一、單選題
1．已知直線過點(diǎn)，且傾斜角為，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意結(jié)合傾斜角的定義分析求解.
【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且傾斜角為，
可知直線與x軸垂直，所以直線的方程為.
故選：D.
2．二次函數(shù)的圖像為拋物線，其準(zhǔn)線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將，化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,分類討論即可.
【詳解】將，化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，
當(dāng)時(shí)，，得到，由拋物線的準(zhǔn)線方程為；
當(dāng)時(shí)，，得到，由拋物線的準(zhǔn)線方程為；
綜上：其準(zhǔn)線方程為.
故選：C.
3．已知三條直線，，的斜率分別為，，，傾斜角分別為.若，則下列關(guān)系不可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.
【詳解】解：由題意，根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系有：
當(dāng)或時(shí)，或，故選項(xiàng)B可能成立；
當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A可能成立；
當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C可能成立；
所以選項(xiàng)D不可能成立.
故選：D.
4．萬眾矚目的北京冬奧會(huì)于2022年2月4日正式開幕，是繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后，國家體育場（又名鳥巢）再次承辦奧運(yùn)會(huì)開幕式．在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為（ ）cm
A．30B．20C．10D．
【答案】B
【分析】扁平程度相同的橢圓，即離心率相等，計(jì)算得到答案.
【詳解】扁平程度相同的橢圓，即離心率相等，
大橢圓，，，離心率為；
小橢圓，離心率，解得，故長軸長為.
故選：B
5．直線與橢圓總有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由直線過定點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系列出不等式，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橹本€，過定點(diǎn)，
只需該定點(diǎn)落在橢圓內(nèi)或橢圓上則直線與橢圓總有交點(diǎn)，即：
解得：，又因?yàn)椋海?br>所以：的取值范圍為：.故B項(xiàng)正確.
故選：B.
6．已知的頂點(diǎn)在拋物線上，若拋物線的焦點(diǎn)恰好是的重心，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】易知焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形重心性質(zhì)以及拋物線焦半徑公式可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，，，由題可得，因?yàn)槭侨切蔚闹匦模?br>所以，可得，即，
所以.
故選：D.
7．已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角換元，可得，再由三角函數(shù)的范圍即可得解.
【詳解】由實(shí)數(shù)、滿足，
故令，，
所以（），
由，
所以，
所以，
所以的最小值為.
故選：C
8．如圖，加斯帕爾·蒙日是18~19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓（或雙曲線）上兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡方程為圓，該圓稱為外準(zhǔn)圓，也叫蒙日圓．雙曲線的蒙日圓的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)出過點(diǎn)的切線方程，并與雙曲線方程聯(lián)立，利用判別式為零得到關(guān)于的方程，方程的根即為，通過韋達(dá)定理可得點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而可求面積.
【詳解】不妨設(shè)，則過點(diǎn)的雙曲線切線方程為，存在且不為零，
聯(lián)立，
消去得，
所以，
整理得
可知為關(guān)于的方程的兩個(gè)根，
且，
即，整理得，
即點(diǎn)的軌跡方程為，
即雙曲線的蒙日圓方程為，半徑為
面積為.
故選：A.
二、多選題
9．已知直線和直線，下列說法不正確的是（ ）
A．當(dāng)或時(shí)，
B．當(dāng)時(shí)，
C．直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)
D．當(dāng)，平行時(shí)，兩直線的距離為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件即可判斷A；根據(jù)兩直線垂直的充要條件即可判斷B；根據(jù)直線過定點(diǎn)的定義即可判斷C；根據(jù)兩平行直線間的距離公式即可判斷D.
【詳解】對于A，若，則，解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，兩直線重合，所以，故A錯(cuò)誤；
對于B，若，則，解得，故B正確；
對于C，由直線，
令，解得，
所以直線過定點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對于D，當(dāng)，平行時(shí)，，
直線，直線，即，
所以兩直線的距離為，故D錯(cuò)誤.
故選：ACD.
10．已知方程表示的曲線為，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓
B．當(dāng)或時(shí)，曲線是雙曲線
C．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則
D．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則
【答案】BCD
【分析】利用曲線C所表示的曲線類型求出參數(shù)的值或取值范圍，由此可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】選項(xiàng)A：若曲線為橢圓，則，即且，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：若曲線為雙曲線，則，即或，故B正確；
選項(xiàng)C：若曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則，即，故C正確；
選項(xiàng)D：若曲線為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則，即，故D正確；
故選：BCD.
11．是橢圓上的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若存在點(diǎn)，使，則橢圓的離心率
D．若的中點(diǎn)在軸上，則
【答案】CD
【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可判定A錯(cuò)誤；設(shè)，利用余弦定理和橢圓定義，求得，結(jié)合三角形的面積公式，可判定B錯(cuò)誤；設(shè)橢圓的短軸上端點(diǎn)為，得到，得到，結(jié)合離心率的定義，可判定C正確；根據(jù)題意，得到軸，進(jìn)而可判定D正確.
