1.已知集合A=?2,?1,0,1,2，B={x|123n”的
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
3.若復(fù)數(shù)z滿足i(z?i)=2+i，則|z|=( )
A. 2 B. 2C. 5 D. 10
4.若直線y=ax與曲線y=e2x相切，則a=
A. 2B. eC. 2eD. e2
5.已知α，β均為銳角，若sinα+β=13，sinα?β=14，則
A. tanαtanβ=17 B. tanαtanβ=7
C. tanαtanβ=17 D. tanαtanβ=7
6.已知x，y均為正實(shí)數(shù)，若x+y=1，則2x?y+2xy的最小值為
A. 4B. 9C. 12D. 14
7.已知平面向量a，b，c，若a=b=a?b=c?2a=1，則b?c的最大值為( )
A. 32 B. 1C. 3 D. 2
8.已知函數(shù)fx=x2?aexlnx+1的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，則a的取值范圍為( )
A. (0,e)B. (0,e?1)C. (4e?2,e)D. (0,4e?2)
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a10=9，S20=200，則( )
A. a1=1B. {an}是遞增數(shù)列
C. 當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值D. 若Sn>0，則n的最小值為11
10.已知函數(shù)f(x)=sin2x+acs2x滿足f(x)≤f(π8)，則( )
A. a=1
B. 點(diǎn)(?9π8,0)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心
C. f(x)在區(qū)間(π8,3π4)上單調(diào)遞減
D. 若函數(shù)f(λx)(λ>0)在區(qū)間(0,π)上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則λ∈(58,98]
11.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足fx+y=fxf1?y+fyf1?x，f(1)=1，則
A. f(0)=0B. f(x)=f(2?x)C. f(x)是偶函數(shù)D. 2025k=1 f(k)=1
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若a1=1，a2=?12，則數(shù)列{|an|}的前6項(xiàng)和為 ．
13.已知函數(shù)fx=x?a3lnx+bx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則a+b=________．
14.在平面四邊形ABCD中，若AB=AD=1，BC=2BD，BD⊥BC，則AC的最大值為________．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率為 22．
(1)求C的方程；
(2)已知點(diǎn)M0,13，直線l過F且與C交于A，B兩點(diǎn)，若|MA|=|MB|，求l的方程．
16.(本小題15分)
記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b?2csAa=2csCc．
(1)求c；
(2)若BA?BC=2CA?CB，求△ABC面積的最大值．
17.(本小題15分)
如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，點(diǎn)A1在底面ABC的射影為O，AB⊥AC，A1A=A1B=4，AC=3，A1O=2 3，E是A1B的中點(diǎn)．
(1)證明：OE //平面AA1C1C；
(2)若直線AB與平面EAC所成角的正弦值為 105，求三棱柱ABC?A1B1C1的體積．
18.(本小題17分)
已知函數(shù)fx=aex?a?lnx?1，a≥0．
(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)F(x)=f(x)+x的最小值；
(2)若f(x)≥0，求a；
(3)證明：f(x)+|x?a|≥0．
19.(本小題17分)
若有窮數(shù)列An:a1,a2,?,ann∈N?,n≥2滿足：①a1=1；②ak+1?ak=qk，則稱An為Eq數(shù)列．
(1)已知A4是E1數(shù)列，寫出a4的所有可能值；
(2)已知An是E2數(shù)列，對(duì)任意給定的n，將an的所有可能取值從小到大排列構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{cm}.
(i)證明：當(dāng)n≥3時(shí)，{cm}是等差數(shù)列；
(ii)求{cm}中所有項(xiàng)的和．
參考答案
1.B
2.C
3.A
4.C
5.D
6.B
7.D
8.D
9.BD
10.ABD
11.ABD
12.6332
13.?1
14.2+ 5
15.解：(1)
右焦點(diǎn)為F1,0，離心率為 22，
由橢圓的性質(zhì)知，焦距2c=2，因此c=1；
離心率公式為e=ca= 22，解得a= 2；
再根據(jù)橢圓的定義b2=a2?c2，代入a和c的值，可以求得b2=1．
因此，橢圓C的方程為x22+y2=1．
(2)
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，
①當(dāng)斜率為0時(shí)，過F1,0的直線l的方程為y=0，此時(shí)MA=MB，符合題意；
②當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x?1)，A(x1,y1),B(x2,y2)，
聯(lián)立x22+y2=1，消去y，整理得(1+2k2)x2?4k2x+2k2?2=0，
所以x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2?21+2k2，
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N(x0,y0)，
則x0=x1+x22=2k21+2k2，
y0=k(x0?1)=?k1+2k2，
因?yàn)閨MA|=|MB|，而kMN=?k1+2k2?132k21+2k2?0=?3k?1?2k26k2，
所以MN⊥AB，所以kMN?kAB=?1，
即?2k2?3k?16k=?1，解得k=12或1，
所以直線l的方程為x?y?1=0或x+y?1=0．
綜上所述，直線l的方程為y=0或x?y?1=0或x?2y?1=0

