一、單選題
1．準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】的準(zhǔn)線方程為.
【詳解】的準(zhǔn)線方程為.
故選：D.
2．直線l經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且平行于直線，則直線l的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】聯(lián)立已知兩條直線方程求出交點(diǎn)，再根據(jù)兩直線平行則斜率相同求出斜率即可.
【詳解】由得兩直線交點(diǎn)為(－1，0)，直線l斜率與相同，為，
則直線l方程為y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.
故選：B.
3．直線＝的傾斜角＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由直線方程可得直線的斜率，再由斜率和傾斜角的關(guān)系可得所求．
【詳解】∵直線的斜率為，
由斜率和傾斜角的關(guān)系可得，
又∵
∴＝，
故選：A.
4．已知雙曲線C過點(diǎn)且漸近線為，則雙曲線C的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由漸近線方程可設(shè)雙曲線的方程為，代入點(diǎn)，可得雙曲線的方程.
【詳解】由，可得，可設(shè)雙曲線的方程為，
又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，
可得，即，所以雙曲線的方程為，
故選：A.
5．已知圓的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出圓心的坐標(biāo)，設(shè)的中點(diǎn)為，由垂徑定理可得，求出直線的斜率，可得出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，
設(shè)的中點(diǎn)為，由垂徑定理可知，
所以直線的斜率為，
所以直線的斜率為，
所以，直線的方程為，即.
故選：B.
6．已知直線l和拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則p的值為（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】由垂直關(guān)系得出直線l方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及數(shù)量積公式得出p的值.
【詳解】，，即
聯(lián)立直線和拋物線方程得
設(shè)，則
解得
故選：B
7．若橢圓的短軸長(zhǎng)是焦距的2倍，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】記橢圓的焦距為，根據(jù)題中條件，得到，進(jìn)而可求出離心率.
【詳解】記橢圓的焦距為，
因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)是焦距的2倍，
所以，即，所以，即，即，所以，
因此橢圓的離心率為.
故選：B.
8．已知，為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若為內(nèi)切圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖畲笾禐?時(shí)，的內(nèi)切圓半徑為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及雙曲線的定義，確定M的橫坐標(biāo)，即得出圓心的橫坐標(biāo)，利用圓的幾何性質(zhì)知的最大值即為，即可求解.
【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓分別與，切于N，B，與切于M，如圖，
則,
又點(diǎn)在雙曲線右支上，
所以，
故，而，
設(shè)M的坐標(biāo)為，可得: ，
解得，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則內(nèi)切圓圓心為，
則的最大值為，即，
解得.
故選：C
二、多選題
9．設(shè)直線過原點(diǎn)，其傾斜角為，將直線繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到直線，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】分別在和求得旋轉(zhuǎn)后傾斜角即可.
【詳解】直線傾斜角的取值范圍為，
當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)后得到的傾斜角為：；
當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)后得到的傾斜角為：.
故選：AC.
10．已知曲線：，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則曲線表示雙曲線
B．曲線可能表示一個(gè)圓
C．若曲線是橢圓，則其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為
D．若，則曲線中過焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為
【答案】AD
【分析】由雙曲線方程特征知A正確；
假設(shè)曲線表示圓，可得所需方程，由方程無解知B錯(cuò)誤；
由曲線表示橢圓可確定，進(jìn)而得到長(zhǎng)軸長(zhǎng)，知C錯(cuò)誤；
由橢圓過焦點(diǎn)最短弦為通徑，由通徑長(zhǎng)為可知D正確.
【詳解】對(duì)于A，，，，滿足雙曲線方程，A正確；
對(duì)于B，若曲線表示圓，則，方程無解，則曲線不能表示圓，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，恒成立，若曲線表示橢圓，則，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則，則過焦點(diǎn)的最短弦為通徑，通徑長(zhǎng)為，D正確.
故選：AD.
11．已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)重合，分別為的離心率，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由題可得，即可得出，進(jìn)而表示出離心率即可得出答案.
【詳解】因?yàn)榈慕裹c(diǎn)重合，所以，即，所以，故A正確；
則，故C正確.
故選：AC.
12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：(a>0，b>0)的離心率為，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，A，B分別是雙曲線C的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C的右支上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，記PA，PB的斜率分別為，，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線C的漸近線方程為y=±2xB．雙曲線C的方程為
C．為定值D．存在點(diǎn)P，使得+=2
【答案】BCD
【解析】根據(jù)雙曲線C：(a>0，b>0)的離心率為和拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，分別求得a，b，驗(yàn)證選項(xiàng)A，B.然后根據(jù)斜率公式和點(diǎn)p的坐標(biāo)，驗(yàn)證選項(xiàng)C，D.
【詳解】因?yàn)殡p曲線C：(a>0，b>0)的離心率為，
所以，，漸近線方程為，故A錯(cuò)誤；
又，則，所以雙曲線方程為，故B正確；
因?yàn)?，設(shè)，則，故C正確；
，因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，漸近線方程為，所以，則 ，所以，所以存在點(diǎn)P，使得+=2，故正確；
故選：BCD
三、填空題
13．過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則線段的長(zhǎng)度為 .
【答案】
【分析】利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得的值.
【詳解】設(shè)點(diǎn)、，則，所以，.
故答案為：.
14．已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在該雙曲線上，若，則 .
【答案】3或7/7或3
【分析】根據(jù)雙曲線的定義及雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離范圍進(jìn)行求解即可
【詳解】由雙曲線定義知：，而，即
3或7.
又點(diǎn)在該雙曲線上時(shí)要滿足：或者
所以或.
故答案為：3或7
15．已知點(diǎn)，直線，動(dòng)圓過點(diǎn)且與直線相切，其圓心的軌跡為曲線，上的動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為到直線的距離為，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離求出曲線的方程，當(dāng)共線時(shí)， 取最小值，求出點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合拋物線的定義得出，求解得出答案.
