一、單選題
1．過兩點(diǎn)的直線的傾斜角是135°，則等于（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【分析】根據(jù)直線的斜率概念，結(jié)合斜率的定義和斜率公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)樾甭?，所以，?
故選：D.
2．圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．內(nèi)切C．外切D．外離
【答案】C
【分析】根據(jù)兩圓的方程確定圓心坐標(biāo)和半徑，判斷圓心距離和兩圓半徑的關(guān)系，即可知圓的位置關(guān)系.
【詳解】由題設(shè)，，，
∴，；，，
∴，故兩圓相切.
故選：C
3．設(shè)，若直線與直線平行，則的值為（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】根據(jù)直線的一般式判斷平行的條件進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】時(shí)，容易驗(yàn)證兩直線不平行，當(dāng)時(shí)，根據(jù)兩直線平行的條件可知：，解得或.
故選：C.
4．已知點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,0,y)，若PA⊥平面ABC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ）
A．(－1，0，2)B．(1，0，2)
C．(1，0，－2)D．(－1，0，－2)
【答案】A
【分析】由題意可得，，的坐標(biāo)，再由PA⊥平面ABC，得，，即有，，由兩向量垂直數(shù)量積為0，列出方程求解即可.
【詳解】解：由題意可得，，，
又因?yàn)镻A⊥平面ABC，
，平面ABC，
所以，，
即，，
所以，
即，解得，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo).
故選：A.
5．已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的方程為，隨著a的增大該橢圓的形狀
A．越扁B．越接近于圓C．先接近于圓后越扁D．先越扁后接近于圓
【答案】B
【分析】首先根據(jù)橢圓成立的條件求出的取值范圍，進(jìn)一步利用函數(shù)的單調(diào)性求出橢圓的離心率的變化規(guī)律，最后確定結(jié)果．
【詳解】解：依題意有解得，橢圓的離心率，令，容易判斷在上單調(diào)遞減，則，于是，當(dāng)a越來越大時(shí)，e越來越趨近于0，橢圓越來越接近于圓.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：橢圓成立的條件，橢圓中、、的關(guān)系及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．屬于中檔題．
6．已知空間向量，，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則實(shí)數(shù)
B．，夾角的余弦值為
C．
D．在上的投影向量為
【答案】C
【分析】對(duì)于A，利用的方向向量為平面的法向量共線,即可判斷；對(duì)于B，利用向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可；對(duì)于C，計(jì)算出，利用模長公式計(jì)算；對(duì)于D ，利用在上的投影向量為計(jì)算即可.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，則，解得，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>所以，，設(shè)與的夾角為，
則，故B正確；
對(duì)于C，，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，在上的投影向量為，
故D正確．
故選：C．
7．材料一：已知三角形三邊長分別為，則三角形的面積為，其中.這個(gè)公式被稱為海倫一秦九韶公式.材料二：阿波羅尼奧斯（Apllnius）在《圓錐曲線論》中提出橢圓定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.根據(jù)材料一或材料二解答：已知中，，則面積的最大值為（ ）
A．6B．10C．12D．2
【答案】C
【分析】用材料一：根據(jù)海倫-秦九韶公式化簡得，再利用基本不等式求最值.
用材料二：寫出橢圓方程，根據(jù)（為到的距離），可知當(dāng)點(diǎn)位于短軸的頂點(diǎn)時(shí)，可取到面積的最大值，通過計(jì)算即可求解.
【詳解】用材料一：根據(jù)海倫-秦九韶公式，，其中，
由題意，可知，，，且，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
用材料二：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，的垂直平分線為軸，
由橢圓的定義易知，橢圓方程為，
所以面積（為到的距離），，
可知當(dāng)點(diǎn)位于短軸的頂點(diǎn)時(shí)，取到最大值為4，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
故選：C.
8．動(dòng)直線與拋物線：相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．B．8C．16D．24
【答案】C
【分析】由題可得點(diǎn)是的中點(diǎn)，進(jìn)而可得，然后通過換元，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得．
【詳解】由題可得，
∴，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，
故，
∴，
設(shè)，則，
令，則，其對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，，
.
