一、單選題
1．設(shè)集合，．則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得，然后求得.
【詳解】.
故選：A
2．設(shè)全集，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由條件根據(jù)集合的運(yùn)算的定義，判斷各選項(xiàng)即可.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，，A錯(cuò)，
，，，B錯(cuò)，
，，C對(duì)，
，D錯(cuò)，
故選：C.
3．已知等差數(shù)列中，，則（ ）
A．7B．11C．9D．18
【答案】C
【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)直接計(jì)算求解即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，所以.
故選：C.
4．如圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被過(guò)棱、的中點(diǎn)、，頂點(diǎn)和過(guò)點(diǎn)頂點(diǎn)、的兩個(gè)截面截去兩個(gè)角后所得的幾何體，則該幾何體的體積為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】將正方體還原，利用割補(bǔ)法計(jì)算可得.
【詳解】解：如圖將正方體還原可得如下圖形：
則，，，
所以該幾何體的體積.
故選：C
5．已知平面直角坐標(biāo)系中的3點(diǎn)，則中最大角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)夾角公式算出每個(gè)內(nèi)角的余弦值，然后分析可得結(jié)果.
【詳解】，根據(jù)夾角公式，；
，根據(jù)夾角公式，；
，根據(jù)夾角公式，.
由，，，于是是鈍角，是銳角，最大角是，余弦值為.
故選：C
6．已知，為銳角，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由條件，結(jié)合同角關(guān)系求，再由特殊角三角函數(shù)值求，再利用兩角差的余弦公式求.
【詳解】因?yàn)?，所?，
又，為銳角，
所以，，且．
因?yàn)?，為銳角，，所以，
又， 所以，
故．
故選：D.
7．已知函數(shù)在定義域上的值不全為零，若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列式子中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由題設(shè)條件可得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且關(guān)于直線對(duì)稱，從而得到為偶函數(shù)且為周期函數(shù)，從而可判斷各項(xiàng)的正誤.
【詳解】∵函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，
∴函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，令，
∴，即，∴ …⑴
令，∵其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∴，
即，∴ …⑵
由⑴⑵得，，∴ …⑶
∴，
由⑵得,∴；∴A對(duì)；
由⑶，得，即，∴B對(duì)；
由⑴得，，又，
∴，∴C對(duì)；
若，則，∴，
由⑶得，又，∴，即，與題意矛盾，∴D錯(cuò).
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的對(duì)稱性、奇偶性、周期性，注意圖象的對(duì)稱性與函數(shù)解析式滿足的等式關(guān)系之間的對(duì)應(yīng)性，本題屬于中檔題.
8．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且截面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取CD的中點(diǎn)為N,的中點(diǎn)為R,的中點(diǎn)為H,證明平面MNRH//平面,平面,線段MP掃過(guò)的圖形為,通過(guò)證明,說(shuō)明為直角,得線段長(zhǎng)度的取值范圍為即可得解.
【詳解】取CD的中點(diǎn)為N,的中點(diǎn)為R,的中點(diǎn)為H,作圖如下:
由圖可知,,
所以四邊形為平行四邊形,
所以,
因?yàn)?
所以,
因?yàn)?
故平面MNRH//平面,
因?yàn)榻孛?
所以平面,線段MP掃過(guò)的圖形為,
由知,,
在中,,
即,所以，
所以,即為直角,
故線段長(zhǎng)度的取值范圍為,即,
故選:B
【點(diǎn)睛】本題考查面面平行的判定定理與性質(zhì)定理及空間兩點(diǎn)間的距離;重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想;屬于難度大、抽象型試題.
二、多選題
9．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P，則（ ）
A．P在第二象限B．P在第四象限
C．D．z的虛部為
【答案】AC
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義和共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的基本概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，
所以其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以A正確，B錯(cuò)誤；
由復(fù)數(shù)的虛部為，所以D錯(cuò)誤；
又由共軛復(fù)數(shù)的概念，可得，所以C正確.
故選：AC
10．已知圓：，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．點(diǎn)在圓內(nèi)B．圓的半徑為1
C．圓關(guān)于對(duì)稱D．直線與圓相切
【答案】BCD
【分析】對(duì)于A項(xiàng)，求點(diǎn)到圓心的距離與半徑比；對(duì)于B項(xiàng)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出圓心和半徑.對(duì)于C項(xiàng)，驗(yàn)證圓心是否在直線上；對(duì)于D項(xiàng)，驗(yàn)證圓心到直線的距離與半徑比.
