一、單選題
1．已知數(shù)列的前n項和，則的值為
A．80B．40C．20D．10
【答案】C
【詳解】試題分析：，．故選C．
【解析】已知數(shù)列的前項和，求項．
2．直線的傾斜角為（ ）
A．0°B．90°C．180°D．不存在
【答案】B
【分析】根據(jù)直線與坐標軸垂直可得傾斜角.
【詳解】因為直線與軸垂直，
所以直線的傾斜角為90°.
故選：B
3．已知方程表示的焦點在y軸的雙曲線，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先化為雙曲線的標準方程，再建立不等式求解即可.
【詳解】方程可化為：，
由方程表示的焦點在y軸的雙曲線，得，
解得.
故選：C.
4．若過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點（不重合），則 (為坐標原點）的值是
A．B．C．3D．
【答案】D
【詳解】拋物線為，焦點為，設，，，由有，所以，，故，選D.
5．直線x+6y+2=0在x軸和y軸上的截距分別是（ ）
A．2，B．－2，C．，－3D．－2，－3
【答案】B
【分析】可分別令，求出相應的y和x的值，即為相應坐標軸上的截距.
【詳解】令，解得：，即為y軸上截距；
令，解得：，即為x軸上截距.
故選B.
【點睛】本題考查截距的求法，即直線分別與x軸、y軸交點的橫坐標和縱坐標，根據(jù)坐標軸上點的特點將0代入即可.
6．設橢圓C：的半焦距為c，離心率為e，已知圓O：與C有四個公共點，依次連接這四點組成一個正方形，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】方法1：連接這四點組成一個正方形，根據(jù)橢圓和圓的對稱性知點在橢圓C上可得答案；方法2：設圓O與橢圓C在第一象限的公共點為M,設C的左、右焦點為、，，，利用勾股定理、橢圓定義可得答案.
【詳解】方法1：連接這四點組成一個正方形，根據(jù)橢圓和圓的對稱性知，
點在橢圓C上，則，
將代入并化簡得，
因為，解得.
方法2：設圓O與橢圓C在第一象限的公共點為M,設C的左、右焦點為、，，，所以，，，
又因為，所以，
所以.
故選：D.

7．已知雙曲線，（，）F是左焦點，A、B分別是虛軸上、下兩端點，C是它的左頂點，直線與直線相交于點D，若雙曲線的離心率為，則的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由條件可得，且，從而得到直線的方程，即可得到，再由余弦的和差角公式，代入計算，即可得到結果.
【詳解】
因為雙曲線的離心率為，則，且，
由題意可得，，
即，
則直線的方程為，即，
則的斜率為，即，
因為，，所以，
則，，
則
.
故選：B
8．已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，，線段的中點為，過點作拋物線的準線的垂線，垂足為，則的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】由拋物線定義及勾股定理得到，，由基本不等式求出最值.
【詳解】設，
因為，所以，
過點分別作準線于點，，
由拋物線定義可知，
由梯形中位線可知，

因為，所以，
當且僅當時，等號成立，
故，
故，的最小值為.
故選：B
二、多選題
9．已知橢圓的焦距是，則m的值可能是（ ）
A．B．13C．D．19
【答案】BD
【分析】利用橢圓焦距的定義和性質即可求解.
【詳解】由題知，
或，
解得或.
故選：BD
10．平面內(nèi)到兩定點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a的點M的軌跡（ ）
A．橢圓B．一條直線C．兩條射線D．雙曲線
【答案】BCD
【分析】由雙曲線的定義判斷．
【詳解】當時，點M的軌跡為的垂直平分線，
當時，點M的軌跡為兩條射線，
當時，點M的軌跡為雙曲線，
當時，點不存在，
故選：BCD
11．頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且過點的拋物線的標準方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】分焦點在軸上和軸上兩種情況，利用待定系數(shù)法求解即可.
【詳解】若焦點在軸上，設方程為，將點的坐標代入，得，
解得，所以拋物線的標準方程為；
若焦點在軸上，設方程為，將點的坐標代入，得，
解得，所以拋物線的標準方程為．
故選：BD
12．如圖所示，用一個與圓柱底面成θ（）角的平面截圓柱，截面是一個橢圓．若圓柱的底面圓半徑為2，，則（ ）
A．橢圓的長軸長等于4
B．橢圓的離心率為
C．橢圓的標準方程可以是
D．橢圓上的點到一個焦點的距離的最小值為
【答案】BCD
【分析】根據(jù)給定圖形，求出橢圓長短半軸長a，b，再逐項計算、判斷作答．
【詳解】解：設橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，橢圓長軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，
則由截面與圓柱底面成銳二面角得：，解得a＝4，A不正確；
顯然b＝2，則，離心率，B正確；
當以橢圓長軸所在直線為x軸，短軸所在直線為y軸建立平面直角坐標系時，橢圓的標準方程，C正確；
橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，D正確．
故選：BCD．
三、填空題
13．若某等差數(shù)列的第2項為2，第5項為7，則該等差數(shù)列的公差為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算即可求解.
【詳解】由題意可知，
該等差數(shù)列的公差．
故答案為：
14．雙曲線的焦距為 ．
【答案】
【分析】由雙曲線方程得出雙曲線中的值，進而解出焦距.
【詳解】解：因為雙曲線的方程為，
所以，
所以，
故雙曲線的焦距為.
故答案為：.
15．已知直線過定點且該點在拋物線上，則的值為 .
【答案】
【分析】化簡直線方程為，聯(lián)立方程組，求得點，將點代入拋物線方程，即可求解.
【詳解】直線，可化為，
聯(lián)立方程組，解得，即直線恒過點，
因為點在拋物線上，可得，解得.
故答案為：.
16．設，分別是橢圓的左，右焦點，過點的直線交橢圓于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為 .
【答案】/
【分析】如圖，設，由題意，橢圓定義結合余弦定理可得，后在由余弦定理可得，即可得答案.
【詳解】如圖，設，則，.
又由橢圓定義可得.
則在中，由余弦定理可得:
.
則，
則在由余弦定理可得：
.
又.
故答案為：

