1. 已知兩點都在直線上，且兩點橫坐標(biāo)之差為2，則的面積為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用兩點間距離公式及點到直線距離公式計算即得.
【詳解】設(shè)，則，，
顯然點不在直線上，則邊上的高，
所以的面積.
故選：B.
2. 已知點為直線上任意一點，則的最小值是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】的幾何意義為直線上的點到原點的距離，由點到直線的距離公式可得．
【詳解】點為直線上任意一點，
又的幾何意義為直線上的點到的距離，
故最小值為到直線的距離，即最小值為
故選：C．
3. 曲線與軸圍成區(qū)域的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方程兩邊平方，可化為，這條曲線與軸圍成的區(qū)域是一個半徑的半圓，可求面積.
【詳解】曲線的方程化為，即，
所以這條曲線與軸圍成的區(qū)域是一個半徑的半圓，其面積為.
故選：B.
4. 已知曲線，設(shè)曲線上任意一點與定點連線的中點為，則動點的軌跡方程為（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)動點坐標(biāo)，找到動點坐標(biāo)與曲線上點坐標(biāo)的關(guān)系，通過已知解析式得出動點的軌跡方程.
【詳解】設(shè)，因為為的中點，所以，即，
又因為點在曲線上，所以，即．
所以點的軌跡方程為，即．
故選：B
5. 若過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意求出點到圓心的距離為，進(jìn)而可得，結(jié)合二倍角的余弦公式計算即可求解.
【詳解】點到圓心的距離為，圓的半徑為，
所以，于是．
故選：A．
6. 已知橢圓的左、右焦點為為在第一象限的兩個動點，且，若，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合橢圓定義在中由余弦定理求得，同理在中利用余弦定理可得，再由可得關(guān)系，進(jìn)而得離心率.
【詳解】連接，設(shè)，則，
在中，由余弦定理可得
，
即，
解得，即.
由可知，
在中利用余弦定理可得
，
同理可解得，
又因為，即，
所以．
故選：A.
7. 已知雙曲線的左，右焦點分別為，點在雙曲線的右半支上，點，則的最小值為（ ）
A. B. 4C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化，再結(jié)合圖象，求的最小值，再聯(lián)立方程求交點坐標(biāo).
【詳解】由題意并結(jié)合雙曲線的定義可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線時等號成立.
而直線的方程為，由可得，所以，
所以點的坐標(biāo)為32,12.
所以當(dāng)且僅當(dāng)點的坐標(biāo)為32,12時，的最小值為.
故選：D.
8. 已知橢圓：經(jīng)過點，右焦點為，，分別為橢圓的上頂點和下頂點，若過且斜率存在的直線與橢圓交于兩點，直線與直線的斜率分別為和，則的值為（ ）
A. 1B. 3C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得關(guān)于，，的方程組，從而可得，的值，從而可得橢圓的方程；設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用兩點的斜率公式表示出和，作比，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．
【詳解】由題意可知，，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
設(shè)直線：，聯(lián)立直線和橢圓方程，
，得
，記，，
則，
由題意知和．則，，
則，
所以．
故選：B
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對得 6 分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知圓，直線，則（ ）
A. 直線恒過定點
B. 直線l與圓C有兩個交點
C. 當(dāng)時，圓C上恰有四個點到直線的距離等于1
D. 圓C與圓恰有三條公切線
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出直線過的定點判斷A；判斷定點與圓的位置關(guān)系判斷B；求出圓心到直線距離判斷C；判斷圓與圓的位置關(guān)系判斷D.
【詳解】對于A，直線的方程為，由，得，直線過定點，A正確；
對于B，，即定點在圓內(nèi)，則直線與圓相交且有兩個交點，B正確；
對于C，當(dāng)時，直線，圓心到直線的距離為，
而圓半徑為2，因此只有2個點到直線的距離等于1，C錯誤；
對于D，圓的方程化為，
其圓心為，半徑為3，兩圓圓心距為，
兩圓外切，因此它們有三條公切線，D正確.
故選：ABD.
