一、單選題
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先由一元二次不等式的解法求得集合A，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域求得集合B，利用集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋?br>又時(shí)，，所以，
所以，
故選：D.
2．O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則＝（ ）
A．－2B．－
C．－D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正方形幾何特點(diǎn)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，用表示目標(biāo)向量，即可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：

＝＋＝＋＝－＋＝－，
所以λ＝1，μ＝－，因此＝－2.
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.
3．若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】A
【分析】根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式和復(fù)數(shù)性質(zhì)解題即可.
【詳解】，
所以復(fù)數(shù)的虛部為0.
故選：A
4．正項(xiàng)等比數(shù)列中的是函數(shù)的極值點(diǎn)，則
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】試題分析：由，則，因?yàn)槭呛瘮?shù)
的極值點(diǎn)，所以，又，所以，所以，故選A．
【解析】對(duì)比數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用．
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用，試題涉及知識(shí)點(diǎn)多，應(yīng)用靈活，屬于中檔試題，其中解答中根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的概念，得到是解答關(guān)鍵．
5．已知公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足成等差數(shù)列，則
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】成等差數(shù)列，，即，解得或（舍去），，故選C.
6．已知正四面體的內(nèi)切球的表面積為36，過(guò)該四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體，則所得截面的面積為
A．27B．27C．54D．54
【答案】C
【分析】先由內(nèi)切球表面積求出其半徑，結(jié)合圖像，找出球心半徑，用相似三角形列方程求出正四面體邊長(zhǎng)，再求出所需截面即可.
【詳解】解：由內(nèi)切球的表面積，得內(nèi)切球半徑
如圖，過(guò)點(diǎn)作平面，則點(diǎn)為等邊的中心
連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且點(diǎn)為中點(diǎn)，連接
記內(nèi)切球球心為，過(guò)作，設(shè)正四面體邊長(zhǎng)為
則，，，
又因?yàn)?，所?br>由，得，即，解得
因?yàn)檫^(guò)棱和球心，所以即為所求截面
且
故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的內(nèi)切球，找到球心求出半徑是解題關(guān)鍵.
7．已知，，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由，得出，再判斷，，得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，，且，則，，即；
所以，即，
所以，即.
所以.
故選：B.
8．已知又，對(duì)任意的均有成立，且存在使，方程在上存在唯一實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】化簡(jiǎn)可得，根據(jù)成立，且存在，可知存在使得，即，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】由
，
其中滿足，
又由任意的均有成立，
即任意的均有成立，
且存在使，
可知最大值為，
又，
當(dāng)時(shí)，，
又在上存在唯一實(shí)數(shù)使，
即.
故選：A
二、多選題
9．著名的“河內(nèi)塔”問(wèn)題中，地面直立著三根柱子，在1號(hào)柱上從上至下?從小到大套著n個(gè)中心帶孔的圓盤.將一個(gè)柱子最上方的一個(gè)圓盤移動(dòng)到另一個(gè)柱子，且保持每個(gè)柱子上較大的圓盤總在較小的圓盤下面，視為一次操作.設(shè)將n個(gè)圓盤全部從1號(hào)柱子移動(dòng)到3號(hào)柱子的最少操作數(shù)為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】由題可得，進(jìn)而可得是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，可得，即得.
【詳解】將圓盤從小到大編為號(hào)圓盤，則將第號(hào)圓盤移動(dòng)到3號(hào)柱時(shí)，需先將第號(hào)圓盤移動(dòng)到2號(hào)柱，需次操作；
將第號(hào)圓盤移動(dòng)到3號(hào)柱需1次操作；
再將號(hào)圓需移動(dòng)到3號(hào)柱需次操作，
故，，又，
∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴，即，
∴.
故選：AD.
