一、單選題
1．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)（ ）
A．B．C．6D．
【答案】D
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求出，再結(jié)合復(fù)數(shù)的概念求解作答.
【詳解】依題意，，
因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，且，則且，解得，
所以.
故選：D
2．已知集合，集合則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合分式不等式的求解即可得到答案.
【詳解】因為，則，所以
因為，則，解得，所以，
所以，
故選：B.
3．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式求解.
【詳解】由，得，
則．
故選：C
4．設(shè)3x＝4y＝36，則的值為（ ）
A．6B．3
C．2D．1
【答案】D
【解析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式，結(jié)合已知和對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】由3x＝4y＝36得x＝lg336，y＝lg436，
∴＝2lg363＋lg364＝lg369＋lg364＝lg3636＝1.
故選：D
【點睛】本題考查了對數(shù)式與指數(shù)式的互化公式，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力.
5．同學(xué)利用函數(shù)圖像的一部分設(shè)計了如圖的LOGO，那么該同學(xué)所選的函數(shù)最有可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究各函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇偶性判斷函數(shù)圖象，即可得答案.
【詳解】對于A，由得，即在定義域上遞增，不符合；
對于B，由得，
在上，在上，在上，
所以在、上遞減，上遞增，符合；
對于C，由且定義域為，為偶函數(shù)，
所以題圖不可能在y軸兩側(cè)，研究上性質(zhì)：，故遞增，不符合；
對于D，由且定義域為R，為奇函數(shù)，
研究上性質(zhì)：，故在遞增，
所以在R上遞增，不符合；
故選：B
6．如圖，某大風(fēng)車的半徑為2米，每12秒旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點O離地面1米，點O在地面上的射影為A．風(fēng)車圓周上一點M從最低點O開始，逆時針方向旋轉(zhuǎn)40秒后到達P點，則點P到點A的距離與點P的高度之和為
A．5米B．(4＋)米
C．(4＋)米D．(4＋)米
【答案】D
【分析】以圓心為原點，以水平方向為軸方向，以豎直方向為軸方向建立平面直角坐標(biāo)系，則根據(jù)大風(fēng)車的半徑為，圓上最低點離地面1米，秒轉(zhuǎn)動一圈，可得到與間的函數(shù)關(guān)系式，求出的坐標(biāo)，即可求出點到點的距離與點的高度之和.
【詳解】以圓心為原點，以水平方向為x軸方向，以豎直方向為y軸方向，
建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．
設(shè)∠OP＝θ，運動t(秒)后與地面的距離為f(t)，又T＝12，
∴θ＝t，∴f(t)＝3－2cs t，t≥0，
風(fēng)車圓周上一點M從最低點O開始，逆時針方向旋轉(zhuǎn)40秒后到達P點，
θ＝6π＋，P(，1)，
∴點P的高度為3－2×＝4.∵A(0，－3)，∴AP＝＝，
∴點P到點A的距離與點P的高度之和為(4＋)米，故選D．
【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的實際應(yīng)用,意在考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題. 與實際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進行解答.
7．如圖，在平面四邊形ABCD中，
若點E為邊CD上的動點，則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把數(shù)量積分拆，設(shè)，數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。
詳解：連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設(shè)
=
所以當(dāng)時，上式取最小值 ，選A.
點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。
8．若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點，得到切線方程，再由兩點的斜率公式，結(jié)合切點滿足曲線方程，運用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間、極值、最值即可得出a的取值范圍.
【詳解】設(shè)
切線：，即
切線：，即，
令
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以
故選：A．
二、多選題
9．已知向量，，則（ ）
A．B．
C．在上的投影向量是D．在上的投影向量是
【答案】BC
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出，，即可求出數(shù)量積以及模，判斷A、B項；根據(jù)投影向量的公式，求出投影向量，即可判斷C、D項.
【詳解】由已知可得，，.
對于A項，因為，故A項錯誤；
對于B項，因為，，所以，故B項正確；
對于C項，因為，， ，
所以在上的投影向量是，故C項正確；
對于D項，，，
所以在上的投影向量是，故D項錯誤.