故選：C．
二、多選題
9．已知直線，則（ ）
A．在軸上的截距為2B．
C．的交點(diǎn)坐標(biāo)為D．之間的距離為
【答案】BC
【分析】選項(xiàng)A：令，求在軸上的截距；
選項(xiàng)B：根據(jù)直線垂直對(duì)應(yīng)系數(shù)關(guān)系求解；
選項(xiàng)C：解方程組求解；
選項(xiàng)D：根據(jù)兩平行線間距離求解；
【詳解】令 ，易得在軸上的截距為，A錯(cuò)誤．
由，得，B正確．
由得所以的交點(diǎn)坐標(biāo)為，C正確．
易得，則之間的距離為，D錯(cuò)誤．
故選：BC.
10．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（ ）
A．直線的方向向量，平面的法向量是，則；
B．若非零向量滿足，則有；
C．若是空間的一組基底，且，則四點(diǎn)共面；
D．若是空間的一組基底，則向量也是空間一組基底；
【答案】CD
【分析】利用空間向量基底的概念與向量和向量間的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉橹本€的方向向量，為平面的法向量，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若非零向量滿足，則和的關(guān)系不確定，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：若，，是空間的一組基底，且，則，即,可得A，B，C，D四點(diǎn)共面，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)?，，是空間的一組基底，所以對(duì)于空間中的任意一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組，使，所以向量，，也是空間一組基底，故D正確，
故選：CD．
11．已知曲線C的方程為，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，曲線C為圓
B．當(dāng)時(shí)，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為
C．當(dāng)時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
D．不存在實(shí)數(shù)m使得曲線C為雙曲線，其離心率為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)給定的方程，利用選項(xiàng)中的條件計(jì)算判斷A，B，C；否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾判斷D作答.
【詳解】在曲線C的方程中，且，
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，曲線C是原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，曲線C是雙曲線，其漸近線方程為，B正確；
對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，當(dāng)時(shí)，曲線C：是雙曲線，C不正確；
對(duì)于D，假定存在實(shí)數(shù)m使得曲線C為雙曲線，其離心率為，
則有，且，顯然無解，
所以不存在實(shí)數(shù)m使得曲線C為雙曲線，其離心率為，D正確.
故選：ABD
12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．的面積的最大值為
B．以線段為直徑的圓與直線相切
C．恒成立
D．若，，為一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為
【答案】BCD
【分析】對(duì)A，根據(jù)面積表達(dá)式得到點(diǎn)位于上下頂點(diǎn)時(shí)三角形面積最大，對(duì)B，利用幾何法即可判斷直線與圓的關(guān)系，對(duì)C，設(shè)，寫出向量數(shù)量積的表達(dá)式即可判斷，對(duì)D，分類討論即可.
【詳解】對(duì)A，，則，
由圖得，
顯然當(dāng)點(diǎn)位于橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，的面積的最大值，最大值為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑，
則圓心到直線的距離，故直線與圓相切，故B正確；
對(duì)C，設(shè)，則，且，則，
，，
則
，故C正確；
對(duì)D，由C選項(xiàng)知，
則，則，
若，令，則有，解得，
同理若，令，則有，解得，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題
13．若直線被圓截得的線段長為2，則實(shí)數(shù) .
【答案】
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式及弦長公式即得.
【詳解】由，可知圓心為，半徑為3，又直線，
所以圓心到直線的距離為，
所以，
解得，即.
故答案為：.
14．在正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為 .
【答案】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量的數(shù)量積計(jì)算即可.
【詳解】
不妨設(shè)正方體棱長為2，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸
建立空間直角坐標(biāo)系，則，
則，.
故答案為：.
15．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，，，為該拋物線上不同的三點(diǎn)，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 .
【答案】14
【分析】解：設(shè)，，，根據(jù)，得到，再利用拋物線的定義求解.
【詳解】解：設(shè)，，，
易知，，
則，，.
因?yàn)?，所以?br>即.
由拋物線的定義可得，，，
所以.
故答案為：14
16．如圖，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P 是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長與橢圓交于點(diǎn)Q，若，則直線的斜率為

【答案】
【分析】根據(jù)橢圓的定義及直徑所對(duì)的圓周角等于，利用勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及斜率的定義即可求解.