10．折扇又名“紙扇”是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或者綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子.如圖1，其平面圖是如圖2的扇形，其中，，點(diǎn)在弧上，且，點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．在方向上的投影向量為
B．若，則
C．
D．的最小值是
【答案】ABD
【分析】利用投影向量的定義可判斷A選項(xiàng)；建立平面直角坐標(biāo)系，利用三角恒等變換結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算可判斷B選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，
所以，在方向上的投影向量為，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則、，設(shè)點(diǎn)，其中，
由可得，
所以，，所以，，
所以，，
，則，所以，，
所以，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，
，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，其中，、，
，，
所以，，
因?yàn)?，則，
所以，故當(dāng)時(shí)，取最小值為，D對(duì).
故選：ABD.
11．已知復(fù)數(shù)，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，對(duì)應(yīng)的向量分別為，，，則以下結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．若，則
C．若，則與的夾角為
D．若，則為正三角形
【答案】ABD
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式計(jì)算即可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可判斷B；根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求出與的夾角的余弦值即可判斷C；結(jié)合C選項(xiàng)即可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，則，
對(duì)于A，，
故
，
，
所以，故A正確；
對(duì)于B，若，則，故B正確；
對(duì)于C，設(shè)與的夾角為，
若，則，
即，
即，所以，
所以，即與的夾角為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則，
則，
即，由C選項(xiàng)可知與的夾角為，
同理與的夾角為，與的夾角為，
又，
所以，故D正確.
故選：ABD.
12．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增
B．若的圖象在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)
C．當(dāng)時(shí)，不存在極值
D．當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且
【答案】ABD
【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷；對(duì)于C，取，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷此時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，說(shuō)明極值情況，即可判斷；對(duì)于D，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理說(shuō)明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，繼而由可推出，即可證明結(jié)論，即可判斷.
【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)榍遥?br>所以，
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)橹本€的斜率為，
又因?yàn)榈膱D象在處的切線與直線垂直，
故令，解得，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，不妨取，
則，
令，則有，解得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上分別單調(diào)遞減；
所以此時(shí)函數(shù)有極值，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由A可知，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
，
所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，
，
所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
所以有兩個(gè)零點(diǎn)，分別位于和內(nèi)；
設(shè)，
令，則有，
則
，
所以的兩根互為倒數(shù)，所以，故D正確．
故選：ABD
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，綜合性較，解答的難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的判斷，要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，難就難在計(jì)算量較大并且計(jì)算復(fù)雜，證明時(shí)，要注意推出，進(jìn)而證明結(jié)論
三、填空題
13．已知函數(shù)，若方程有4個(gè)解分別為，且，則 .
【答案】10
【分析】作出函數(shù)圖象，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，有二次函數(shù)的對(duì)稱性可得，代入求解即可.
【詳解】作出函數(shù)的大致圖象，如下：