四、解答題
17．已知是等差數(shù)列的前n項和，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）為何值時，取得最大值并求其最大值．
【答案】（1）；（2）n=4時取得最大值.
【分析】（1）利用公式，進行求解；
（2）對進行配方，然后結合由，可以求出的最大值以及此時的值.
【詳解】（1）由題意可知：，當時，，
當時，，
當時，顯然成立，∴數(shù)列的通項公式；
（2），
由，則時，取得最大值28，
∴當為4時，取得最大值，最大值28．
【點睛】本題考查了已知求，以及二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)的取值范圍求最大值是解題的關鍵.
18．已知拋物線的焦點為，拋物線上一點橫坐標為3，且點到焦點的距離為4.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點作直線交拋物線于點，求面積的最小值（其中為坐標原點）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由拋物線的焦半徑公式，結合拋物線定義即可求解，
（2）聯(lián)立直線與拋物線方程可得，進而根據(jù)面積求解，結合基本不等式即可求解最值.
【詳解】（1）由題意知,
所以.
（2）由 (1) 知, 拋物線, 直線過,
可設直線的方程為,
聯(lián)立
設,不妨設，
∴，
當且僅當，即時取等號，
∴面積最小值為.

19．已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，焦距為，且點在橢圓上.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過且斜率為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依題意設橢圓的方程為（），即可得到關于、、的方程組，解得、，即可得解；
（2）首先得到直線的方程，設、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，列出韋達定理，最后利用弦長公式計算可得.
【詳解】（1）依題意設橢圓的方程為（），
則，解得，所以橢圓方程為.
（2）依題意直線的方程為，設、，
由，消去整理得，
則，所以，，
所以.

20．在平面直角坐標系中，圓C過點，且圓心C在上．
(1)求圓C的方程；
(2)若點D為所求圓上任意一點，定點E的坐標為，求直線DE的中點M的軌跡方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先設出方程，將點坐標代入得到關于參數(shù)的方程組，通過解方程組得到參數(shù)值，從而確定其方程；
（2）首先設出點M的坐標，利用中點得到點D坐標，代入圓的方程整理化簡得到的中點M的軌跡方程.
【詳解】（1）由已知可設圓心，又由已知得，
從而有，解得：．
于是圓C的圓心，半徑．
所以，圓C的方程為,
（2）設，則由M為線段ED的中點得：，解得，
又點D在圓C：上，
所以有，
化簡得：．
故所求的軌跡方程為．
21．已知雙曲線C：的右焦點為，且C的一條漸近線恰好與直線垂直.
(1)求C的方程；
(2)直線l：與C的右支交于A，B兩點，點D在C上，且軸.求證：直線BD過點F.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)焦點坐標及漸近線的斜率列式求解即可；
（2）設點的坐標，聯(lián)立直線與雙曲線方程，韋達定理，根據(jù)向量共線坐標運算得三點共線，即證.
【詳解】（1）由焦點坐標為得，所以，
又雙曲線C：的一條漸近線恰好與直線垂直，
得即，所以，
所以雙曲線C的方程為，即.
（2）由題意可知直線l的斜率存在且不為0，所以，
設，，則，由（1）可知，雙曲線C的漸近線為，
又直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點，則，即.
聯(lián)立，消去x得，
則，得，
，，則，
又，所以，，
所以，
所以，又，有公共點F，所以B，F(xiàn)，D三點共線，
所以直線BD過點F.

22．已知橢圓C：（）的離心率為，左、右焦點分別為，，點D在橢圓C上，的周長為6.
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知直線l經(jīng)過點且斜率為k，與橢圓C交于不同的兩點M，N，若，，（O為坐標原點）滿足，判斷k是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.
【答案】(1)
(2)直線的斜率為定值，該定值為
【分析】（1）根據(jù)題意，列出關于的方程組，求得的值，即可得到橢圓的標準方程；
（2）設直線的方程為，設，，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系，求得，再由，求得k的值，即可得到結論．
【詳解】（1）由題意可得，解得，
故橢圓的方程為．
（2）由題意可設直線的斜率為，則直線的方程為，
設，．
聯(lián)立方程，消去得，
由根與系數(shù)的關系得，
由，得，
因為，則，
即，
則，
整理可得，
所以，
整理得，所以，
因為，所以，
故直線的斜率為定值，該定值為．

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