故選：BC.
10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．為函數(shù)的一個周期
B．是曲線的一個對稱中心
C．若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最大值為
D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到一個偶函數(shù)的圖象
【答案】AD
【分析】A根據(jù)是否成立判斷；B整體法求函數(shù)零點橫坐標(biāo)即可判斷；C由正弦函數(shù)性質(zhì)求增區(qū)間，結(jié)合已知確定參數(shù)最大值；D由圖象平移寫出平移后的解析式，進而判斷奇偶性.
【詳解】A：由已知得，
所以為函數(shù)的一個周期，正確；
B：令，解得，
顯然不是曲線的一個對稱中心，錯誤；
C：由，得，
令得：，因為在區(qū)間,上單調(diào)遞增，
所以實數(shù)的最大值為，錯誤；
D：將向右平移個單位長度后，得，
因為，且的定義域為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，正確．
故選：AD
11．已知定義在R上的函數(shù)滿足，，則（ ）
A．B．4是的一個周期
C．D．
【答案】BCD
【分析】由已知整理可得，賦值即可判斷A項；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，即可得出，，從而得出的對稱性以及周期性，進而判斷B、C項；由A得出，賦值分組求和，即可得出答案.
【詳解】對于A項，由已知，，
可得，，
整理可得，.
當(dāng)時，有；
當(dāng)時，有；
當(dāng)時，有.
所以，，故A項錯誤；
對于B項，由已知可得，，
兩邊同時求導(dǎo)可得，，，
所以，，.
所以，關(guān)于直線對稱，關(guān)于點對稱，
所以，4是的一個周期，故B正確；
對于C項，由B知，.
當(dāng)時，有，故C項正確；
對于D項，由A知，.
所以有，，，，，.
又時，代入，即可得出，
所以，，故D正確.
故選：BCD.
【點睛】思路點睛：D項，賦值得出數(shù)據(jù)，找出規(guī)律，然后分組求和.
12．對于函數(shù)和，設(shè)，若存在，使得，則稱與互為“零點相鄰函數(shù)”.若函數(shù)與互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)零點的定義求函數(shù)的零點，由定義可得函數(shù)的零點的范圍，結(jié)合函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為含參方程有解問題，求導(dǎo)，可得答案.
【詳解】由題意，可得，，
易知，則，，
則在有解，
求導(dǎo)得：，令，解得，可得下表：
則當(dāng)時，取得最大值為，
，
則的取值范圍為，
設(shè)，，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
所以的值可以是，，.
故選：BCD.
【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.
三、填空題
13．已知，則的值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式求解.
【詳解】因為，所以，所以.
故答案為：.
14．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③，且定義域為實數(shù)集的函數(shù) .
①最小正周期為2；②；③無零點.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)周期,對稱性,零點等性質(zhì)判斷寫出符合條件的一個函數(shù)即可.
【詳解】的定義域為，
最小正周期為，
因為，所以，
所以無零點，
綜上，符合題意
故答案為：.
四、單空題
15．在中，是的角平分線且，，若，則的面積為 .
【答案】6
【分析】根據(jù)題意，在和中，利用正弦定理求得，再由余弦定理求得及，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得，結(jié)合面積公式即可求解.
【詳解】因為，所以，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因為，且，所以，
又，所以，設(shè)，
則由余弦定理得，
，
所以，化簡得，解得，所以，
所以，所以，
.
故答案為：6
五、雙空題（新）
16．若函數(shù)在上具有單調(diào)性，且為的一個零點，則在上單調(diào)遞 （填增或減），函數(shù)的零點個數(shù)為 ．
【答案】 增 9
【分析】①根據(jù)在上具有單調(diào)性得到，根據(jù)為的一個零點得到，綜合可得，，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；②將的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為的圖象與圖象的交點個數(shù)，然后根據(jù)圖象求交點個數(shù)即可.
