1.已知直線l的傾斜角α滿足60°b>0)，則橢圓上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：若橢圓C:x29+y24=1，點(diǎn)A為橢圓C在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作橢圓C的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于M，N兩點(diǎn)，則?OMN面積的最小值為( )
A. 3B. 6C. 9D. 18
9.已知雙曲線x2a2?y2b2=1a>b>0兩條漸近線的夾角為π3，則此雙曲線的離心率為( )
A. 2B. 33C. 2 33D. 4 33
二、多選題：本題共2小題，共12分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
10.設(shè)a為實(shí)數(shù)，直線l1:ax+2y+1=0，l2:(a?2)x?(a+1)y+3=0，則( )
A. l1恒過點(diǎn)(?2,1)B. 若l1//l2，則a=?4或a=1
C. 若l1⊥l2，則a=?4或0D. 當(dāng)a≤?1時(shí)，l2不經(jīng)過第二象限
11.過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與C相交于P(x1,y1)，Q(x2,y2)兩點(diǎn)，直線PQ的傾斜角為θ，若|PQ|的最小值為4，則( )
A. F的坐標(biāo)為(1,0)
B. 若|PQ|=8，則θ=π4
C. 若A(2,1)，則|PA|+|PF|的最小值為3
D. △OPQ面積的最小值為2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量a=2,3,?1，b=1,2,2，則a在b上的投影向量為 ．
13.點(diǎn)A，B是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，M是橢圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若直線AM，BM的斜率之積為?59，則橢圓C的離心率為 ．
14.已知圓C:x2+y2?6y+8=0，M是圓C上的任意一點(diǎn)，P為直線l:x?y?1=0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q(?2,1)，則|PM|+|PQ|+1的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知空間中三點(diǎn)A(2,?1,1)，B(1,1,0)，C(4,?3,3).設(shè)a=AB，b=AC．
(1)求a?2b和|2a+b|；
(2)若2ka?b與a+kb互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值．
16.(本小題12分)
已知圓E經(jīng)過點(diǎn)A(0,0)，B(4,4)，且與y軸相切，直線l恒過Q(2,3)．
(1)求圓E的方程；
(2)直線l與圓E相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=4 3時(shí)，求l的方程．
17.(本小題12分)
已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為 2，焦點(diǎn)F到漸近線的距離為1．
(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線l:y=kx?1與雙曲線E的左支交于不同兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
18.(本小題12分)
已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P4,y0y0>0在拋物線C上，且PF=5．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點(diǎn)Q1,?4的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(均與點(diǎn)P不重合)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，試問k1k2是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
19.(本小題12分)
動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F( 2,0)的距離和它到定直線m:x=2 2的距離比是常數(shù) 22，
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
(2)若直線l過點(diǎn)Q(0,?1)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|最大時(shí)，求直線l的方程．
參考答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.B
6.A
7.C
8.B
9.C
10.BD
11.ACD
12.23,43,43
13.23
14.2 10
15.(1)
∵A(2,?1,1)，B(1,1,0)，C(4,?3,3)，a=AB，b=AC，
∴a=(?1,2,?1)，b=(2,?2,2)，
于是，a?2b=?1,2,?1?4,?4,4=?5,6,?5，
2a+b=?2,4,?2+2,?2,2=0,2,0，
2a+b= 02+22+02=2．
(2)
∵2ka?b=(?2k,4k,?2k)?(2,?2,2)=(?2k?2,4k+2,?2k?2)，
a+kb=(?1,2,?1)+(2k,?2k,2k)=(2k?1,2?2k,2k?1)，
且2ka?b與a+kb互相垂直，
∴(2ka?b)?(a+kb)=0，
即(?2k?2)(2k?1)+(4k+2)(2?2k)+(?2k?2)(2k?1)=0，
∴k2=12，解得：k=± 22．

16.(1)
設(shè)圓E的方程為(x?a)2+(y?b)2=r2(r>0)，
由題意知a2=r2a2+b2=r2(4?a)2+(4?b)2=r2,
解得a=4，b=0，r=4，
故圓E的方程為(x?4)2+y2=16；
(2)
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=2，此時(shí)滿足MN=2 16?22=4 3，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y?3=k(x?2)，即kx?y?2k+3=0，
設(shè)圓心到直線l的距離為d，則d=|4k?2k+3| k2+1=|2k+3| k2+1，
則d2+MN22=16，解得k=?512，
則直線l的方程為5x+12y?46=0；
綜上：直線l的方程為x=2或5x+12y?46=0．

17.(1)
因?yàn)殡p曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率e= 2，可得ca= 2，即c= 2a．
又因?yàn)榻裹c(diǎn)F(c,0)到漸近線bx?ay=0的距離為1，
根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式d=|bc| a2+b2，而c2=a2+b2，所以d=b，則b=1．
由c2=a2+b2且c= 2a，b=1，可得( 2a)2=a2+1，解得a2=1．
所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2?y2=1．
(2)
將直線y=kx?1代入雙曲線方程x2?y2=1，得到x2?(kx?1)2=1，展開可得x2?(k2x2?2kx+1)=1，整理得(1?k2)x2+2kx?2=0．
因?yàn)橹本€與雙曲線左支交于不同兩點(diǎn)，所以1?k2≠0Δ=(2k)2?4(1?k2)×(?2)>0x1+x2=?2k1?k20．
由1?k2≠0，解得k≠±1．
對(duì)于Δ=(2k)2?4(1?k2)×(?2)>0，即4k2+8(1?k2)>0，解得? 21或k 3?2或m0恒成立，故k∈R，
則x1+x2=4k1+2k2，x1x2=?21+2k2，
所以AB= 1+k2? 4k1+2k22+81+2k2=2 2 1+k21+4k21+2k22，
法一：令t=1+2k2，t≥1，則k2=t?12，
可得AB=2 2? 1+t?121+4?t?12t2=2 2t2+t?1t2=2 ?1t2+1t+2，
當(dāng)1t=12，即t=2，k=± 22時(shí)，|AB|取得最大值3；
綜上所述，當(dāng)|AB|最大時(shí)，所求直線l的方程為y=± 22x?1；
法二：AB=2 2? 1+k21+4k21+2k22=2 2? 4k4+5k2+14k4+4k2+1
=2 2? 1+k24k4+4k2+1=2 2? 1+14k2+4+1k2
≤2 2? 1+12 4k2?1k2+4=3，
當(dāng)且僅當(dāng)4k2=1k2，即k=± 22時(shí)，等號(hào)成立，
綜上所述，當(dāng)|AB|最大時(shí)，所求直線l的方程為y=± 22x?1．

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