【詳解】已知圓：，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為，
∴，B選項(xiàng)正確；圓心，將點(diǎn)到圓心的距離，
所以，點(diǎn)在圓外，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；將圓心代入直線，得成立，
所以直線過(guò)圓心，則圓關(guān)于直線對(duì)稱，C選項(xiàng)正確；
因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線與圓相切，D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
11．記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，S3＝6，則S4＝（ ）
A．－10B．－8C．8D．10
【答案】AC
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，解方程求出的值即得解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于，
，則 ，或，
所以或，
故選：AC.
12．如圖，已知三個(gè)兩兩互相垂直的半平面，，交于點(diǎn)，矩形的邊在半平面內(nèi)，頂點(diǎn)，分別在半平面，內(nèi)，，，與平面所成角為，二面角的余弦值為，則同時(shí)與半平面，，和平面都相切的球的半徑為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】如圖，補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，然后以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O –xyz，由線面角和二面角的定義可求得，的坐標(biāo)，求得平面ABCD的法向量，設(shè)平面ABCD與軸的交點(diǎn)分別為：，將原問(wèn)題進(jìn)一步等價(jià)于求三棱錐O - P1 P2 P3的內(nèi)切球半徑，運(yùn)用等體積法可求得答案．
【詳解】解：如圖所示，將矩形ABCD所在的平面，補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，然后以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O –xyz，
由，與平面所成角為，得，作底面于點(diǎn)P，則平面APB，從而，
所以即為二面角的平面角，即的余弦值為，則，故，，，，
所以，，
設(shè)平面ABCD的法向量，則，
令，得，從而，
設(shè)平面ABCD與軸的交點(diǎn)分別為：，則，所以，，所以，，所以原問(wèn)題進(jìn)一步等價(jià)于求三棱錐O - P1 P2 P3的內(nèi)切球半徑，
由于，
故是等腰三角形，其面積為，
三棱錐的表面積為，其體積為，
設(shè)外接球半徑為R，利用等體積法有，即，
同理，當(dāng)球在三棱錐外面與四個(gè)面都相切時(shí)，球的半徑為，
故選：AC．
三、填空題
13．函數(shù)的圖象在處的切線方程是 ．
【答案】（或）
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，
【詳解】由題意可得，則，，
故所求切線方程為，即（或）．
故答案為：
14．若等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為30，前20項(xiàng)和為100，則前30項(xiàng)和為
【答案】
【解析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則，，成等差數(shù)列，
即成等差數(shù)列，
所以，
，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)，需熟記性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
15．若方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意作圖，由函數(shù)與方程的關(guān)系，可得，進(jìn)而得到答案.
【詳解】作出，與的大致圖象，如圖所示．
由圖象，可知，即，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
故答案為：.
16．已知數(shù)列滿足，.給出下列四個(gè)結(jié)論：
①數(shù)列每一項(xiàng)都滿足；②數(shù)列的前項(xiàng)和；
③數(shù)列每一項(xiàng)都滿足成立；④數(shù)列每一項(xiàng)都滿足.
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
【答案】①③④
【分析】通過(guò)遞推公式，判斷出數(shù)列單調(diào)性，由此得到數(shù)列的取值范圍，根據(jù)取值范圍對(duì)①③④進(jìn)行判斷，算出即可判斷②.
【詳解】由，，
得，，，
，②錯(cuò)誤；
，
又因?yàn)椋?，所以，①正確；
由可得，即，
又，兩邊同時(shí)除以，可得：
，，… ，，
累加可得，
又因，
所以，即有，
當(dāng)時(shí)，，所以，③正確；
由，得，
則當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)時(shí)，，
所以，故④正確.
故答案為：①③④.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：數(shù)列中出現(xiàn)大小比較時(shí)，若通過(guò)原數(shù)列或者構(gòu)造新數(shù)列不能找到大小關(guān)系，常見(jiàn)思路為對(duì)數(shù)列進(jìn)行放縮，通過(guò)將數(shù)列放縮為一個(gè)簡(jiǎn)單的通項(xiàng)公式再進(jìn)行大小比較.