10. 曲線被稱為“幸運(yùn)四葉草曲線”（如圖所示）．給出下列四個結(jié)論，正確的有（ ）
A. 曲線C關(guān)于直線交于不同于原點的Ax1,y1,Bx2,y2兩點，則
B. 存在一個以原點為中心、邊長為1的正方形，使得曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）；
C. 存在一個以原點為中心、半徑為1的圓，使得曲線C在此圓面內(nèi)（含邊界）；
D. 曲線C上存在一個點M，使得點M到兩坐標(biāo)軸的距離之積大于.
【答案】AC
【解析】
【分析】由對稱性判斷A，利用基本不等式求得曲線上的點到原點距離的最大值后可判斷BCD．
【詳解】因為由可得，所以曲線關(guān)于原點對稱，
又直線過原點，所以Ax1,y1與Bx2,y2兩點關(guān)于原點對稱，
所以，所以A正確；
由，所以，
即：①，當(dāng)取等號，此時，點在曲線上，
而，所以不可能在一個以原點為中心、邊長為1的正方形內(nèi)，所以B錯誤，
點可以在一個以原點為中心、半徑為1的圓上，故C正確，
由①式知，所以D錯誤．
故答案為：AC．
【點睛】方法點睛：利用方程研究曲線的性質(zhì)，利用基本不等式求曲線上的點到原點距離的最大值．
11. 已知雙曲線C：的左右焦點分別為，且，A、P、B為雙曲線上不同的三點，且A、B兩點關(guān)于原點對稱，直線與斜率的乘積為1，則下列正確的是（ ）
A. 雙曲線C的實軸長為
B. 雙曲線C的離心率為
C. 若，則三角形的周長為
D. 的取值范圍為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知，設(shè)，則，，代入可求解出，對A，根據(jù)，可求得實軸長為，可判斷；對B，根據(jù)離心率，可判斷選項；對C，根據(jù)，可知，則，可求得，所以三角形的周長為，可判斷；對D，設(shè)與雙曲線聯(lián)立，若有解，需要解之可求出取值，可判斷選項.
【詳解】根據(jù)題意可知，所以，設(shè)，則，
將分別代入到雙曲線后相減可得，代入可求解出，
對A，根據(jù)，解之可得，所以雙曲線C的實軸長為，故A錯誤；
對B，根據(jù)離心率，將代入可得，故B正確；
對C，根據(jù)，可知，則
，可求得，
所以三角形的周長為，故C正確；
對D，設(shè)與雙曲線聯(lián)立可得，若有解，
需要解之可求出或，故D正確.
故選：BCD
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知，，若點在線段上，則的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】我們只要把看作動點與定點的斜率，就可以結(jié)合圖象得到范圍.
【詳解】當(dāng)點與重合，則，代入得，
當(dāng)點與重合，則，代入得，
我們把看作動點與定點斜率，
再結(jié)合圖象：
利用正切函數(shù)在銳角范圍內(nèi)是單調(diào)遞增，可知，
故答案：.
13. 如圖：已知圓 內(nèi)有一點 ，Q是圓C上的任意一點，線段AQ的垂直平分線與CQ相交點M ，當(dāng)點Q在圓C上運(yùn)動時，點M 的軌跡方程為___
【答案】
【解析】
【分析】利用線段的中垂線性質(zhì)，即可推導(dǎo)出動點到兩定點的距離之和為定值，所以動點軌跡是橢圓，即可出橢圓方程.
【詳解】
連接，由線段的垂直平分線與相交點M，可得，
則有，
所以點M 的軌跡是以為焦點，以5為長軸長的橢圓，
則，即，
所以點M 的軌跡方程為：，即，
故答案為：.
14. 已知雙曲線的上、下焦點分別為，，動點與點在曲線上，且滿足，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題干雙曲線上點滿足,得到，代入方程計算求解即可得出結(jié)果.
