一、單選題
1．已知方程表示一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)即可求解.
【詳解】解：因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，
所以有，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故選：B.
2．已知點(diǎn)，，若直線：與線段相交，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先求出直線過(guò)定點(diǎn)，在求出臨界點(diǎn)處直線的斜率，結(jié)合圖象得到不等式組，解得即可.
【詳解】因?yàn)橹本€：，即，令，解得，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，
又，，直線的斜率為，
要使直線與線段有公共點(diǎn)，由圖可知，解得，
即的取值范圍是.

故選：B.
3．若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為( )
A．3B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】先求出點(diǎn)M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原點(diǎn)到直線l的距離即得解.
【詳解】依題意知AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，
則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離．
設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，
根據(jù)平行線間的距離公式得
所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，
即l：x＋y－6＝0.
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得M到原點(diǎn)的距離的最小值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線間的距離和點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.
4．是雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)分別是雙曲線左右焦點(diǎn)，若，則（ ）
A．9或1B．1C．9D．9或2
【答案】C
【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求解.
【詳解】是雙曲線上一點(diǎn)，所以，所以，
由雙曲線定義可知，
所以或者，又，所以，
故選：C
5．已知的頂點(diǎn)在拋物線上，若拋物線的焦點(diǎn)恰好是的重心，則的值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】易知焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形重心性質(zhì)以及拋物線焦半徑公式可知.
【詳解】設(shè)，
拋物線，則，
焦點(diǎn)恰好是的重心，
則，
故．
故選：A．
6．已知初中學(xué)過(guò)的反比例函數(shù)的圖象是非標(biāo)準(zhǔn)狀況下的雙曲線，根據(jù)圖象的形狀及學(xué)過(guò)的雙曲線的相關(guān)知識(shí)，推斷曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知求出曲線的即得解.
【詳解】解：曲線的實(shí)軸是，實(shí)軸與漸近線的夾角為，
故與的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，
與曲線對(duì)稱(chēng)中心的距離，
則，故曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．
故選：B．
7．已知圓C過(guò)圓與圓的公共點(diǎn)．若圓，的公共弦恰好是圓C的直徑，則圓C的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意求解圓，的公共弦方程，再計(jì)算圓中的公共弦長(zhǎng)即可得圓C的直徑，進(jìn)而求得面積即可
【詳解】由題，圓，的公共弦為和的兩式相減，化簡(jiǎn)可得，又到的距離 ，故公共弦長(zhǎng)為，故圓C的半徑為，故圓C的面積為
故選：B
8．設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上，，平分，則C的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由題意，結(jié)合雙曲線的定義以及角平分線定理可得，，，，，，在，中，由余弦定理結(jié)合，計(jì)算可得答案.
【詳解】
可知，，得
設(shè)，則，由雙曲線的定義可知：.
因?yàn)槠椒?，所以，故?br>又，
即有，，，，，
在，中，由余弦定理可得，
，，
由，
可得.
故選：C.
二、多選題
9．已知，直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】先將直線方程轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式直線方程，根據(jù)直線所過(guò)象限列出關(guān)于斜率、縱截距的不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】將直線l的方程轉(zhuǎn)化為，因?yàn)閘經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，
所以即，，.
對(duì)D，若，則，，滿(mǎn)足題意，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10．已知點(diǎn)在內(nèi)，則下列表述正確的是（ ）
A．
B．直線與圓相交
C．過(guò)點(diǎn)的弦長(zhǎng)最小值為
D．與相內(nèi)切
【答案】AC
【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、直線和圓的位置關(guān)系、最短弦長(zhǎng)、圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】對(duì)于A：點(diǎn)M在內(nèi)，故，A正確；
