一、單選題
1．在三棱柱中，為中點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則可得化簡即可．
【詳解】．
故選：A
2．橢圓：的焦點(diǎn)在軸上，其離心率為，則（ ）
A．橢圓的短軸長為B．橢圓的長軸長為4
C．橢圓的焦距為4D．
【答案】B
【解析】由離心率可求出，結(jié)合橢圓的性質(zhì)可求出橢圓的短軸長，長軸長，焦距.
【詳解】由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓的短軸長為，圓的離心率，則，
即，，所以橢圓的長軸長，橢圓的焦距，
故選：B．
3．雙曲線的漸近線方程是（ ）
A．y=4xB．C．y=±2xD．
【答案】C
【分析】直接由雙曲線方程求解漸近線方程即可.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，
故選：C
4．已知直線與圓相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)直線與圓相交，則圓心到直線的距離小于半徑求解即可
【詳解】由題意，圓心到直線的距離，即，解得
故選：D
5．已知直線，，則過和的交點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由于所求出直線與直線垂直，所以設(shè)所求直線為，然后求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入上式方程可求出，從而可求出直線方程
【詳解】由于所求出直線與直線垂直，所以設(shè)所求直線為，
由，得，即和的交點(diǎn)為，
因?yàn)橹本€過點(diǎn)，
所以，得，
所以所求直線方程為，
故選：D
6．若橢圓：的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的長軸長為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】首先根據(jù)題意得到，，，從而得到，再求長軸長即可.
【詳解】因?yàn)闄E圓：，焦點(diǎn)，
所以，，，即，解得或（舍去）.
所以，長軸為.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬于簡單題.
7．圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．內(nèi)切B．相切C．相交D．外離
【答案】C
【分析】分別求出兩圓的圓心和半徑，再求出圓心距，通過比較可得結(jié)論．
【詳解】解：圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑，
所以，
所以兩圓相交，
故選：C
8．已知直線，,，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線l恒過定點(diǎn)
B．當(dāng)時，直線l的傾斜角為
C．當(dāng)時，直線l的斜率不存在
D．當(dāng)時，直線l與直線不垂直
【答案】B
【分析】中，令時,可求得l的必過點(diǎn)，可判定選項(xiàng)A；根據(jù)斜率公式求得直線l的斜率，進(jìn)而可求得直線l的傾斜角，可判定選項(xiàng)B; 當(dāng)時，求得直線l的斜率，即可判定選項(xiàng)C；當(dāng)時，求得直線l的斜率，在求得直線得斜率，即可判定兩者得位置關(guān)系，可判定選項(xiàng)D.
【詳解】中，令時，
可得l恒過定點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯誤；
當(dāng)時，直線的斜率為，
則若傾斜角時，，且，
則，故選項(xiàng)B正確；
當(dāng)時，直線l為，斜率為，
故選項(xiàng)C錯誤；
當(dāng)時，直線l的斜率為，
又,
所以，
則直線l與直線垂直，故選項(xiàng)D錯誤.
故選：B.
9．拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，即可解出．
【詳解】可化為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．
故選：B．
10．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4，則拋物線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知，可設(shè)拋物線方程為，利用拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離計(jì)算即可.
【詳解】由題意，設(shè)拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義知，
，解得，故拋物線的方程為.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的方程，涉及到利用拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，是一道容易題.
11．圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則有（ ）
A．公共弦AB所在直線的方程為
B．公共弦AB所在直線的方程為
C．公共弦AB的長為
D．P為圓上一動點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值不是
【答案】A
【分析】AB選項(xiàng)，兩圓方程相減得到公共弦AB所在直線的方程；C選項(xiàng)，求出圓心到的距離，進(jìn)而由垂徑定理求出公共弦AB的長；D選項(xiàng)，P到直線AB距離的最大值為圓心到AB距離加上圓的半徑，求出答案.
【詳解】AB選項(xiàng)，兩圓方程相減得到，即，
故公共弦AB所在直線的方程為，A正確，B錯誤；
C選項(xiàng)，的圓心為，半徑為1，
則圓心到的距離為，
故有垂徑定理得公共弦AB的長為，C錯誤；
D選項(xiàng)，P為圓上一動點(diǎn)，
則P到直線AB距離的最大值為圓心到AB距離加上圓的半徑，
即，故D錯誤.
