一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式確定集合，然后由交集定義計(jì)算．
【詳解】，，
，，
所以，
故選：B．
2．若復(fù)數(shù)z滿足，其中是虛數(shù)單位，則（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)，解得，再由復(fù)數(shù)模的定義得答案.
【詳解】由，得，所以.
故選：D.
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】由是否得出，判定充分性；由是否推出，判定必要性是否成立．
【詳解】∵等價(jià)于，
當(dāng)或時(shí)，不成立；
∴充分性不成立；
又∵等價(jià)于，有；
∴必要性成立；
∴“”是“”的必要不充分條件．
故選：B．
4．已知中，，則等于（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
【答案】D
【分析】由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.
【詳解】由題意，在中，由正弦定理可得，
即，
又由，所以，且，
所以或，
故選：D.
5．已知，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，和差公式，輔助角公式及平方關(guān)系即可求解.
【詳解】，
則；因?yàn)?，?
故選：A.
6．納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中的納皮爾比擬式?納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻(xiàn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙的對(duì)數(shù)定律說(shuō)明書(shū)》，并且發(fā)明了對(duì)數(shù)表，可以利用對(duì)數(shù)表查詢(xún)出任意對(duì)數(shù)值.現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是（℃），空氣的溫度是（℃），經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出；現(xiàn)有一杯溫度為70℃的溫水，放在空氣溫度為零下10℃的冷藏室中，則當(dāng)水溫下降到10℃時(shí)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間約為（ ）參考數(shù)據(jù)：，.
A．3.048分鐘B．4.048分鐘C．5.048分鐘D．6.048分鐘
【答案】C
【分析】先將已知數(shù)據(jù)代入公式，再用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得到，用換底公式將為底的對(duì)數(shù)換成為底的對(duì)數(shù)，代入已知對(duì)數(shù)值計(jì)算即可.
【詳解】依題意，，，，代入公式得：
（分鐘），
故選：C.
7．已知，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出，在上的圖象，當(dāng)?shù)膱D象在的圖象的上方時(shí)，分析此時(shí)的取值范圍即可.
【詳解】作出，在上的圖象如下圖所示：

因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以的圖象在的圖象的上方（可以部分點(diǎn)重合），
且，令，所以，所以，
根據(jù)圖象可知：當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有最小值，，
當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有最大值，，
綜上可知的取值范圍是，
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是采用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化能使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的問(wèn)題，常見(jiàn)的圖象應(yīng)用的命題角度有：
（1）確定方程根的個(gè)數(shù)；
（2）求參數(shù)范圍；
（3）求不等式解集；
（4）研究函數(shù)性質(zhì).
8．已知，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，同除以6可變形得，利用導(dǎo)數(shù)研究增減性，即可判斷大小.
【詳解】，，，令，則，
當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，，，，，∴，
故選：A．
二、多選題
9．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．已知命題，則為
B．“”是“”的充分不必要條件
C．的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)，使
D．已知都是實(shí)數(shù)，則“”是“”的充要條件
【答案】ACD
【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定、充分與必要條件、三角函數(shù)、向量共線、對(duì)數(shù)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，的否定是：，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)，
或，
所以“”是“”的充分不必要條件，B選項(xiàng)正確.
C選項(xiàng)，若是非零向量，是零向量，則，
但不存在使得，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
D選項(xiàng)，對(duì)于“”有，
對(duì)于“”，不一定都是正數(shù)，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ACD
10．下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用特殊值及基本不等式判斷各選項(xiàng).
【詳解】時(shí)，，，，A不一定成立；
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，B不一定成立；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C一定成立；
，因此，時(shí)，，D不一定成立，
故選：ABD．
11．已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．若，則在上單調(diào)遞減
B．若在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則
C．若把的圖象向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為2
D．若，且在區(qū)間上有最小值無(wú)最大值，則
【答案】ABC
【分析】圖象過(guò)點(diǎn)，求出，A選項(xiàng)利用整體代入法驗(yàn)證單調(diào)區(qū)間；由零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍驗(yàn)證選項(xiàng)B；根據(jù)平移求出函數(shù)解析式，由偶函數(shù)求出的取值，得最小值驗(yàn)證選項(xiàng)C；由條件中的最小值點(diǎn)和周期范圍求的值驗(yàn)證選項(xiàng)D
【詳解】函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，
則有，由，得，有.
若，則，時(shí)，有，
是正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，所以在上單調(diào)遞減，A選項(xiàng)正確；
時(shí)，，若在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，
則有，解得，B選項(xiàng)正確；
把的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，
由函數(shù)為偶函數(shù)，有，解得，
又，則的最小值為2，C選項(xiàng)正確；
若，且在區(qū)間上有最小值無(wú)最大值，，
則有，解得，
則或，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：ABC
12．已知的定義域?yàn)?，且?duì)任意，有，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)
C．在上不單調(diào)D．當(dāng)時(shí)，
【答案】AD
【分析】由賦值法與函數(shù)單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)性的定義對(duì)選項(xiàng)逐一判斷
【詳解】法一：取特殊函數(shù)
取函數(shù)符合題意，驗(yàn)證A，D正確，B，C錯(cuò)誤
法二：抽象函數(shù)運(yùn)算
對(duì)于A，令，可得，因，所以，故A正確，
對(duì)于C，令可得，
設(shè)，令
所以，即
即在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于B，令，可得，因
所以，所以的圖象沒(méi)有關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，令，此時(shí)，
因，所以，故D正確，
故選：AD
三、單空題
13．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出和的值，可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)即可.
【詳解】依題知點(diǎn)為切點(diǎn)，
，，，，
因此，所求切線的方程為，即.
故答案為：
四、填空題
14．在中，為上一點(diǎn)，，為上任一點(diǎn)，若，則的最小值是 .
【答案】.
【分析】由已知結(jié)合向量的共線定理，求得，然后結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，且為上任一點(diǎn)，可得，
如圖所示，由三點(diǎn)共線，可得，其中，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值是.
故答案為：.
五、單空題
15．設(shè)函數(shù)，則滿足的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】通過(guò)構(gòu)造奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求得不等式的解集.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，
，所以是奇函數(shù)，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以在上單調(diào)遞增，
由，得，
，
則，所以的取值范圍是.
故答案為：
六、雙空題（新）
16．已知函數(shù)， ，方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為 ．
【答案】 /
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式求得；由先分解因式，然后根據(jù)分段函數(shù)解析式求得其實(shí)根的個(gè)數(shù).
【詳解】.
由得，
所以或，
對(duì)于，由于，所以無(wú)解.
對(duì)于，則或，
解得或或，
所以方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為.
故答案為：；
七、問(wèn)答題
17．如圖，在四邊形中，，，，.
(1)求；
(2)若，求的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）先求出，在中結(jié)合正弦定理求解即可；
（2）根據(jù)題中條件運(yùn)用二倍角公式求出的值，然后在中結(jié)合余弦定理求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
在中，根據(jù)正弦定理知，，
即，
解得.
（2）因?yàn)榍遥?br>所以.
因?yàn)椋?br>所以，
在中，由余弦定理知，，
即，
所以，即，
解得或（舍去），
所以的長(zhǎng)為3.
八、證明題
18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是等腰直角三角形，是頂角.

