一、單選題
1．已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次不等式得集合A，再根據(jù)交集的運(yùn)算即可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以．
故選：B.
2．復(fù)數(shù)，滿足，，則（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】解方程組可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得.
【詳解】由解得，
則.
故選：C.
3．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（ ）
A．24B．36C．48D．64
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件求出公比，即可求出的值.
【詳解】在等比數(shù)列中， 設(shè)公比為，
∵，，
∴，
∴，
故選：C.
4．當(dāng)，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用誘導(dǎo)公式和平方關(guān)系求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
故選：B
5．，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)求出、、的范圍，即可比較大小.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以.
故選：D.
6．如圖，，是九個(gè)相同的正方形拼接而成的九宮格中的兩個(gè)角，則（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出的正切值，即可得出的正切值，進(jìn)而求出的度數(shù).
【詳解】由題意及圖得，，，
∴．
∵，，
∴．
故選：B.
7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的面積為（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓定義求出，再求出等腰三角形的面積作答.
【詳解】橢圓中，，由及橢圓定義得，

因此為等腰三角形，底邊上的高，
所以的面積為.
故選：D
8．已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切危覟樾边?，則有，
又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，

顯然平面，于是平面，又平面，
因此平面平面，顯然平面平面，
直線平面，則直線在平面內(nèi)的射影為直線，
從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得，即，
顯然是銳角，，
所以直線與平面所成的角的正切為.
故選：C
二、多選題
9．下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)0，1，2，3的極差與中位數(shù)之積為3
B．?dāng)?shù)據(jù)20，20，21，22，22，23，24的第80百分位數(shù)為23
C．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則
D．在回歸分析中，用決定系數(shù)來比較兩個(gè)模型擬合效果，越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越差
【答案】BC
【分析】A求極差和中位數(shù)即可判斷；B由百分?jǐn)?shù)求法求第80百分位數(shù)；C利用正態(tài)分布對(duì)稱性求指定區(qū)間的概率；D根據(jù)決定系數(shù)實(shí)際意義判斷.
【詳解】A：數(shù)據(jù)極差、中位數(shù)分別為3、，則它們的積為，錯(cuò)；
B：由，則數(shù)據(jù)從小到大的第6位，23是第80百分位數(shù)，對(duì)；
C：由正態(tài)分布的對(duì)稱性，，對(duì)；
D：由回歸分析中決定系數(shù)實(shí)際意義知：越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，錯(cuò)；
故選：BC.
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為
B．直線是圖象的一條對(duì)稱軸
C．在上恰有2個(gè)極小值點(diǎn)
D．若要得到函數(shù)的圖象，可將的圖象向左平移個(gè)單位長度
【答案】BD
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，判斷函數(shù)最小正周期、對(duì)稱軸方程、區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)和圖像平移后的解析式.
【詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期，A不正確．
當(dāng)時(shí)，，故直線是圖象的一條對(duì)稱軸，B正確．
由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得極小值，C不正確．
，
所以若要得到函數(shù)的圖象，可將的圖象向左平移個(gè)單位長度，D正確．
故選：BD.
11．如圖，已知正方體的棱長為1，O為底面ABCD的中心，交平面于點(diǎn)E，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，則（ ）

A．，E，O三點(diǎn)共線
B．三棱錐的外接球的表面積為
C．直線與平面所成的角為
D．過點(diǎn)，B，F(xiàn)的平面截該正方體所得截面的面積為
【答案】ABD
【分析】由題意可證得三點(diǎn)都在平面與平面的交線上，可判斷A；由題意可證得平面，從而，可判斷B；由題意可證得
平面，則直線與平面所成的角為，根據(jù)余弦定理，求解可判斷C；取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以等腰梯形就是過點(diǎn)的平面截該正方體所得截面，求出面積可判斷D.
【詳解】因?yàn)闉榈酌鍭BCD的中心，所以為BD和AC的中點(diǎn)，則，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面?br>所以點(diǎn)是平面與平面的公共點(diǎn)；
顯然是平面與平面的公共點(diǎn)；
因?yàn)榻黄矫嬗邳c(diǎn)平面，
所以也是平面與平面的公共點(diǎn)，
所以三點(diǎn)都在平面與平面的交線上，即三點(diǎn)共線，故A正確；
三棱錐的外接球和正方體是同一個(gè)外接球，棱長為1，所以，
所以外接球的表面積，故B正確；

