析】（1）利用做差比較法，兩邊做差，化成一個完全平方式，利用實數(shù)的平方都是非負(fù)的，從而證得結(jié)果（2）利用換元的思想，結(jié)合柯西不等式求得式子的最小值
【詳解】（Ⅰ）證明：左邊,
右邊,
左邊右邊
左邊右邊, 命題得證．
（Ⅱ）令，則
，
，
，由柯西不等式得：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，或時，的最小值是，
所以 的最小值是．
五、問答題
18．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項和為，數(shù)列為等比數(shù)列．已知．
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，列方程求解即可得答案；
（2）根據(jù)錯位相減法求和即可.
【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由可得，即，解得，
所以，，
，，
則；
（2），
則①，
可得②，
①②得：
，
因此，；
【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列的基本計算，錯位相減法求和，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于掌握錯位相減法求和的基本方法，第一步列式，第二步，乘公比錯位，第三步兩式做差整理.
六、解答題
19．如圖所示，多面體中，底面為正方形，四邊形為矩形，且，，.
(1)求平面與平面所成二面角大??；
(2)點(diǎn)P在線段上，當(dāng)平面時，求與平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先證明平面，則可得，再證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理證明平面平面，即可得出答案；
（2）先根據(jù)線面平行的性質(zhì)說明點(diǎn)的位置，再以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】（1）因為四邊形為矩形，所以，
因為平面，
所以平面，
又平面，所以，
因為底面為正方形，所以，
由于平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
所以平面與平面所成二面角大小為；
（2）如圖，設(shè)，則為的中點(diǎn)，
因為平面，平面，平面平面，
所以，
因為，所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又，所以，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
由，得，
則，
故，
設(shè)平面得法向量為，
則有，令，則，
所以，
則，
所以與平面所成的角的正弦值為.
七、問答題
20．已知的內(nèi)角的對邊分別為，，，，且．
(1)求的大??；
(2)若的平分線交于點(diǎn)，且，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換整理得，再根據(jù)角的范圍分析運(yùn)算；
（2）根據(jù)三角形的面積關(guān)系整理得，結(jié)合基本不等式求范圍.
【詳解】（1）∵，由正弦定理可得，
則，
可得，
整理得，
注意到，且，則，且，
可得或，
解得或（舍去），
故.
（2）若的平分線交于點(diǎn)，則，
∵，則，
即，整理得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故的取值范圍為.
21．設(shè)，.
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論在區(qū)間上的極值點(diǎn)個數(shù)；
（3）是否存在，使得在區(qū)間上與軸相切？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由.
【答案】（1）減區(qū)間為 ，增區(qū)間為 （2）見解析（3）
【詳解】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定單調(diào)區(qū)間（2）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究零點(diǎn)個數(shù)，利用二次求導(dǎo)易得在區(qū)間上單調(diào)遞增，其零點(diǎn)個數(shù)決定于最小值的大小，討論其最小值與零的大小得到極值點(diǎn)個數(shù)， （3）由題意得在區(qū)間上與軸相切切點(diǎn)為極值點(diǎn)，由（2）得 ，再根據(jù)極值點(diǎn)定義可得方程組 ，解得
試題解析：解：（1）當(dāng)時：，（）
故
當(dāng)時：，當(dāng)時：，當(dāng)時：．
故的減區(qū)間為：，增區(qū)間為
（2）
令，故,,
顯然，又當(dāng)時：．當(dāng)時：．
故，，．
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，
注意到：當(dāng)時，，故在上的零點(diǎn)個數(shù)由的符號決定．
①當(dāng)，即：或時：在區(qū)間上無零點(diǎn)，即無極值點(diǎn)．
②當(dāng)，即：時：在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，即有唯一極值點(diǎn)．
綜上：當(dāng)或時：在上無極值點(diǎn)．
當(dāng)時：在上有唯一極值點(diǎn)．
（3）假設(shè)存在，使得在區(qū)間上與軸相切，則必與軸相切于極值點(diǎn)處，
由（2）可知：．不妨設(shè)極值點(diǎn)為，則有：
…（*）同時成立．
聯(lián)立得：，即代入（*）可得．
令，．
則，，當(dāng) 時 （2）．
故在上單調(diào)遞減．又， ．
故在上存在唯一零點(diǎn)．
即當(dāng)時，單調(diào)遞增．當(dāng)時，單調(diào)遞減．
因為，．
故在上無零點(diǎn)，在上有唯一零點(diǎn)．
由觀察易得，故，即：．
綜上可得：存在唯一的使得在區(qū)間上與軸相切．
八、解答題
22．已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為、，
(1)過右焦點(diǎn)的直線被C所截線段是弦，當(dāng)垂直于x軸時弦為通徑ST，求證： 最小值是通徑；
(2)如圖所示，若C的右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)A且斜率為的直線與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓交于另一個點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為點(diǎn).
（?。┣髾E圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（ⅱ）過點(diǎn)P且斜率大于的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)（?。?，（ⅱ）
【分析】（1）分解直線斜率等于零和不等于零兩種情況討論，結(jié)合弦長公式即可得出結(jié)論；
（2）（?。└鶕?jù)題意 ，點(diǎn)在直線上，并且 ，得到橢圓方程；
（ⅱ）根據(jù)三角形面積公式可得，即，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)也得到坐標(biāo)的關(guān)系式，消參后，根據(jù)的取值范圍求.
【詳解】（1），
當(dāng)直線的斜率等于時，方程為，
此時，
當(dāng)直線的斜率不等于時，設(shè)方程為，
聯(lián)立，消得，
恒成立，
則，
所以
，
當(dāng)，即時，，
此時，直線垂直于軸，
綜上所述，最小值是通徑；
（2）（?。┯深}意軸，且點(diǎn)在軸的下方，，
在橢圓中，
令，得，則，
所以 ，
所以橢圓的方程是；
（ⅱ）因為，
所以，
直線的方程為，令，得，所以，
設(shè)方程，，
聯(lián)立方程得：，
恒成立，
則（*），
又，有，
將代入（*）可得，整理得，
因為，有，
則且，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；
（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

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