一、單選題
1．若不等式對于一切恒成立，則的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【解析】采用分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為“對一切恒成立”，再利用基本不等式求解出的最小值，由此求解出的取值范圍.
【詳解】因為不等式對于一切恒成立，
所以對一切恒成立，
所以，
又因為在上單調(diào)遞減，所以，
所以，所以的最小值為，
故選：C.
【點睛】本題考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題，難度一般.不等式在給定區(qū)間上恒成立求解參數(shù)范圍的兩種方法：參變分離法、分類討論法.
2．已知函數(shù)，方程，，則方程的根的個數(shù)是
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】首先根據(jù)方程解出或，，再畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象交點個數(shù)確定方程的實數(shù)根.
【詳解】，即或，
如圖，畫出函數(shù)的圖象
由圖象可知時，有2個交點，當(dāng)，時有3個交點，
所以共有5個交點，故選D.
【點睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合求解方程實數(shù)根的問題，函數(shù)的零點是對應(yīng)方程的實數(shù)根，同時也是函數(shù)圖象和軸的交點，求的實數(shù)根也可轉(zhuǎn)化為求和的圖象的交點個數(shù).
3．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的六個頂點都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1A1的面積為( )
A．2B．1C．D．
【答案】C
【詳解】由題意知，球心在側(cè)面BCC1B1的中心O上，BC為截面圓的直徑，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圓圓心N是BC的中點，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中點．設(shè)正方形BCC1B1的邊長為x，Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R＝1(R為球的半徑)，∴()2＋()2＝1，即x＝，則AB＝AC＝1，∴S矩形ABB1A1＝×1＝.
故選C
4．中，角，，的對邊分別為．若向量，，且，則角的大小為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用數(shù)量積結(jié)合正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，通過兩角和的公式化簡得到角的方程，得解．
【詳解】由得，
，
由正弦定理得，，
化為，
即，
由于，
，又
，
故選．
【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積和正弦定理，考查和角的正弦公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
5．已知，，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)，求解即可．
【詳解】解：因為
=-.
，
；
，，
所以，
故．
故選：D.
6．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴“有用腳蹴?踢的含義，“鞠”最早系外包皮革?內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴?踢皮球的活動，類似今日的踢足球活動.已知某“鞠”的表面上有四個點P?A?B?C，其中平面，，則該球的體積為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)線面垂直得到線線垂直，進(jìn)而得到三棱錐的外接球即為以為長，寬，高的長方體的外接球，求出長方體體對角線的長，得到該球的半徑和體積.
【詳解】因為平面，平面，
所以，
又，
所以兩兩垂直，
所以三棱錐的外接球即為以為長，寬，高的長方體的外接球，
即該球的直徑為長方體體對角線的長，
因為，
所以，
所以該球的半徑為2，體積為.

