一、單選題
1．設復數(shù)z滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得，然后結合復數(shù)的除法運算求得正確答案.
【詳解】依題意，
.
故選：D
2．已知全集為U，集合M，N滿足，則下列運算結果一定為U的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)集合間的基本關系及集合的基本運算，借助Venn圖即可求解.
【詳解】由得當?時，?，故選項A不正確；
，當時，?，故選項B不正確；
當? 時，?，故選項C不正確；
因為，所以，故選項D正確.
故選：D.
3．已知向量，不共線，且，，若與共線，則實數(shù)的值為（ ）
A．2B．C．2或D．或
【答案】C
【分析】利用兩個向量共線的性質列方程可求得實數(shù)的值．
【詳解】向量，不共線，且，，與共線，
所以存在實數(shù)，使得，
所以，
求得實數(shù)或．
故選：C．
4．沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.
【詳解】解：如圖，連接，
因為是的中點，
所以，
又，所以三點共線，
即，
又，
所以，
則，故，
所以.
故選：B.
5．若展開式中二項式系數(shù)和為A，所有項系數(shù)和為B，一次項系數(shù)為C，則（ ）
A．4095B．4097C．-4095D．-4097
【答案】C
【分析】求得二項展開式的通項，結合通求得一次項的系數(shù)，再由二項展開式的二項式系數(shù)和的性質，求得二項式系數(shù)的和，以及，求得所有項的系數(shù)和，即可求解.
【詳解】由展開式的通項公式為，
所以一次項系數(shù)，
二項式系數(shù)和，
令，則所有項的系數(shù)和，
所以.
故選：C.
6．已知角θ的大小如圖所示，則＝（ ）

A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得進而又和差角公式得，又二倍角和齊次式即可求解.
【詳解】由圖可知
所以，
則，
故選：C
7．已知，，且，則的最小值為（ ）
A．3B．C．4D．6
【答案】A
【分析】令，則，利用一元二次方程有解可得的最小值.
【詳解】令，，則，
則可化為，
整理，
∵此方程一定有解，
∴，即，
解得，（舍），則的最小值為3.
故選:A.
8．設數(shù)列滿足，，，若表示大于的最小整數(shù)，如，，記，則數(shù)列的前2022項之和為（ ）
A．4044B．4045C．4046D．4047
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由遞推關系結合等差數(shù)列通項公式與累加法可得數(shù)列的通項公式，從而得到數(shù)列的通項公式，然后結合[x)的定義，即可得到結果．
【詳解】因為，所以，又，
所以數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，
所以
所以
，
當時也符合上式，故，
則數(shù)列的通項公式，
則數(shù)列的前2022項之和為
．
故答案為：4045．
二、多選題
9．已知直線，其中，下列說法正確的是（ ）
A．當時，直線與直線垂直
B．若直線與直線平行，則
C．直線過定點
D．當時，直線在兩坐標軸上的截距相等
【答案】AC
【分析】當時，利用直線的斜率關系可判斷A選項；利用兩直線平行求出實數(shù)的值，可判斷B選項；求出直線所過定點的坐標，可判斷C選項；利用截距式方程可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，當時，直線的方程為，
直線的斜率為，直線的斜率為，
因為，此時，直線與直線垂直，A對；
對于B選項，若直線與直線平行，則，解得或，B錯；
對于C選項，對于直線，由可得，
所以，直線過定點，C對；
對于D選項，當時，直線的方程為，即，
此時，直線在兩坐標軸上的截距不相等，D錯.
故選：AC.
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．的最大值為3B．的最小正周期為
C．的圖象關于直線對稱D．在區(qū)間上單調遞減
【答案】BC
【分析】首先利用誘導公式和二倍角公式、輔助角公式化簡，再利用正弦函數(shù)的性質逐一檢驗四個選項的正誤即可求解.
【詳解】
所以的最大值為，故選項A不正確；
的最小正周期為，故選項B正確；
因為，解得：，所以直線是的圖象的對稱軸，故選項C正確；
令，解得：，
所以在區(qū)間和單調遞減，在上單調遞增，故選項D不正確，
故選：BC.
11．已知同底面的兩個正三棱錐和均內(nèi)接于球O，且正三棱錐的側面與底面所成角的大小為，則下列說法正確的是（ ）.
A．平面QBC
B．設三棱錐和的體積分別為和，則
C．平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍
D．二面角的正切值為
【答案】BCD
【分析】由題可得PQ為球O的直徑，設P到底面的距離為h，球的半徑為R，結合條件可得，可得，然后逐項分析即得.