四、解答題
17．已知，則求：
（1）集合A的子集的個(gè)數(shù)，并判斷?與集合A的關(guān)系
（2）請(qǐng)寫出集合A的所有非空真子集
【答案】（1）8，?? （2），，，，，
【分析】（1）根據(jù)子集的概念，利用列舉法可得集合A的所有子集，從而可得子集個(gè)數(shù)以及 ?與集合A的關(guān)系；
（2）根據(jù)非空真子集的概念，利用列舉法可得答案.
【詳解】（1）的子集有?，，，，，，，共8個(gè)，
其中??.
（2）集合A的所有非空真子集有，，，，，.
【點(diǎn)睛】本題考查了子集和真子集的概念，屬于基礎(chǔ)題.
18．已知命題p:x2+2x-15≤0，命題q:︱x-1︱≤m (m>0)，若?p是?q的必要不充分條件，
求實(shí)數(shù)m的取值范圍
【答案】
【分析】利用不等式的解法求解出命題p，q中的不等式范圍問(wèn)題，結(jié)合二者的關(guān)系得出關(guān)于字母m的不等式，從而求解出m的取值范圍．
【詳解】解：x2+2x﹣15≤0的解集為[﹣5，3]，
故命題p成立有x∈[﹣5，3]，
由︱x-1︱≤m (m>0)，，
得x∈[1﹣m，m+1]，
若?p是?q的必要不充分條件，即p是q的充分不必要條件，
因此有[﹣5，3] 為[1﹣m，m+1]真子集，
即，（兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)取到）
解得：
19．如圖，在平面四邊形中，點(diǎn)與點(diǎn)分別在的兩側(cè)，對(duì)角線與交于點(diǎn)，.

(1)若中三個(gè)內(nèi)角、、分別對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)為、、，的面積，，求和；
(2)若，且，設(shè)，求對(duì)角線的最大值和此時(shí)的值.
【答案】(1)，
(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)角線長(zhǎng)的最大值為
【分析】（1）利用三角形的面積公式以及余弦定理可求出的值，結(jié)合的取值范圍可求得的值，設(shè)，則，利用正弦定理可求得的值；
（2）利用余弦定理求得，結(jié)合余弦定理分析可知，為等腰直角三角形，再利用余弦定理結(jié)合三角函數(shù)看可求出的長(zhǎng)的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值.
【詳解】（1）解：因?yàn)榈拿娣e，即，
整理可得，所以，，
又因?yàn)?，則，設(shè)，則，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因?yàn)?，則，所以，，
因?yàn)?，則，所以，，
因?yàn)?，則，所以，，解得，即.
（2）解：因?yàn)?，則，其中，
則，
由余弦定理可得
，則，
在中，，，
由余弦定理可得，
所以，，故，故為等腰直角三角形，
則，
所以，
，
易知，則，
故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為.
20．如圖，在三棱臺(tái)中，，平面，，，，且D為中點(diǎn).求證：平面；
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)空間位置關(guān)系的向量證明方法，即可證明結(jié)論.
【詳解】由題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，,分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，
則，
故，
，
即，
又平面，
故平面.
21．過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸、軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積取得最小值時(shí)的直線方程．
【答案】.
【分析】由題意設(shè)直線的方程為，然后求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，從而可表示出的面積，利用基本不等式可求出其最小值，從而可求出直線方程.
【詳解】由題意知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，即，
在直線的方程中，令，可得；
令，可得.
所以點(diǎn)，
由已知條件可得，得，
所以的面積為
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以直線的方程為.
22．已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)函數(shù)（），若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)增區(qū)間，減區(qū)間
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.
（2）由在恒成立，分離常數(shù)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.
【詳解】（1），的定義域?yàn)?
，
設(shè)，
，
，
所以在區(qū)間遞增；
在區(qū)間遞減.
（2），，
在上恒成立，
在上恒成立，
令，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上遞增，
，
所以，即的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】由函數(shù)在區(qū)間上的遞增（或遞減）來(lái)求參數(shù)的取值范圍，可利用（或）恒成立來(lái)建立不等關(guān)系式，然后通過(guò)分離常數(shù)法，再次結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求得參數(shù)的取值范圍.

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