因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以，
又平面，
所以平面，平面
所以平面平面，平面平面，
所以在平面的射影為，
即直線與平面所成的角為，
，，，
,故C錯(cuò)誤；
取的中點(diǎn)，連，因?yàn)椋?br>所以等腰梯形就是過點(diǎn)的平面截該正方體所得截面，如圖：

因?yàn)椋?br>所以等腰梯形的高為，
所以等腰梯形的面積為，
即過點(diǎn)的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確．
故選：ABD．
12．設(shè)動(dòng)直線交圓于，兩點(diǎn)（點(diǎn)為圓心），則下列說法正確的有（ ）
A．直線過定點(diǎn)B．當(dāng)取得最大值時(shí)，
C．當(dāng)最小時(shí)，其余弦值為D．的最大值為24
【答案】ABD
【分析】A選項(xiàng)，將直線方程整理為，然后得到，解方程即可得到定點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)弦長最大是直徑得到最大時(shí)經(jīng)過圓心，然后列方程求解即可；C選項(xiàng)，根據(jù)幾何知識(shí)得到當(dāng)直線與過點(diǎn)和的直線垂直時(shí)最小，然后利用勾股定理和余弦定理求余弦值即可；D選項(xiàng)，根據(jù)外心的結(jié)論得到，然后求最值即可.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由動(dòng)直線，可得：，由，即，即直線過定點(diǎn)，即選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)取得最大值時(shí)，直線過點(diǎn)，即，即選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)最小時(shí)，此時(shí)最小，當(dāng)最小時(shí)，直線與過點(diǎn)和的直線垂直，則，即，由余弦定理可得，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，，即的最大值為24，即選項(xiàng)D正確，
故選：ABD．
三、填空題
13．已知向量，，若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量平行求出x，再求出即可
【詳解】因?yàn)椋?，即?br>則．
故答案為：.
14．的展開式中的系數(shù)為 .
【答案】
【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.
【詳解】的展開式通項(xiàng)為，
令，可得，所以，展開式中的系數(shù)為.
故答案為：.
15．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，（為正整數(shù)），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
【答案】
【分析】當(dāng)時(shí)，，所以兩式相減得，所以化簡有，又因?yàn)?，可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以兩式相減得：，
則，所以，又因?yàn)?，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.
所以當(dāng)時(shí)，.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：
故答案為：.
16．已知定義在上的函數(shù)在上是增函數(shù)，且對(duì)任意的x，y，都有，若，則的解集為 ．
【答案】
【分析】利用賦值法可得是偶函數(shù)，然后根據(jù)單調(diào)性和定義域列不等式，解不等式即可.
【詳解】令，則，所以是偶函數(shù)，
則，，
又定義在上的函數(shù)在上是增函數(shù)，
由，得，則，解得，
故的解集為．
故答案為：.
四、問答題
17．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列滿足且，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，運(yùn)用等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可得到所求；
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)行裂項(xiàng)相消求和即可.
【詳解】（1）（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由 成等比數(shù)列，
可得，則，解得(舍去)或，
所以的通項(xiàng)公式為
（2）（2）由（1）可知，，
所以.
18．已知．在中，．
(1)求角的大?。?br>(2)是邊上的一點(diǎn)，且，平分，且，求的面積．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，再由給定值求出角作答.
（2）利用正弦定理角化邊，再利用三角形面積公式列式求解作答.
【詳解】（1）依題意，，
由，得，而，即，因此，
所以.
（2）在中，由及正弦定理，得，
由（1）及平分，得，
又，由，得，
即，解得，，
所以的面積.
五、證明題
19．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為的中點(diǎn)．

(1)證明：；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明，再利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理作答.
（2）由（1）中信息，以點(diǎn)A作原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量求解作答.
【詳解】（1）在四邊形中，，取中點(diǎn)，連接，
由，得，則四邊形是平行四邊形，又，
因此是矩形，即有，有，，
從而，即，而平面，平面，則，
又平面，于是平面，而平面，
所以.