對(duì)于B：點(diǎn)O到直線的距離為，故直線與圓相離，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：弦與垂直時(shí)，過(guò)的弦長(zhǎng)最小為，C正確；
對(duì)于D：的圓心為，半徑為，
．故D錯(cuò)誤．
故選：AC
11．（多選）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若的最大值為5，則（ ）
A．橢圓的短軸長(zhǎng)為B．當(dāng)最大時(shí)，
C．離心率為D．的最小值為3
【答案】ABD
【分析】橢圓定義有，結(jié)合已知確定的最小值并確定此時(shí)的位置，即可判斷D、B的正誤，此時(shí)設(shè)，結(jié)合橢圓方程求短軸長(zhǎng)，即可判斷A、C的正誤.
【詳解】由題意知，所以．
因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以的最小值為3，故D正確．
當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)，取得最小值，此時(shí)，故B正確．
由B的分析，不妨令，代入橢圓方程，得．又，所以，得，
所以橢圓的短軸長(zhǎng)為，故A正確．
易得，所以，故C錯(cuò)誤．
故選：ABD.
12．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓交x軸于M，N兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q．若拋物線C上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離等于3．則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．拋物線的方程是B．拋物線的準(zhǔn)線是
C．的最小值是D．線段AB的最小值是6
【答案】BC
【解析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得p，進(jìn)而得到拋物線方程和準(zhǔn)線方程；求得，設(shè)，，直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可得線段AB的最小值，可得圓Q的半徑，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Q的坐標(biāo)，運(yùn)用直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義，可得所求的最小值.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，得拋物線的準(zhǔn)線方程為，
點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3，可得，解得，
則拋物線的方程為，準(zhǔn)線為，故A錯(cuò)誤，B正確；
由題知直線的斜率存在，，
設(shè)，，直線的方程為，
由，消去得，
所以，，
所以，所以AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
，故線段AB的最小值是4，即D錯(cuò)誤；
所以圓Q的半徑為，
在等腰中，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為，即C正確，
故選：BC.
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，課程中心方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.
三、填空題
13．已知光線從點(diǎn)射出，到軸上的點(diǎn)后，被軸反射到軸上的點(diǎn)，再被軸反射，這時(shí)反射光線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則所在直線的方程為 .
【答案】
【分析】由題意可知直線一定過(guò)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且一定過(guò)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，從而可求出直線的方程，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程.
【詳解】如圖，由題設(shè)點(diǎn)B在原點(diǎn)O的右側(cè)，直線一定過(guò)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且一定過(guò)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
所以的方程為，即，
令，則，所以為，
所以的方程為，即，
故答案為：
14．對(duì)任意實(shí)數(shù)m直線x＋my－3m－4＝0被圓C截得的線段長(zhǎng)恒為4，若動(dòng)點(diǎn)P在圓C上，則點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值為 ；
【答案】3
【分析】根據(jù)題意確定圓心和半徑，即可求得點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值.
【詳解】直線x＋my－3m－4＝0 即 ，
故直線過(guò)定點(diǎn) ，該點(diǎn)到原點(diǎn)距離為5，
由對(duì)任意實(shí)數(shù)m直線x＋my－3m－4＝0被圓C截得的線段長(zhǎng)恒為4可知：
直線過(guò)圓的圓心，即圓心為定點(diǎn)，且圓的直徑為4，
故圓上動(dòng)點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值為：5-2=3，
故答案為：3.
15．已知是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，其中，過(guò)點(diǎn)A作與垂直的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn).若分別表示直線的斜率，則 .
【答案】6
【分析】設(shè)，記直線的斜率為，根據(jù)垂直關(guān)系得到，結(jié)合橢圓方程計(jì)算得到答案.
【詳解】令，則，且.
設(shè)，記直線的斜率為，