故選：A
12．若方程所表示的曲線為，則下面四個命題中正確的是（ ）
A．若為橢圓，則
B．若為雙曲線，則或
C．曲線不可能是圓
D．若為橢圓，且長軸在軸上，則
【答案】B
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)方程表示橢圓得到不等式，求出取值范圍；B選項(xiàng)，根據(jù)方程表示雙曲線得到不等式，求出取值范圍；C選項(xiàng)，當(dāng)時，方程表示圓；D選項(xiàng)，根據(jù)方程為焦點(diǎn)在軸上的橢圓得到不等式，求出取值范圍.
【詳解】A選項(xiàng)，若為橢圓，則，
解得或，A錯誤；
B選項(xiàng)，若為雙曲線，則，解得或，B正確；
C選項(xiàng)，當(dāng)，即時，方程為，為圓，C錯誤；
D選項(xiàng)，若為橢圓，且長軸在軸上，則，
解得，D錯誤.
故選：B
13．設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案.
【詳解】，，根據(jù)雙曲線的定義可得，
，即，
，，
，即，解得，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.
14．已知雙曲線的漸近線方程為，則的離心率（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意可得，再由可求出答案.
【詳解】由雙曲線的漸近線方程為，可知，
，
，
故選：B．
二、填空題
15．直線被圓截得的弦長為 .
【答案】2
【分析】將直線方程代入圓的一般方程，解方程得出兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式計(jì)算即可求解.
【詳解】由題意知，，
代入圓的一般方程，得，
解得，
當(dāng)時，，對應(yīng)的點(diǎn)為，
當(dāng)時，，對應(yīng)的點(diǎn)為，
所以該弦長為.
故答案為：2.
16．當(dāng)點(diǎn)A在曲線上運(yùn)動時，連接A與定點(diǎn)，則AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為 ．
【答案】
【分析】設(shè)出點(diǎn)A、P坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到其關(guān)系，借助A點(diǎn)在已知曲線上代入可得.
【詳解】設(shè)，
則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，代入得
整理得P的軌跡方程為.
故答案為：
17．過橢圓的右焦點(diǎn)作橢圓長軸的垂線，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，若為正三角形，則該橢圓的離心率為 .
【答案】
【分析】由題意可得，結(jié)合橢圓的定義計(jì)算即可求解.
【詳解】由題意知，為正三角形，且，
則，
所以，
，
由橢圓的定義知，
即，解得.
故答案為：.
18．直線過拋物線的焦點(diǎn)F，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則 .
【答案】8
【分析】由題意，求出，然后聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理及即可求解.
【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
又直線過拋物線的焦點(diǎn)F，
所以，拋物線的方程為，
由，得，所以，
所以.
故答案為：8.
三、解答題
19．如圖，直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
（1）求證∶平面；
（2）求與平面所成角的正弦值及直線到面的距離．
【答案】(1)證明見解析；(2)；.
【分析】(1)連接A1C交AC1于點(diǎn)N，連接MN，證明B1C//MN即可推理得證；
(2)由給定條件，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量即可求線面角及線面距離.
【詳解】(1)在直三棱柱中，連接A1C交AC1于點(diǎn)N，連接MN，如圖，
則點(diǎn)N是線段A1C中點(diǎn)，而M是線段A1B1中點(diǎn)，從而有MN//B1C，又平面，平面，
所以平面；
(2)依題意，平面ABC，又，則以點(diǎn)C為原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
，
令為平面的法向量，則，令，得，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
所以與平面所成角的正弦值是；
由(1)知，平面，則直線到平面的距離等于點(diǎn)B1到平面的距離d，
因此，，
所以直線到平面的距離是.
20．已知橢圓的短軸長為，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)，求直線的方程.
(3)與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)并求出弦長CD
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）假設(shè)橢圓方程，根據(jù)短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，由此可得橢圓方程；
（2）利用點(diǎn)差法可求得直線斜率，由此可得直線方程.
（3）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式即可得解.
【詳解】（1）由題意可設(shè)橢圓方程為：，
則，解得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）依題意，設(shè)，，
則，兩式作差得：，
直線斜率，
又中點(diǎn)為，，，，
直線方程為：，即.
（3）依題意，設(shè)，，
聯(lián)立，消去，得，
易得，則，
又直線的斜率為，
所以弦長
.

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