【詳解】連接，如圖所示

設(shè)則，
由橢圓的定義得
所以
在中，,
所以,即，整理得，
所以，
所以直線的斜率為.
故答案為：.
四、解答題
17．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，設(shè)，，．

(1)用，，表示；
(2)求AC1的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由空間向量加法法則得，由此能求出結(jié)果．
（2）由即可求出AC1的長．
【詳解】（1）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，
，，，
．
（2）AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
．
.
AC1的長||.
18．已知雙曲線的漸近線方程為，其右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，點(diǎn)為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)利用給定條件可得，再利用焦點(diǎn)到漸近線距離求出c即可計(jì)算作答.
(2)由(1)可得，求出，的坐標(biāo)，再用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算作答.
【詳解】（1）因雙曲線的漸近線，則，
而右焦點(diǎn)到的距離為，則，解得：，又，于是得，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由(1)知，，，，，
則，
所以當(dāng)時(shí)．取得最小值為.
19．已知圓：和：.
(1)求圓和圓的公共弦所在直線的方程和公共弦長；
(2)求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程.
【答案】(1)圓和圓的公共弦所在直線的方程為：，弦長為.
(2)或
【分析】(1)將兩圓作差可得公共弦方程，再利用垂徑定理即可求解公共弦長；
(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)符合題意，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求解.
【詳解】（1）由題意可知：將兩圓方程相減可得：，
也即，故圓和圓的公共弦所在直線的方程為，
圓：可化為，
圓心坐標(biāo)，半徑，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得：
到公共弦的距離，
由垂徑定理可知：公共弦長，
（2）由（1）知：圓： ，
圓心坐標(biāo)，半徑，
過點(diǎn)作圓的切線方程，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為；
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，也即，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得：，
解得：，所以此時(shí)切線方程為：，
綜上：過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.
20．直線交拋物線于、兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線的焦點(diǎn)到軸的距離為.
(1)求拋物線方程；
(2)設(shè)拋物線與軸交于點(diǎn)，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)到軸的距離求出的值，即可得出拋物線的方程；
（2）分析可知，將直線與拋物線的方程聯(lián)立，根據(jù)求出的取值范圍，根據(jù)線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為求出的值，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式可求得的值，求出點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.
【詳解】（1）解：拋物線的焦點(diǎn)為，
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到軸的距離為，則，可得，
所以，拋物線的方程為.
（2）解：若，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，則，
設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，
，解得，
因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，整理可得，
又因?yàn)?，解得?br>易知拋物線交軸于點(diǎn)，則有，可得，
由韋達(dá)定理可得，，
由弦長公式可得，
原點(diǎn)到直線的距離為，
所以，.
21．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)定理得，再根據(jù)勾股定理得，從而利用線面垂直的判定定理得平面，從而利用面面垂直的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)線面角的定義及正弦值求得邊長，然后建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得兩個(gè)平面所成角的余弦值.
【詳解】（1）平面平面，.
，由且是直角梯形，
，
即，.
平面平面，平面.
平面，平面平面.
（2）平面平面，.
又，平面平面，平面，
即為直線與平面所成角.
，，則，
取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以為軸?軸?軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，
，
設(shè)為平面的法向量，則，
令，得，得，
設(shè)為平面的法向量，
則，令，則，得.
.
平面與平面所成角的余弦值的余弦值為.
22．橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓E上．
(1)求橢圓E的方程．
(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），記直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，試問點(diǎn)M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)M在定直線上
【分析】（1）根據(jù)左右頂點(diǎn)及點(diǎn)在橢圓上列式求解寫書橢圓方程即可；
（2）先設(shè)直線方程再聯(lián)立方程組求韋達(dá)定理，再求兩個(gè)直線的交點(diǎn)，確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)即得.
【詳解】（1）設(shè)橢圓E的方程為．
則，解得，
故橢圓E的方程為．
（2）依題可設(shè)直線l的方程為，，，．
聯(lián)立方程組，整理得，
則，
直線AP的方程為，直線BQ的方程為，
聯(lián)立方程組，得
由，得，得．
所以.
故點(diǎn)M在定直線上．

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