所以.
因?yàn)?，所以，又?br>且，所以，即，所以.
故答案為：.
16．如圖，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P 是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)Q，若，則直線的斜率為

【答案】
【分析】根據(jù)橢圓的定義及直徑所對(duì)的圓周角等于，利用勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及斜率的定義即可求解.
【詳解】連接，如圖所示

設(shè)則，
由橢圓的定義得
所以
在中，,
所以,即，整理得，
所以，
所以直線的斜率為.
故答案為：.
四、解答題
17．已知直線，，分別求的取值范圍，使得：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平行關(guān)系可直接構(gòu)造方程組求得結(jié)果；
（2）由垂直關(guān)系可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】（1）解：因?yàn)橹本€，滿(mǎn)足，
所以，即，解得.
所以，當(dāng)時(shí)，.
（2）解：因?yàn)橹本€，滿(mǎn)足，
所以，解得.
所以，當(dāng)時(shí)，.
18．已知圓C關(guān)于直線x＋y＋2＝0對(duì)稱(chēng)，且過(guò)點(diǎn)P(－2， 2)和原點(diǎn)O.
(1)求圓C的方程；
(2)相互垂直的兩條直線l1，l2都過(guò)點(diǎn)A(－1， 0)，若l1，l2被圓C所截得的弦長(zhǎng)相等，求此時(shí)直線l1的方程．
【答案】(1)(x＋2)2＋y2＝4
(2)x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0
【分析】（1）設(shè)圓心C(a，－a－2)，由題意可得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，解方程即可得出答案.
（2）設(shè)出直線的直線，因?yàn)閳A心C到直線l1，l2的距離相等，用點(diǎn)到直線的距離公式可得，解方程即可得出答案.
【詳解】（1）由題意知，直線x＋y＋2＝0過(guò)圓C的圓心，設(shè)圓心C(a，－a－2)．
由題意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，
解得a＝－2.
因?yàn)閳A心C(－2，0)，半徑r＝2，
所以圓C的方程為(x＋2)2＋y2＝4.
（2）由題意知，直線l1，l2的斜率存在且不為0，
設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為，
所以l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
l2：，即x＋ky＋1＝0.
由題意，得圓心C到直線l1，l2的距離相等，
所以，解得，
所以直線l1的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
19．（1）已知圓，，動(dòng)圓與圓，均外切，求圓心的軌跡方程
（2）已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，點(diǎn)在線段上，且，求點(diǎn)的軌跡方程
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)兩圓外切滿(mǎn)足的關(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義即可求解，
（2）根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法即可求解.
【詳解】（1）由題意可知：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
設(shè)動(dòng)圓半徑為，
由條件可得，即，
則根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)是以，為左右焦點(diǎn)，以2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的右支，
則，，可得，所以曲線的方程為．
（2）設(shè)，，則，
因?yàn)椋瑒t，
則，可得，解得，即．
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則，即，
20．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且.
(1)求的值；
(2)若以線段為直徑的圓與直線相切，求直線的方程.
【答案】(1)2
(2)或.
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，已知，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和韋達(dá)定理，即可求出的值；
（2）利用韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)，已知以線段為直徑的圓與直線相切，求出半徑列得方程求解即可算出參數(shù)m的值，進(jìn)而得到直線方程.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
由點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程，消去后整理得，
所以，，.
又由，解得.
所以的值為2.
（2）由，
可得線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
.
若以線段為直徑的圓與直線相切，
有，解得.
所以直線的方程為，即或.
21．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，過(guò)作直線，使與直線垂直，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析，.
【分析】（1）待定系數(shù)法求橢圓方程；
（2）分類(lèi)討論直線斜率是否存在，若存在，設(shè)直線斜率，由得弦中點(diǎn)為，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，利用韋達(dá)定理得到關(guān)系，再求出直線方程探究定點(diǎn)即可.
【詳解】（1）由已知得
由解方程組得
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB的直線方程為，
聯(lián)立，消得，
，
由題意，.
設(shè)，則.
因?yàn)椋允堑闹悬c(diǎn)．
即 ，得，
①，
又，的斜率為，
直線的方程為②，
把①代入②可得：，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn).
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，
此時(shí)直線為軸，也過(guò).
綜上所述，直線恒過(guò)點(diǎn).

【點(diǎn)睛】解答圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題的常用策略：
（1）參數(shù)法：參數(shù)法解決定點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵思路在于以下兩個(gè)環(huán)節(jié).
①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)（如引入動(dòng)直線的斜率，截距，動(dòng)點(diǎn)的橫或縱坐標(biāo)等等）表示變化量，即確定題目中核心參數(shù)；
②利用條件找到參數(shù)與過(guò)定點(diǎn)的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于參數(shù)與的等式，再研究曲線不受參數(shù)影響時(shí)的定點(diǎn)坐標(biāo).
（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).
22．已知雙曲線的一條漸近線方程是，焦距為4.
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題知，，進(jìn)而結(jié)合求解即可得答案；
（2）由題設(shè)直線的方程為，，，，
進(jìn)而與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合題意得且，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，距離公式，面積公式得，再還原求解即可得答案.
【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程是，
所以，即
因?yàn)榻咕酁?，所以，即
因?yàn)椋?br>所以，
所以雙曲線的方程為
（2）解：由題知雙曲線的右焦點(diǎn)為，
故設(shè)直線的方程為，
則聯(lián)立方程得，
設(shè)，，
所以，
因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，
所以，即且，
所以，解得：且
因?yàn)橹本€與軸交于點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，所?br>所以，
點(diǎn)到直線的方程為距離為，
所以面積為，
令，則，
所以，
因?yàn)樵谑菃握{(diào)遞減函數(shù)，
所以，
所以.
所以面積的取值范圍為

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