16.(1)
由b?2csAa=2csCc可得：bc?2ccsA=2acsC，
由正弦定理可得：csinB?2sinCcsA=2sinAcsC，
所以csinB=2sinAcsC+2sinCcsA=2sinB，
因?yàn)锽∈(0,π)，所以sinB≠0，
所以c=2．
(2)
由BA?BC=2CA?CB可得：accsB=2abcsC，
所以ccsB=2bcsC，由正弦定理可得：sinCcsB=2sinBcsC，
所以3sinCcsB=2sinBcsC+2sinCcsB=2sinB+C=2sinA，
由正弦定理可得：3ccsB=2a，又因?yàn)閏=2，
所以3csB=a，
所以?ABC面積為：S=12acsinB=3csBsinB=32sin2B≤32，
當(dāng)sin2B=1即B=π4時(shí)取等．
所以?ABC面積的最大值為32．

17.(1)證明：連接BO并延長(zhǎng)交AC于D，連接OA,DA1，
由題意OA1⊥平面ABC，AO,BO?平面ABC，
所以A1O⊥AO,A1O⊥BO，
又A1A=A1B=4，所以?A1OA與?A1OB全等，即OA=OB，所以∠OAB=∠OBA，
又AB⊥AC，即∠BAC=90°，所以∠OAB+∠OAD=90°，∠ODA+∠OBA=90°，
所以∠ODA=∠OAD，
所以AO=DO，即AO=DO=OB，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，
又E是A1B的中點(diǎn)，所以O(shè)E//A1D，
又OE?平面AA1C1C，A1D?平面AA1C1C，
所以O(shè)E//平面AA1C1C．
(2)過點(diǎn)A作Az//OA1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，
OB=OA= AA12?A1O2=2，
設(shè)AB=2a,AD=2b，則有a2+b2=4，
Oa,b,0,B2a,0,0,A1a,b,2 3,C0,3,0,E3a2,b2, 3，
則AE=3a2,b2, 3,AB=2a,0,0,AC=0,3,0，
設(shè)平面AEC的法向量為n=x,y,z，
則n?AE=3a2x+b2y+ 3z=0n?AC=3y=0，令x=2，則n=2,0,? 3a，
所以cs< n,AB>=|n?AB||n||AB|=4a2a 4+3a2= 105，解得a= 2，即AB=2 2，
所以三棱柱ABC?A1B1C1的體積為V=A1OS?ABC=2 3×12×3×2 2=6 6．

18.解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，fx=?lnx?1，F(xiàn)x=fx+x=?lnx+x?1，x∈(0,+∞)，
F′x=?1x+1=x?1x，當(dāng)01時(shí)，nx0時(shí)，當(dāng)x≥a時(shí)，fx+x?a=aex?a?lnx+x?a?1=aex?a?1+x?lnx?1，
由(1)知，x≥lnx+1，則fx+x?a≥aex?a?1≥0；
當(dāng)x0，
綜上所述，fx+x?a≥0．

19.解：(1)
ak+1?ak=1，設(shè)ak+1?ak=ek，ek∈?1,1，
故a4=a1+a2?a1+?+a4?a3=1+e1+e2+e3，
因?yàn)閑k=?1或ek=1，故a4∈?2,0,2,4．
(2)
(i)|ak+1?ak|=2k，設(shè)ak+1?ak=bk2k,bk∈?1,1，
所以an=a1+a2?a1+?+an?an?1=1+b121+b222+?+bn?12n?1，
不妨設(shè)aMi,aMj是aM中所有可能中的任意兩個(gè)，
假設(shè)aMi=1+bi121+bi122+?+biM?12M?1，aMj=1+bj121+bj222+?+bjM?12M?1，
不妨設(shè)biM?1=bjM?1，biM?2=bjM?2，…，bik=bjk，bik?1≠bjk?1，
所以aMi?aMj=1+bi121+bi122+?+bik?12k?1?1+bj121+bj122+?+bjk?12k?1，
不妨設(shè)bik?1=1,bjk?1=?1，則
aMi?aMj≥1?21?22???2k?2+2k?1?1+21+22+...+2k?2?2k?1
=?2k?1+3+2k?1?2k?1?1?2k?1=4，
即am=1+b121+b222+?+bm?12m?1中的2m?1種表示中，其取值互不相等，
即數(shù)列cm中共有2n?1項(xiàng)，易得c1=1?2?22???2n?1=?2n+3，
c2n?1=1+2+22+?+2n?1=2n?1，故c2n?1?c1=2n+1?4；
又c2n?1?c1=c2n?1?c2n?1?1+c2n?1?1?c2n?1?2+...+c2?c1
≥4+4+...+4=2n+1?4，故cm中ci+1?ci=4恒成立，
故cm是以等差數(shù)列c1=?2n+3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列；
(ii)當(dāng)n=2時(shí)，cn只有兩項(xiàng)，分別為?1,3，故和為2，
當(dāng)n≥3，由(i)可得，因?yàn)閏m是等差數(shù)列，共有2n?1項(xiàng)，
故其所有和為2n?1c1+c2n?12=2n?1?2n+3+2n?12=2n?1，
綜上，cm中所有項(xiàng)的和為2n?1．

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