【詳解】依題意，
即，故，
又點在曲線上，所以，即，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知兩直線和的交點為．
（1）若直線過點且與直線平行，求直線的一般式方程；
（2）若圓過點且與相切于點，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）通過解二元一次方程組求解的坐標(biāo)，再結(jié)合互相平行兩直線方程的特征運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，結(jié)合待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
聯(lián)立方程組，解得，
所以直線和的交點．
因為直線與直線平行，故可設(shè)直線．
又直線過點，則，解得，
即直線的方程為．
【小問2詳解】
設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
直線的斜率為，故直線CP的斜率為，
由題意可得，解得，
故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
16. 已知圓C：，直線l：是圓E與圓C的公共弦AB所在直線方程，且圓E的圓心在直線上．
（1）求公共弦AB的長度；
（2）求圓E的方程；
（3）過點分別作直線MN，RS，交圓E于M，N，R，S四點，且，求四邊形MRNS面積的最大值與最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）最大值17，最小值
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線和圓相交求弦長用直角三角形勾股定理等價條件進(jìn)行求解即可；
（2）圓的圓心在直線上，設(shè)圓心，求出圓心的半徑即可得到圓的方程；
（3）對直線，分兩種情況討論，即當(dāng)過點的互相垂直的直線，為軸，垂直于軸時和當(dāng)過點的互相垂直的直線，不垂直于軸時，寫出四邊形面積的的表達(dá)式，再利用函數(shù)知識求最大值與最小值．
【小問1詳解】
圓，所以圓的圓心坐標(biāo)，半徑，
圓心到直線的距離，
公共弦；
【小問2詳解】
圓的圓心在直線上，設(shè)圓心，
由題意得，，即，到的距離，
所以的半徑，
所以圓的方程：；
【小問3詳解】
當(dāng)過點的互相垂直的直線，為軸，垂直于軸時，，這時直線的方程為，代入到圓中，，
所以，四邊形的面積；
當(dāng)過點的互相垂直的直線，不垂直于軸時，
設(shè)直線為：，
則直線為：，
所以圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，
，，
設(shè)，
當(dāng)或1時，正好是軸及垂直軸，
面積，
當(dāng)時，最大且，或1時，最小，
四邊形面積的最大值17，最小值．
17. 已知橢圓的右焦點為，斜率不為0的直線與交于兩點.
（1）若是線段的中點，求直線的方程；
（2）若直線經(jīng)過點（點在點之間），直線與直線的斜率分別為，求證：為定值.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用中點弦問題求解即可；
（2）利用韋達(dá)定理得到再根據(jù)斜率的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合韋達(dá)定理可證明.
【小問1詳解】
設(shè)，則有，
且，作差可得，
所以，
由點斜式得，，
整理得即為直線的方程.
【小問2詳解】

不妨設(shè)的直線方程為，
聯(lián)立，消去整理得，
由韋達(dá)定理得，
所以，
因為，
所以為定值.
18. 已知雙曲線一條漸近線方程為，且點在雙曲線上.
（1）求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，
（2）若雙曲線的左頂點為，右焦點為為雙曲線右支上任意一點，求的最小值.
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用漸近線方程巧設(shè)雙曲線方程，再由待定系數(shù)法即可求解；
（2）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可得出結(jié)果.
【小問1詳解】
由雙曲線一條漸近線方程為，可以該雙曲線方程為，
由點在雙曲線上，可得，即，
所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為可知：左頂點的坐標(biāo)為，右焦點為的坐標(biāo)，
可設(shè)雙曲線右支上任意一點，且，則，
所以，
又因為滿足雙曲線方程，則，
所以，
由于二次函數(shù)的對稱軸是，
所以當(dāng)，單調(diào)遞增，
即當(dāng)時，二次函數(shù)有最小值，
所以的最小值是.
19. 已知橢圓的左、右焦點別為，，離心率為，過點的動直線l交E于A，B兩點，點A在x軸上方，且l不與x軸垂直，的周長為，直線與E交于另一點C，直線與E交于另一點D，點P為橢圓E的下頂點，如圖．
（1）求E的方程；
（2）證明：直線CD過定點．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用橢圓定義和離心率，求解橢圓方程；
（2）設(shè)點Ax1,y1，Bx2,y2，，，的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出點的坐標(biāo)，同理得到點的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程，根據(jù)對稱性，如果直線CD過定點，則該定點在x軸上，即可得到定點坐標(biāo).
【小問1詳解】
由橢圓定義可知，BF1+BF2=2a，
所以的周長為，所以，
又因為橢圓離心率為，所以，所以，
又，所以橢圓的方程：．
小問2詳解】
設(shè)點Ax1,y1，Bx2,y2，，，
則直線的方程為，則，
由得，，
所以，
因為，所以，所以，故，
又，
同理，，，
由A，，B三點共線，得，所以，
直線CD的方程為，
由對稱性可知，如果直線CD過定點，則該定點在x軸上，
令得，
，
故直線CD過定點．
【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.

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