故選：C
7．設(shè)點是曲線上的任意一點，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由條件可得點是以為圓心，2為半徑的下半圓上的點，而表示點與連線的斜率，由幾何意義可得結(jié)論
【詳解】曲線表示以為圓心，2為半徑的下半圓，如圖所示，
表示點與連線的斜率，
當(dāng)直線與圓相切時，設(shè)直線方程為，即，
圓心到直線的距離，解得或，
因為，所以，
當(dāng)直線經(jīng)過點時，，
由圖可知，
所以的最小值是，
故選：B
8．如圖，已知橢圓C的中心為原點O，為橢圓C的左焦點，P為橢圓C上一點，滿足，且，則橢圓C的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)橢圓的右焦點為，連接，由可得，可求得，由橢圓的定義可求得，利用之間的關(guān)系可求得，即可得到答案
【詳解】如圖，設(shè)橢圓的右焦點為，則，連接，
因為，所以，
所以，
由橢圓的定義可得，則，
又因為，所以，
所以橢圓的方程為，
故選：D
二、多選題
9．已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.已知平面內(nèi)點，點，，，點繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，則（ ）
A．B．
C．的坐標(biāo)為D．的坐標(biāo)為
【答案】ACD
【分析】由題意表示出，結(jié)合題設(shè)可求得，即得，，判斷；根據(jù)題中定義求得坐標(biāo)，可得點坐標(biāo)，判斷D；再求得，求得其模，判斷A.
【詳解】由題意可知點，點，故，
因為，故 ，
又，即，故，
所以，，故B錯誤，C正確；
因為點繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，
所以，
則由,可得點坐標(biāo)為，故D正確；
故，則，A正確，
故選：ACD
10．已知是復(fù)數(shù)，是其共軛復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A．
B．若，則的最大值為
C．若，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限
D．若是關(guān)于的方程的一個根，則
【答案】BC
【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式計算判斷A；利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷B；求出復(fù)數(shù)判斷C；利用復(fù)數(shù)相等求出判斷D.
【詳解】對于A，設(shè)，則，，A錯誤；
對于B，由知，在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點在以原點為圓心的單位圓上，可看作
該單位圓上的點到點的距離，則距離最大值為，B正確；
對于C，，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，C正確；
對于D，依題意，，整理得，
而，因此，解得，D錯誤．
故選：BC
11．已知平面，其中點，法向量，則下列各點在平面內(nèi)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】設(shè)，根據(jù)題意，列出方程，得到，逐個選項代入驗證，可得答案.
【詳解】設(shè)，可得，由，得到
，整理得，，分別代入各個選項，可得A與C選項符合題意.
故選：AC
12．已知拋物線：，過點的直線交于，兩點，為坐標(biāo)原點，則下列說法正確的有（ ）
A．若直線的斜率為2，則的面積為12
B．的最小值為
C．
D．若，則
【答案】BD
【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理,結(jié)合弦長公式，即可判斷ABC,利用斜率關(guān)系得，進(jìn)而得，即可判斷D.
【詳解】若直線的斜率為2，則直線的方程為，即，設(shè)，，由 得，所以，，
所以的面積，故A錯誤；
由題意知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，
由得，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故B正確；，同理，可得，則
，故C錯誤；
，即，
所以，故D正確．
故選:BD．
三、填空題
13．我國油紙傘的制作工藝巧妙.如圖（1），傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能夠沿著傘柄滑動.如圖（2），傘完全收攏時，傘圈已滑動到的位置，且、、三點共線，，為的中點，當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，傘圈沿著傘柄向下滑動的距離為，則當(dāng)傘完全張開時，的正弦值是 .

【答案】/
【分析】利用余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得，再利用二倍角公式求得正確答案.
【詳解】依題意分析可知，當(dāng)傘完全張開時，，因為為的中點，
所以，，當(dāng)傘完全收攏時，，
所以，，
在中，，
則為銳角，所以，
所以.
故答案為：
14．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若對任意的，均有成立，則的最小值為 .
【答案】
【分析】先由二倍角公式與兩角和與差的正弦公式得，再結(jié)合三角函數(shù)的平移變換得，由恒成立可知，取最大值，則可求的表達(dá)式，結(jié)合的條件可得答案.
【詳解】由題意得，
則，因為對任意的，均有成立，所以，即，又，所以當(dāng)時，的最小值為，
故答案為：.
15．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為 ．
【答案】2.
【分析】通過向量關(guān)系得到和，得到，結(jié)合雙曲線的漸近線可得從而由可求離心率.
【詳解】如圖，

由得又得OA是三角形的中位線，即由，得則有，
又OA與OB都是漸近線，得又，得．又漸近線OB的斜率為，所以該雙曲線的離心率為．
【點睛】本題考查平面向量結(jié)合雙曲線的漸近線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．
16．如圖，點是棱長為2的正四面體底面的中心，過點的直線交棱于點是棱上的點，平面與棱的延長線相交于點，與棱的延長線相交下點，則 ．

【答案】
【分析】確定，根據(jù)共面得到，解得答案.
【詳解】
；
四點共面，故，即.
故答案為：
四、解答題
17．分別為內(nèi)角的對邊，已知．
(1)求；
(2)若在線段上，，且的面積，求的周長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，再根據(jù)兩角和公式以及兩角差公式進(jìn)行化簡運算即可；
（2）先利用三角形面積公式求得邊長，從而求得的值，再利用余弦定理即可求得答案.
【詳解】（1）由正弦定理及，得．
因為，所以，
所以，
所以，
即，
因為，所以．
又，所以．
（2），
因為，所以．
又，所以．
由余弦定理得，則
所以．所以的周長為．
18．如圖，四棱錐的底面是邊長為的菱形，，，，平面平面，E，F(xiàn)分別為，的中點.