可知，且當(dāng)時(shí)，有2個(gè)解；
，
得；
當(dāng)時(shí)，由有2個(gè)解，根據(jù)圖象的對(duì)稱性，得.
.
故答案為：10.
14．函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) .
【答案】
【解析】由為奇函數(shù)，根據(jù)定義有，結(jié)合是單調(diào)函數(shù)即可求.
【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)知：，而，
∴，即，
又是單調(diào)函數(shù)，
∴，即有，解得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值，應(yīng)用的單調(diào)性列方程，屬于基礎(chǔ)題.
15．在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱、、兩兩夾角都為，且，，，、分別為、的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為 .
【答案】
【分析】計(jì)算出以及、的值，可求得的值，即可得解.
【詳解】如下圖所示：
由題意可得，，
所以，，
，
，
所以，.
因此，與所成角的余弦值為.
故答案為：.
16．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的最小值為 ．
【答案】8
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，由此可求得，，從而表示出，再根據(jù)基本不等式求解即可．
【詳解】解：∵，且，
∴，
∴公比，
∴，，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)， 即時(shí)等號(hào)成立，
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的前項(xiàng)和，考查基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．
四、解答題
17．函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中軸．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將的圖像向右平移個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到的圖像，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)圖象可求函數(shù)的對(duì)稱方程及，故可求函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象平移可求的解析式，故可求的值.
【詳解】（1）由圖象可得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為，
故，故，故，
而，故即
而，故，故.
（2）將的圖像向右平移個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到的圖像，
故，
故
.
18．在中，a、b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且．
（1）求角A的大小；
（2）若是方程的一個(gè)根，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理角化邊后，利用余弦定理得到，進(jìn)而求得；
（2）解方程求得方程的根，并作出取舍得到，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系得到的值，然后利用誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式求得.
【詳解】（1）∵，
∴，即，
∴，
又∵三角形內(nèi)角，
∴；
（2）等價(jià)于，解得或；
∵，∴，∴，
∴
.
19．函數(shù)在上的零點(diǎn)從小到大排列后構(gòu)成數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的基本性質(zhì)，求得其在內(nèi)的零點(diǎn)，分情況，可得答案；
（2）由題意，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，可得答案.
【詳解】（1）函數(shù)的最小正周期為.
函數(shù)在上的零點(diǎn)分別為.
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
即當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
即當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.
綜上，
（2），顯然數(shù)列為等差數(shù)列.
所以其前項(xiàng)和為.
五、證明題
20．如圖1，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，點(diǎn)分別是邊，的中點(diǎn)，.沿將翻折到的位置，連接，得到如圖2所示的五棱錐.
(1)在翻折過(guò)程中是否總有平面平面？證明你的結(jié)論；
(2)當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求點(diǎn)到面的距離；
(3)在（2）的條件下，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)總有平面平面，證明詳見解析
(2)
(3)存在，是的中點(diǎn)，理由見解析.
【分析】（1）通過(guò)證明平面來(lái)證得平面平面.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得點(diǎn)到平面的距離.
（3）利用平面與平面所成角的余弦值來(lái)列方程，從而求得點(diǎn)的位置.
【詳解】（1）折疊前，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以?br>由于分別是邊，的中點(diǎn)，所以，
所以，
折疊過(guò)程中，平面，
所以平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐體積最大，
由于平面平面，平面，，
所以平面，由于平面，所以，
由此以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
依題意可知，
設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè)，
所以到平面的距離為.
（3）存在，理由如下：
，，
設(shè)，則，
平面的法向量為，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，
故可設(shè)，
設(shè)平面與平面所成角為，
由于平面與平面所成角的余弦值為，
所以，
解得或（舍去），
所以當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，平面與平面所成角的余弦值為.
21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）計(jì)算，根據(jù)得到，確定等比數(shù)列，計(jì)算即可.
（2）利用累乘法得到，再根據(jù)錯(cuò)位相減法得到，構(gòu)造數(shù)列，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性計(jì)算最值得到答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得.
當(dāng)時(shí)，，相減得，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，驗(yàn)證時(shí)成立，
故；
（2），，
故.
，
兩式相減可得：
，
所以，.
令，，，
故，且，，，
是從第二項(xiàng)開始單調(diào)遞減數(shù)列，.
故.
22．已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線與直線平行，求函數(shù)的極值；
(2)已知，若恒成立.求證：對(duì)任意正整數(shù)，都有.
【答案】(1)極大值為，無(wú)極小值
(2)證明見解析
【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，代入，即可求得的單調(diào)性和極值.
（2）將不等式變形為，令，分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)為為求解的最大值，即時(shí)，恒成立，令，則，然后結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可求.
【詳解】（1）由，可得，
由條件可得，即.
則，
令可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
的極大值為，無(wú)極小值.
（2），即對(duì)任意的恒成立，
即，其中，
令，則，即，
構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，列表如下：
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以，，
即時(shí)，恒成立，
取，則對(duì)任意的恒成立，
令，則，
所以，
所以，即.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
+
0
-
極大值

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2020屆河北省衡水市武邑縣高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

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2020屆河北省衡水市武邑縣高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

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