【詳解】因為在上具有單調(diào)性，
所以，即，．
又因為，
所以，即，
只有，符合要求，此時．
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增．
因為的最大值為1，而，，
作出函數(shù)與的圖象，由圖可知，這兩個函數(shù)的圖像共有9個交點，所以函數(shù)的零點個數(shù)為9．
故答案為：增；9.
六、問答題
17．已知函數(shù)，
(1)求的最小正周期和對稱軸方程；
(2)若方程在定義域上有兩個不同的根，求出實數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1)最小正周期為；對稱軸方程為
(2)
【分析】（1）先利用輔助角公式進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（2）由已知可轉(zhuǎn)化為與的交點問題，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1），
則的最小正周期，
令，解得，
所以的對稱軸方程.
（2）由，可得，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞減，，
所以若方程在上有兩個不同的根，即與有兩個交點，如圖：
由圖知，即.
18．如圖，函數(shù)的圖象最高點M（2，2）與最低點N的距離．

(1)求函數(shù)f（x）的解析式；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由最高點得，根據(jù)長度關(guān)系求解周期得，代入特殊點的坐標(biāo)求解，從而求得函數(shù)的解析式；
（2）由（1）代入得，由角的范圍求得.再運用余弦兩角差可求得答案.
【詳解】（1）根據(jù)題意，由，可得，
又，
所以，
∴，解得.
又，，且，∴.
所以；
（2）由（1）知，函數(shù)，
所以，得，
又，所以，所以，
所以
.
19．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.
【詳解】（1）方法1：在中，因為為中點，，，

則，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，則，
，
所以.
方法2：在中，因為為中點，，，
則，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，則，
，過作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在與中，由余弦定理得，
整理得，而，則，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因為為中點，則，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
20．已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線方程為，求的值；
(2)當(dāng)時，在恒成立，求的最大值.
【答案】(1)2
(2)0
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用切線的斜率建立方程求解即可；
（2）把恒成立問題轉(zhuǎn)化為，求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合余弦函數(shù)求解最值范圍，即可求解的最大值.
【詳解】（1）由得，
因為曲線在點處的切線方程為，
所以，所以；
（2）因為在恒成立，所以，
當(dāng)時，，則，
記，，則，
所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
又，
所以，使得，即，
故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以，
因為，所以，所以，
所以，所以，從而，
因為，所以，所以的最大值為0.
21．國慶期間，某小區(qū)為了增添節(jié)日氛圍，決定對小區(qū)的健身步道進行裝飾．如圖是一個半徑為1百米，圓心角為的扇形區(qū)域，點C是半徑OB上的一點，點D是圓弧上一點，且．現(xiàn)決定在線段CD，圓弧的一側(cè)鋪設(shè)燈帶，線段OC的兩側(cè)鋪設(shè)燈帶，且每百米a元．設(shè)，，燈帶的總費用y元．

(1)求y關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)為何值時，燈帶費用y最大，并求出費用y的最大值．
【答案】(1)，
(2)當(dāng)為時，費用y最大，最大值為百元
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)，可得，利用正弦定理及弧長公式得到，，，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果；
（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由題，可得，，，
在中，由正弦定理知，，
所以，，，
又扇形BOD中，，
所以
，
（2）由（1）得
令，得到
又因為，所以
∴時，（百元）
故當(dāng)為時，費用y最大，最大值為百元．
七、證明題
22．已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍．
(2)若的兩個相異零點為，，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）運用導(dǎo)數(shù)研究的最小值不小于0即可.
（2）消去參數(shù)a及比值代換法后得，運用導(dǎo)數(shù)研究在上最小值大于0即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，恒成立，
即當(dāng)時，恒成立，
設(shè)，
所以，即，
，
設(shè)，
則，
所以，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，
所以，
所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，
所以，
若恒成立，則．
所以時，恒成立，a的取值范圍為.
（2）由題意知，，
不妨設(shè)，由得，
則，
令，
則，即：．
要證，
只需證，
只需證，
即證，
即證（），
令（），
因為，
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，
所以成立，
故．
【點睛】方法點睛：極值點偏移問題的解法
(1)(對稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)；對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式．
(2)(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．
極大值
0
y
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減

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