(1)求證：平面平面；
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)是等腰直角三角形得，再由平面平面，
，可得，進(jìn)而平面，可證平面平面.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系后，利用向量法求二面角的余弦值.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，?br>又平面平面，平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)槭堑妊苯侨切?，是頂角?br>所以,又，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）
取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)槭堑妊苯侨切?，是頂角?br>所以，
又平面平面，平面，
所以平面，
在四邊形中，，，又，
所以，
故如圖以為中心，分別以，，為方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
則，，，
分別設(shè)平面和平面的法向量為，，
則，，
即，
令得，，故
令得，，故
設(shè)二面角的一個(gè)平面角為，
則，
所以二面角的余弦值為.
19．已知數(shù)列中，為的前項(xiàng)和，，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】(1).
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）由已知得，即有，兩式相減得，根據(jù)等比數(shù)列的定義得數(shù)列為第二項(xiàng)起為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案；
（2）由（1）得，運(yùn)用錯(cuò)位相減法和數(shù)列的單調(diào)性可得證.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
，得，
兩式相減得，，即有，即為數(shù)列為第二項(xiàng)起為等比數(shù)列，
則，，，即有；
（2）解：，得，則，
即有前項(xiàng)和為，
，
兩式相減可得，
，
化簡(jiǎn)得，
由于各項(xiàng)大于0，得，
由不等式的性質(zhì)可得.
故.
九、問(wèn)答題
20．袋中有大小?質(zhì)地完全相同的五個(gè)小球，小球上面分別標(biāo)有0，1，2，3，4.
(1)從袋中任意摸出三個(gè)球，標(biāo)號(hào)為奇數(shù)的球的個(gè)數(shù)記為X，寫(xiě)出X的分布列；
(2)從袋中一次性摸兩球，和為奇數(shù)記為事件A，有放回地?fù)u勻后連摸五次，事件A發(fā)生的次數(shù)記為Y，求Y的分布列?數(shù)學(xué)期望和方差.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)分布列答案見(jiàn)解析，，
【分析】（1）求出X的所有可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，求出分布列；（2）得到，求出分布列，得到數(shù)學(xué)期望和方差.
【詳解】（1）由題可得X的所有可能取值為0，1，2
則X的分布列為
（2）由題易知
，因Y服從二項(xiàng)分布
則Y的分布列為
∴，
21．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，離心率，點(diǎn)F到左頂點(diǎn)的距離為3.
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知四邊形為橢圓的內(nèi)接四邊形，若邊過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)角線交點(diǎn)為右焦點(diǎn)F，設(shè)的斜率分別為，試分析是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，定值為
【分析】（1）由題意列出a,b,c的等量關(guān)系可得解；
（2）設(shè)A,B坐標(biāo)，寫(xiě)出AF方程與橢圓方程聯(lián)立，可得點(diǎn)C坐標(biāo)，同理得點(diǎn)D坐標(biāo)，然后寫(xiě)出斜率公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得定值.
【詳解】（1）由題意知
，，
所以橢圓方程為.
（2）設(shè)，則
可得：代入橢圓方程
整理得
由代入上式得
，是方程的一個(gè)解
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，
又因?yàn)樵谥本€上
∴，同理：∵，
∴，即
∴為定值，定值.
十、證明題
22．已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用導(dǎo)數(shù)證明，令，則，即可得到，再證明對(duì)任意，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；
【詳解】（1）解：依題意，，
，
令，則，解得或（舍去）
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，
即，整理得，
令，則，
累加可得，；
下面證明：對(duì)任意，，
記函數(shù)，則，令，
則，故當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，
所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，
即對(duì)，有，
令，則，
所以，
故，即.
【方法點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
3
4
5
P

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