【詳解】對于A中，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可得，所以A錯(cuò)誤；
對于B中，設(shè)，則，
由余弦定理得，
解得，所以，所以B錯(cuò)誤；
對于C中，設(shè)橢圓的短軸上端點(diǎn)為，連接,
若存在點(diǎn)，使得，則，所以，即，
所以，所以，即，
又因?yàn)?，可得，所以C正確；
對于D中，若的中點(diǎn)在軸上，則軸，
結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，可得，所以D正確.
故選：CD.
12．已知是拋物線的焦點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)交拋物線于、兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切
B．若，則直線的斜率
C．弦的中點(diǎn)的軌跡為一條拋物線，其方程為
D．若，則的最小值為18
【答案】AD
【分析】A：由拋物線的方程可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為：，
設(shè)，則的中點(diǎn)，
利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得，求出的中點(diǎn)M準(zhǔn)線的距離即可判定；
B：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立
，整理可得：，然后由條件和根與系數(shù)的關(guān)系即可判定；
C：設(shè)，結(jié)合A、B可得：，
，消去m即可判定；
D：若則拋物線，不妨設(shè)，結(jié)合基本不等式即可判定.
【詳解】A：由拋物線的方程可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為：，
設(shè)，則的中點(diǎn)，
利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得，而的中點(diǎn)M準(zhǔn)線的距離：
，
以為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線相切，因此A正確；
B：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立
，
整理可得：，
可得
，
解得，
，解得，
，因此B不正確；
C：設(shè)，結(jié)合A、B可得：，
，消去m可得：，因此C錯(cuò)誤；
D：若則拋物線，不妨設(shè)，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此D正確．
故選：AD．
三、填空題
13．請寫出一個(gè)焦點(diǎn)在軸上，焦距為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ．
【答案】（答案不唯一，只要焦點(diǎn)在軸上且）
【分析】由題得，所以，然后取一組a、b即可.
【詳解】由題得，所以，取，
又焦點(diǎn)在y軸上，所以方程為.
故答案為：.
14．、分別是圓與圓上的動(dòng)點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】11
【分析】作圓E關(guān)于的對稱圓為圓G，根據(jù)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，即可得解.
【詳解】由題意知
如圖，設(shè)圓E關(guān)于的對稱圓為圓G，點(diǎn)Q與點(diǎn)關(guān)于軸對稱.
則圓G的方程為
.
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值.
此時(shí).
所以的最小值為11.
故答案為：11.
四、雙空題
15．已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，離心率互為倒數(shù)，設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為右支上任意一點(diǎn)，則雙曲線的離心率為 ；的最小值為 ．
【答案】 3 8
【分析】利用橢圓、雙曲線的定義以及基本不等式求解.
【詳解】因?yàn)闄E圓，所以其離心率，
所以雙曲線的離心率；
設(shè)雙曲線C的半焦距為，
因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，
所以，，
因?yàn)?、分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為右支上任意一點(diǎn)，
所以，即，
所以，
因?yàn)椋?br>由基本不等式可得：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值為8.
故答案為：3；8.
五、填空題
16．參加數(shù)學(xué)興趣小組的小何同學(xué)在打籃球時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時(shí)，籃球的斜上方燈泡照過來的光線使得籃球在地面上留下的影子有點(diǎn)像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過的橢圓，但他自己還是不太確定這個(gè)想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒有問題的，而且通過學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）就是影子橢圓的焦點(diǎn).他在家里做了個(gè)探究實(shí)驗(yàn)：如圖所示，桌面上有一個(gè)籃球，若籃球的半徑為個(gè)單位長度，在球的右上方有一個(gè)燈泡（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)），燈泡與桌面的距離為個(gè)單位長度，燈泡垂直照射在平面的點(diǎn)為，影子橢圓的右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為個(gè)單位長度，則這個(gè)影子橢圓的離心率 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，解得圖中N、Q的橫坐標(biāo)，列方程組即可求得橢圓的a、c，進(jìn)而求得橢圓的離心率.