（2）由（1）知兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
依題意，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，
因此，顯然二面角的平面角為鈍角，
所以二面角的平面角的余弦值為.
20．已知數(shù)列滿足，，記．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，結(jié)合，得出，即可求解；
（2）由（1），求得，得到，分為偶數(shù)和為奇數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】（1）證明：因?yàn)閿?shù)列滿足，，可得，
又因?yàn)?，即，且?br>所以數(shù)列表示首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.
（2）解：由（1），可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可得，
所以
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：.
21．為了拓展學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)生對(duì)航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某校組織學(xué)生參加航空航天科普知識(shí)答題競(jìng)賽.每位參賽學(xué)生答題若干次，答題賦分的方法如下：第次答題，答對(duì)得分，答錯(cuò)得分：從第次答題開始，答對(duì)則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯(cuò)得分.學(xué)生甲參加答題競(jìng)賽，每次答對(duì)的概率為，各次答題結(jié)果互不影響.
(1)求甲同學(xué)前次答題得分之和為分的概率；
(2)在甲同學(xué)完成次答題，且第次答題答對(duì)的條件下，求答題得分之和不大于分的概率；
(3)記甲同學(xué)第次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為，求，并寫出與滿足的等量關(guān)系式（直接寫出結(jié)果，不必證明）.
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）分析可知甲前答題的正誤結(jié)果分別為：對(duì)對(duì)錯(cuò)，錯(cuò)對(duì)對(duì)，再利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；
（2）記事件甲同學(xué)完成次答題，第次答題答對(duì)，記事件甲同學(xué)完成次答題，答題得分之和不大于分，計(jì)算出、的值，利用條件概率公式可求得的值；
（3）分析可知的可能取值有、，求出在不同取值下的概率，可求得的值；分析第答對(duì)、答錯(cuò)，可得出與的關(guān)系式.
【詳解】（1）解：若甲同學(xué)前次答題得分之和為分，則甲前答題的正誤結(jié)果分別為：對(duì)對(duì)錯(cuò)，錯(cuò)對(duì)對(duì)，
所以所求概率為.
（2）解：記事件甲同學(xué)完成次答題，第次答題答對(duì)，
記事件甲同學(xué)完成次答題，答題得分之和不大于分，
在甲同學(xué)完成次答題，且在第次答題答對(duì)的條件下，答題得分之和不大于分的情形
有以下種：錯(cuò)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)，對(duì)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)，錯(cuò)對(duì)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)，錯(cuò)對(duì)錯(cuò)對(duì)錯(cuò)，錯(cuò)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)對(duì)，
所以，，，
由條件概率公式可得.
（3）解：的取值可以是、，且，，
所以.
若第次甲答對(duì)，則甲的得分為；若第次甲答錯(cuò)，則甲的得分為分.
所以，.
六、問答題
22．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率，所以對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得切線斜率，進(jìn)而得切線方程；
（2）根據(jù)題意屬于不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問題，可以把不等式分離參數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)的最值問題；也可以利用切線不等式得到即，再對(duì)分和討論即得的取值范圍.
【詳解】（1），，
，
的圖像在處的切線方程為，即.
（2）解法一：由題意得，因?yàn)楹瘮?shù)，
故有，等價(jià)轉(zhuǎn)化為，
即在時(shí)恒成立，所以，
令，則，
令，則，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，
，，
，使得，
當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，
故，
由，得
在中，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即與，
，
，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
解法二：因?yàn)楹瘮?shù)，
故有，等價(jià)轉(zhuǎn)化為：，
構(gòu)造，
，所以可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即成立，令，
令， 在單調(diào)遞增，
又，所以存在，使得，即，
可知，
當(dāng)時(shí)，可知恒成立，即此時(shí)不等式成立；
當(dāng)時(shí)，又因?yàn)椋?br>所以，與不等式矛盾；
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．

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