【詳解】∵同底面的兩個正三棱錐和均內(nèi)接于球O，
∴PQ為球O的直徑，
取AB的中點M，連接PM、QM，則PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，
∴∠PMC為側面PAB與底面ABC所成二面角的平面角，∠QMC為側面QAB與底面ABC所成二面角的平面角，又正三棱錐的側面與底面所成角的大小為，
設底面的中心為N，P到底面的距離為h，球的半徑為R，則PN=h，OP=R，ON=R－h(huán)，MN=h，CN=2h，
∴，
∴，QN=4h，PN=h，
∴P、C、Q、M四點共面，又CN=2MN，QN=4h，PN=h，
∴PA與QM不平行，故PA與平面QBC不平行，故A錯誤；
由QN=4PN，可得，故B正確；
∵平面ABC截球O所得的截面面積為，球O表面積為，
∴平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍，故C正確；
∵，
∴，，
∴，即二面角的正切值為，故D正確.
故選：BCD.
12．已知函數(shù)，則以下判斷正確的是（ ）
A．函數(shù)的零點是
B．不等式的解集是．
C．設，則在上不是單調函數(shù)
D．對任意的，都有．
【答案】BD
【分析】利用零點的定義可直接判定A，直接解不等式可判定B，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性計算即可判定C，構造差函數(shù)結合函數(shù)的單調性計算即可判定D.
【詳解】對于A項，零點是數(shù)不是點，故A錯誤；
對于B項，令，而恒成立，原不等式等價于，解之得，故B正確；
對于C項，，
所以，
設，則，
設
即定義域上單調遞增，，
即存在使得，
即存在使得，
所以時有，
則，在上單調遞增，故C錯誤；
對于D項，設，
由C項結論可知在上單調遞增，
所以有，
又，即成立，故D正確.
故選：BD
【點睛】本題關鍵在選項D，結合對函數(shù)的單調性的研究，構造差函數(shù)利用單調性比較大小來判定比較難想到.
三、填空題
13．已知等比數(shù)列的公比為2，前項和為，且6，，成等差數(shù)列，則 .
【答案】
【分析】利用等差中項的定義及等差數(shù)列的通項公式，結合等比數(shù)列的前項和公式即可求解.
【詳解】設等比數(shù)列的首項為，
因為6，，成等差數(shù)列，
所以，即，
又，
所以，解得，
所以.
故答案為：.
14．若，則 ．
【答案】
【分析】利用角的關系，建立函數(shù)值的關系求解．
【詳解】已知，且，則，故．
【點睛】給值求值的關鍵是找準角與角之間的關系，再利用已知的函數(shù)求解未知的函數(shù)值．
15．現(xiàn)有紅、黃、藍三種顏色，對如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色（分割成六個不同部分），要求每個區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個區(qū)域）的顏色不同，則不同的涂色方案有 種.（用數(shù)字作答）.
【答案】
【解析】根據(jù)題意，假設正五角星的區(qū)域依此為、、、、、，分析6個區(qū)域的涂色方案數(shù)，再根據(jù)分步計數(shù)原理計算即可.
【詳解】根據(jù)題意，假設正五角星的區(qū)域依此為、、、、、，如圖所示：
要將每個區(qū)域都涂色才做完這件事，由分步計數(shù)原理，先對區(qū)域涂色有3種方法，
、、、、這5個區(qū)域都與相鄰，每個區(qū)域都有2種涂色方法，
所以共有種涂色方案.
故答案為：
【點睛】方法點睛：涂色問題常用方法：
(1)根據(jù)分步計數(shù)原理，對各個區(qū)域分步涂色，這是處理區(qū)域染色問題的基本方法；
(2)根據(jù)共用了多少種顏色討論，分別計算出各種情形的種數(shù)，再用分類計數(shù)原理求出不同的涂色方法種數(shù)；
(3)根據(jù)某兩個不相鄰區(qū)域是否同色分類討論.從某兩個不相鄰區(qū)域同色與不同色入手，分別計算出兩種情形的種數(shù)，再用分類計數(shù)原理求出不同涂色方法總數(shù).
16．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P為橢圓上一點，線段與y軸交于點Q，若，且為等腰三角形，則橢圓的離心率為 .
【答案】
【分析】由線段與y軸交于點Q，得點橫坐標，代入橢圓方程得點縱坐標，由為等腰三角形，得，用表示此等式轉化為離心率的方程，解之可得．
【詳解】，線段與y軸交于點Q，，在右側，則，，，
為等腰三角形，則，
所以，，整理得，
，，
故答案為：．
四、解答題
17．在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊長，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，及，得，轉化為，得.