【詳解】以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，直線PR的方程為
設(shè),
由到直線PR的距離為1，得，解之得或（舍）
則，
又設(shè)直線PN的方程為
由到直線PN的距離為1，得，整理得
則，又，故
則直線PN的方程為，
故，
由，解得，故橢圓的離心率
故答案為：
【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。
六、解答題
17．在平行四邊形中，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．
(1)求直線的方程；
(2)求過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)斜式即可得解；
（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的斜率，進(jìn)而可求得所求直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可得解.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
由題意，，又，
故，解得，，，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
所以直線的方程為，
即；
（2）設(shè)所求直線為，
點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，
直線的斜率為，
由于直線與垂直，故直線的斜率為，
所以直線的方程為，
即．
18．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過雙曲線的上焦點(diǎn)的直線交雙曲線的上支于、兩點(diǎn)．在軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)軸上存在點(diǎn)，使恒成立
【分析】（1）設(shè)出雙曲線方程后，由焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為，可得，再由離心率為可求出，從而可求出雙曲線方程；
（2）由題意設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，將直線方程代入雙曲線方程化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，由題意得，設(shè)，則結(jié)合斜率公式化簡可求得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意設(shè)雙曲線方程為，焦點(diǎn)，漸近線方程為，
因?yàn)榻裹c(diǎn)到其中一條漸近線的距離為，
所以，
又，故，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）根據(jù)題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得，，
由，得恒成立，
設(shè)點(diǎn)，，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，，．
設(shè)點(diǎn)，若，則，
即
，
得，因?yàn)?，所以得?br>則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
綜上，軸上存在點(diǎn)，使恒成立．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線中的定點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.
19．已知圓．
(1)證明：圓過定點(diǎn)．
(2)當(dāng)時(shí)，是否存在斜率為的直線交圓于、兩點(diǎn)，使得以為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，或.
【分析】（1）對圓的方程變形，列出方程組，即可求解.
（2）設(shè)出直線方程，并與圓的方程聯(lián)立，再結(jié)合韋達(dá)定義，以及向量垂直的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）證明：圓的方程變形為：，
令，解得，
把代入圓成立，
所以圓過定點(diǎn)．
（2）當(dāng)時(shí)，圓的方程為：．
假設(shè)存在直線符合題意．
設(shè)直線的方程為，與圓聯(lián)立得：
．
所以判別式．
設(shè)，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，
，．
若以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，則，從而有，
即
解得：，
代入，均成立，
所以直線的方程為或.
20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)且垂直于軸的弦長為，且 ．（從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，將其序號寫在答題卡的橫線上并作答．）
①橢圓的長軸長為；②橢圓與橢圓有相同的焦點(diǎn)；③，與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)組成的三角形為等邊三角形．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線經(jīng)過，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)選擇不同的選項(xiàng)中條件再結(jié)合題意從而求解.
（2）設(shè)出直線的方程與橢圓聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，并結(jié)合，再構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性從而求解.
【詳解】（1）若選①．由題意得：，解得：，
所以：橢圓的方程為.
若選②．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
又，得，由，得，
所以橢圓的方程為.
若選③.由題意得：，
又與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)組成等邊三角形，所以，
又，得，，
所以橢圓的方程為.
（2）易知，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得：，
設(shè)點(diǎn)，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，
，，
所以
，
設(shè)，則
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，（此時(shí)，直線為）.
故：面積的最大值為．
【點(diǎn)睛】（2）中通過直線與橢圓聯(lián)立并利用根與系數(shù)關(guān)系得：，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性從而可求解面積的最大值.
21．已知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn)，且與直線相切．設(shè)圓心的軌跡為．
(1)求曲線的方程；
(2)設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可得出答案；
（2）由題意可得點(diǎn)，切線方程為或，聯(lián)立方程，根據(jù)結(jié)合韋達(dá)定理證明或即可.
【詳解】（1）由題意可得點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，
根據(jù)拋物線定義，圓心的軌跡為拋物線，且焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
所以曲線的方程為；
（2）法一：由題意，過點(diǎn)的切線斜率存在，且不為，
設(shè)點(diǎn)，切線方程為，
聯(lián)立，得，
則，
由于過點(diǎn)存在兩條切線，故關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，
且由根與系數(shù)的關(guān)系得，，
設(shè)切線、的斜率分別為，，則，
所以直線．
法二：由題意，過點(diǎn)的切線斜率存在，且不為，
設(shè)點(diǎn)，切線方程為，
聯(lián)立，得，
則，
由于過點(diǎn)存在兩條切線，故關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，
且由根與系數(shù)的關(guān)系得，，
設(shè)切線、的斜率分別為，，則，
所以直線．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
22．已知兩定點(diǎn)，，過動(dòng)點(diǎn)的兩直線和的斜率之積為．設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．
(1)求曲線的方程；
(2)設(shè)，過的直線交曲線于、兩點(diǎn)（不與、重合）．設(shè)直線與的斜率分別為，，證明為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)，且根據(jù)題意，從而求解；
（2）設(shè)出直線的方程，然后與橢圓進(jìn)行聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系從而證明為定值.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意得：
，
整理得：，
故曲線的方程為：.
（2）設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得：，
設(shè)點(diǎn)，，由根與系數(shù)的關(guān)系得：
，，
則：
，
綜上，為定值2．
【點(diǎn)睛】（2）問中利用直線與橢圓聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系即可求解.

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