(1)證明：平面；
(2)求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得出線面垂直，再由線面垂直的判定定理求證；
（2）利用等體積法求出點到平面的距離即可.
【詳解】（1），
，.
平面平面，且交線為，平面，
平面，
平面，.
連接，，如圖，

因為四邊形是邊長為的菱形，，
所以為等邊三角形.
又因為為的中點，所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）設(shè)點到平面的距離為，則，
因為，所以，又由（1）知，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，平面，所以，，
又，，
又由，，，平面，平面，
所以平面，且，，
所以，即，
所以點到平面的距離為.
19．已知直線經(jīng)過點，圓．
(1)若直線與圓C相切，求直線的方程；
(2)若直線被圓C截得的弦長為，求直線的方程．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切，進(jìn)行求解；
（2）先由勾股定理求出圓心到直線的距離，再由距離公式求解即可.
【詳解】（1）由已知圓，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為2.
當(dāng)直線的斜率不存在時，即直線的方程為：，此時是與圓相切，滿足題意；
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為：，即，
則圓C的圓心到直線l的距離，解得，
故直線l的方程為．綜上，直線l的方程為或．
（2）因為直線l被圓C所截得的弦長為，
所以圓心到直線l的距離為．
由（1）可知，直線的斜率一定存在，設(shè)直線為：，即，則圓心到直線l的距離，解得或．
故直線l的方程為或．
20．已知橢圓：的長軸長為，且其離心率小于，為橢圓上一點，、分別為橢圓的左、右焦點，的面積的最大值為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)為橢圓的上頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，直線為過點且與平行的直線，設(shè)與直線的交點為.證明：直線過定點.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，將長軸長為，的面積的最大值為，
轉(zhuǎn)化為，可得；
（2）先設(shè)：，聯(lián)立橢圓，得，根據(jù)，可得直線的方程，
進(jìn)而根據(jù)對稱性可得過定點.
【詳解】（1）由題意可知：，
因為，所以，，，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）
設(shè)，，：.
聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，
則，所以，
因為，則：，
令，解得， 所以，
故直線的方程為：，
根據(jù)對稱性，直線所過的定點在軸上，不妨令，
則
將，代入得
所以，
代入，得，
，
故直線過定點.
21．如圖，多面體中，平面，
(1)在線段上是否存在一點，使得平面？如果存在，請指出點位置并證明；如果不存在，請說明理由；
(2)當(dāng)三棱錐的體積為8時，求平面與平面AFC夾角的余弦值.
【答案】(1)存在，的中點，證明見解析；
(2).
【分析】（1）先找到G點位置，由面面平行證明線面平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由體積求解邊長，用空間向量求解二面角.
【詳解】（1）存在，點為中點，理由如下：
取線段AB的中點H，連接EH、HG、EG．
∵，，
∴四邊形AHEF是平行四邊形，∴．
又∵平面AFC，平面AFC，
∴平面AFC．
∵H、G分別為AB、BC的中點，
∴HG是的中位線，∴．
∵平面AFC，平面AFC，
∴平面AFC．
∵，HG、平面EHG，
∴平面平面AFC．
∵平面EHG，
∴平面AFC．
（2）由，
可得
以為坐標(biāo)原點，以??的正方向為??軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由題可知，，，，，
設(shè)平面的一個法向量為
，
則，可以取
設(shè)平面的一個法向量為
，
則，可以取
設(shè)平面與平面夾角為，
則，
∴平面與平面夾角的余弦值為.
22．已知高三某學(xué)生為了迎接高考，參加了學(xué)校的5次模擬考試，其中5次的模擬考試成績?nèi)绫硭荆?br>設(shè)變量x，y滿足回歸直線方程．
(1)假如高考也符合上述的模擬考試的回歸直線方程，高考看作第10次模擬考試，預(yù)測2024年的高考的成績；
(2)從上面的5次考試成績中隨機抽取3次，其中2次成績都大于500分的概率．
參考公式：回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．
【答案】(1)預(yù)測2024年的高考成績?yōu)?11.2分；
(2)．
【分析】（1）依題意求出，，即可求出、，從而得到回歸直線方程，再將代入計算可得；
（2）利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得.
【詳解】（1）由表得，，
∴．
將點代入回歸直線方程可得，解得，
∴回歸直線方程為．
當(dāng)時，，
∴預(yù)測2024年的高考成績?yōu)?11.2分．
（2）記“從5次考試成績中選出3次成績”為事件，
則事件的情況有，，，，
，，，，
，，共10種情況，
其中2次成績都大于500分情況有，，，共3種情況，
∴所求的概率．
次數(shù)（x）
1
2
3
4
5
考試成績（y）
498
499
497
501
505

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