（2）由及（1）得，得，求出b，計算三角形面積.
【詳解】（1）由正弦定理，得，
即，
所以，
從而，
因為，所以．
（2）因為，
由（1）知，，解得，所以，
所以，，，
所以的面積為．
18．已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項和為，且，，數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式以及求和公式，建立方程組，可得答案；
（2）利用分組求和方法，可得答案.
【詳解】（1）數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項和為，且，，
設數(shù)列的首項為，公差為d，則，
解得，，所以.
（2）數(shù)列.
當時，，所以.
當時，，所以
.
所以.
19．為了調查某蘋果園中蘋果的生長情況，在蘋果園中隨機采摘了個蘋果.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知，.
(1)若從蘋果園中隨機采摘個蘋果，求該蘋果的重量在內(nèi)的概率；
(2)從這個蘋果中隨機挑出個，這個蘋果的重量情況如下.
為進一步了解蘋果的甜度，從這個蘋果中隨機選出個，記隨機選出的個蘋果中重量在內(nèi)的個數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.
【答案】(1)；
(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望為.
【分析】（1）利用正態(tài)密度曲線的對稱性結合已知條件可求得的值；
（2）分析可知，隨機變量的所有可能取值為、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進一步可求得的值.
【詳解】（1）解：已知蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，
由正態(tài)分布的對稱性可知，
，
所以從蘋果園中隨機采摘個蘋果，該蘋果的重量在內(nèi)的概率為.
（2）解：由題意可知，隨機變量的所有可能取值為、、，
，；，
所以，隨機變量的分布列為：
所以.
20．如圖，在長方形中，，點是棱上一點，且.
（1）證明：；
（2）若二面角的大小為，求的值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，得,，可得，求兩個向量的數(shù)得積，由向量垂直的充要條件可知兩向量垂直；
（2）由題意求得平面的法向量為，可求得平面的法向量為的一個解為，然后利用面面角的向量求法即得.
【詳解】（1）以為原點, 為軸為軸，為軸建立空間直角坐標系，
不妨設,則，,，
，于是，
，
故；
（2）平面，平面的法向量為，
又.
設平面的法向量為，
則，
所以向量的一個解為.
因為二面角的大小為，則,
解得.
又因是棱上的一點，所以，故所求的值為.
【點睛】易錯點晴：求二面角大小的常用方法（1）分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大?。?）分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大?。绢}難度中等.
21．已知橢圓C：的離心率為，焦距為2．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線l：（）與橢圓C相交于A，B兩點，且．
①求證：的面積為定值；
②橢圓C上是否存在一點P，使得四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出點P橫坐標的取值范圍；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)① 證明見解析；②不存在，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)橢圓焦距和離心率的概念求解即可；
（2）聯(lián)立橢圓方程與直線方程消去y后，利用韋達定理和得出，表示出的面積并化簡可證明的面積為定值；假設存在橢圓上的點P，使得OAPB為平行四邊形，借助表示出點P坐標代入橢圓方程可得出，與矛盾，從而得出結論．
【詳解】（1）由題意知，焦距，故，又，故，
所以，故橢圓C的方程為．
（2）①由消去y，化簡得：，
設，，則，
，，
故，
因為，所以，
所以，
坐標原點到直線l的距離為，
所以的面積為，
故的面積為定值．
②假設存在橢圓上的點P，使得OAPB為平行四邊形，則，
設，則，
又因為，即，得，
與矛盾，
故橢圓上不存在點P，使得OAPB為平行四邊形．
22．已知函數(shù)．
(1)設、是函數(shù)的圖像上相異的兩點，證明：直線的斜率大于0；
(2)求實數(shù)的取值范圍，使不等式在上恒成立．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得函數(shù)為單調遞增，再利用函數(shù)單調性以及兩點間斜率公式即可得直線的斜率大于0；
（2）將不等式在上恒成立轉化成函數(shù)在上恒成立，對實數(shù)的取值范圍進行分類討論即可求出結果.
【詳解】（1）由可得，
故函數(shù)在是嚴格增函數(shù)，
設，，，則，即，
即直線的斜率大于0．
（2）由題意得，設，，
①當時，恒成立，符合題意；
②當時，，
（?。┤?，，
所以在上是嚴格減函數(shù)，，滿足題意；
（ⅱ）若，注意到在時，，
于是，
故，不滿足題意舍去；
綜上，實數(shù)的取值范圍是．
重量范圍（單位：）
個數(shù)

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