【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心為
依題意可知，點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離
則，兩邊平方化簡(jiǎn)得
即點(diǎn)的軌跡為拋物線，方程為
由拋物線的定義可知
點(diǎn)到直線的距離為
（當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)）
即的最小值為
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于由距離公式得出曲線的方程，進(jìn)而結(jié)合拋物線的性質(zhì)求出最小值.
16．已知過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，直線OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)D，則△面積的最小值為 ．
【答案】
【分析】令：，，根據(jù)已知條件求坐標(biāo)且可得軸，由，進(jìn)而用參數(shù)k表示，再得到△面積關(guān)于k的函數(shù)式，應(yīng)用換元法、導(dǎo)數(shù)求面積最小值.
【詳解】由題設(shè)，直線斜率不為0，令：，聯(lián)立拋物線，
∴，不妨設(shè)，
∴，，又拋物線準(zhǔn)線方程為，直線，
∴，又，則，
∴，即軸，
綜上，，，
而，則，
由，則，
∴，令，
∴，令，則，
當(dāng)時(shí)，，則遞增；當(dāng)時(shí)，，則遞減；
∴，故最小值為，此時(shí)(由對(duì)稱性最小值也成立).
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)直線及交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線，結(jié)合直線與準(zhǔn)線、拋物線交點(diǎn)求證軸，根據(jù)，進(jìn)而得到面積關(guān)于參數(shù)的函數(shù)式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求其最小值.
四、解答題
17．雙曲線（，）的離心率，且過點(diǎn).
(1)求a，b的值；
(2)求與雙曲線C有相同漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件建立關(guān)于a、b、c的方程組可解；
（2）巧設(shè)與已知雙曲線同漸近線的雙曲線方程為可得.
【詳解】（1）因?yàn)殡x心率，所以.
又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線C上，所以.
聯(lián)立上述方程，解得，，即，.
（2）設(shè)所求雙曲線的方程為，
由雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，得，即.
所以雙曲線的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為.
18．已知圓，直線．
（1）求證：直線l恒過定點(diǎn)；
（2）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)時(shí)，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析；（2）點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l與圓C相交（無論m為何實(shí)數(shù)）；（3）.
【分析】（1）將直線方程整理為關(guān)于參數(shù)m的方程，可令求解，即可證結(jié)論.
（2）由（1）所得定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，即可判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（3）由圓的弦長(zhǎng)與半徑、弦心距的關(guān)系，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：直線l的方程可化為，又，
∴，解得，
∴直線l恒過定點(diǎn)．
（2）圓心，，
∴點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l與圓C相交（無論m為何實(shí)數(shù)）．
（3）當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，圓心到直線l的距離．
∴此時(shí)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為．
19．已知直線恒過定點(diǎn)且分別交軸?軸的正半軸于兩點(diǎn).
(1)求過定點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程；
(2)求當(dāng)面積最小時(shí)，直線的方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知直線確定其所過定點(diǎn)，再由垂直關(guān)系確定斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出所求直線；
（2）設(shè)直線的方程為，應(yīng)用基本不等式及面積公式求最小面積對(duì)應(yīng)參數(shù)值，即可得直線方程.
【詳解】（1）直線，則，
由，得，故直線恒過定點(diǎn).
又直線與直線垂直，故，
所以直線的方程為，即.
（2）設(shè)直線的方程為，則，
又，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，.
當(dāng)面積最小時(shí)，直線的方程為，即.
20．如圖，是過拋物線焦點(diǎn)F的弦，M是的中點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，為垂足，點(diǎn)N坐標(biāo)為.
(1)求拋物線的方程；
(2)求的面積（O為坐標(biāo)系原點(diǎn)）.
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）由已知得準(zhǔn)線方程為：，由此可求得拋物線的方程；
（2）設(shè)，代入拋物線的方程作差得，再由M是的中點(diǎn)，求得，由此求得直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立可求得弦長(zhǎng)AB，由三角形的面積公式可求得答案.
【詳解】（1）解：點(diǎn)在準(zhǔn)線上，所以準(zhǔn)線方程為：，
則，解得，所以拋物線的方程為：；
（2）解：設(shè)，由在拋物線上，
所以，則，
又，所以點(diǎn)M縱坐標(biāo)為是的中點(diǎn)，所以，
所以，即，又知焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，則直線的方程為：，
聯(lián)立拋物線的方程，得，解得或，所以，
所以.
21．已知過的直線l與圓O：相交于不同兩點(diǎn)A，B，且點(diǎn)A，B在x軸下方，點(diǎn).
(1)求直線l的斜率的取值范圍；
(2)證明：；
(3)求三角形ABN面積的最大值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）故設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)結(jié)合得到答案.
（2）設(shè)，則，計(jì)算，得到證明.
（3）設(shè)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算，設(shè)，利用均值不等式計(jì)算得到答案.
【詳解】（1）由題知，故設(shè)直線l的方程為，
，故，，
即，故直線l的斜率k的取值范圍為.
（2）設(shè)，則，
，故.
（3）設(shè)，則由（1）知，，
∴
，
設(shè)，，則，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
故三角形ABN面積的最大值為.
22．已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）由離心率公式可得，進(jìn)而可得，即可得解；
（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；
充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，進(jìn)而可得，即可得解.
【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，
又，所以橢圓方程為；
（2）由（1）得，曲線為，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，
必要性：
若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，
由直線與曲線相切可得，解得，
聯(lián)立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：設(shè)直線即，
由直線與曲線相切可得，所以，
聯(lián)立可得，
所以，
所以
，
化簡(jiǎn)得，所以，
所以或，所以直線或，
所以直線過點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；
所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.

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