一、選擇題
1．若方程表示橢圓,則m的取值范圍為( )
A.B.
C.D.
2．已知直線與動圓,下列說法正確的是( )
A.直線l過定點
B.當時,若直線l與圓C相切,則
C.若直線l與圓C相交截得弦長為定值d,則
D.當時,直線l截圓C的最短弦長為
3．曲線與曲線（）的( )
A.短軸長相等B.長軸長相等C.焦距相等D.離心率相等
4．數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀,它蘊藏于特有的抽象概念,公式符號,推理論證,思維方法等之中,揭示了規(guī)律性,是一種科學(xué)的真實美.平面直角坐標系中,曲線是一條形狀優(yōu)美的曲線,曲線C圍成的圖形的面積是( )
A.B.C.D.
5．已知點,,動點P滿足條件.則動點P的軌跡方程為( )
A.B.
C.D.
6．已知某圓臺的上、下底面半徑分別為2和5,母線長為5,則該圓臺的體積為( )
A.B.C.D.
7．正方形的邊長為12,其內(nèi)有兩點P、Q,點P到邊、的距離分別為3,2,點Q到邊、的距離也是3和2.現(xiàn)將正方形卷成一個圓柱,使得和重合（如圖）.則此時P、Q兩點間的距離為( )
A.B.C.D.
8．如圖,已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”,其中.“果圓”與軸的交點分別為,,與y軸的交點分別為,,點P為半橢圓上一點（不與重合）,若存在.,則半橢圓的離心率的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．下列四個命題中正確的是( )
A.過點且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍的直線的方程為
B.向量是直線的一個方向向量
C.直線與直線之間的距離是
D.圓與圓有兩條公切線
10．在棱長2的正方體中,M,N分別為,的中點,則( )
A.平面
B.直線與是異面直線
C.平面截正方體所得截面是五邊形
D.平面截正方體所得截面的面積為
11．已知雙曲線的左焦點為F,P為C右支上的動點,過P作C的一條漸近線的垂線,垂足為A,O為坐標原點,則下列說法正確的是( )
A.點F到C的一條漸近線的距離為2
B.雙曲線C的離心率為
C.則P到C的兩條漸近線的距離之積大于4
D.當最小時,則的周長為
三、填空題
12．已知是橢圓的兩個焦點,點P在該橢圓上,若,則的面積是________.
13．四川的旅游資源豐富,不僅有眾多著名的自然景觀,還包括許多人文景點.其中,九寨溝以奇幻的山水景觀著稱;峨眉山以秀麗聞名;青城山以幽靜清雅著稱;劍門關(guān)則以雄險著稱.此外,四川還有許多必去的旅游景點,如都江堰、樂山大佛、稻城亞丁、色達佛學(xué)院、黃龍景區(qū)和四姑娘山等.這些景點既展示了四川的自然美景,還體現(xiàn)了其深厚的文化底蘊和歷史價值.甲、乙兩人從九寨溝、峨眉山和青城山這三個景點中各選擇其中一個景點進行游玩,已知甲、乙兩人選擇三個景點游玩的概率分別是,,和,,,則甲、乙選擇相同的景點游玩的概率為________.
14．已知正三棱錐的外接球為球O,,,P是球O上任意一點,E為的中點,則的取值范圍為________.
四、解答題
15．已知橢圓（）的右焦點為,且過點,直線l過點F且交橢圓C于A、B兩點.
（1）求橢圓C的方程;
（2）若線段的垂直平分線與x軸的交點為.
（?。┣笾本€l的方程.
（ⅱ）若點,求的面積.
16．如圖,四邊形與均為菱形,,,.
（1）求證:平面;
（2）P為線段上的動點,求與平面所成角正弦值的最大值;
（3）設(shè)中點為K,G為四邊形內(nèi)的動點（含邊界）且,求動點G的軌跡長度.
17．如圖,在四棱錐中,平面平面,,,,,,E為中點,點F在上,且.
（1）求證:平面;
（2）求二面角的余弦值;
（3）線段上是否存在點Q,使得平面?說明理由.
18．2024年西部數(shù)學(xué)邀請賽于8月4日至10日在上海隆重舉行,此次賽事不僅是對中學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一次全面考驗,更是對數(shù)學(xué)教育未來發(fā)展的深刻實踐探索,共有200多名學(xué)生參賽,引起社會廣泛關(guān)注,點燃了全社會對數(shù)學(xué)的熱情.甲、乙、丙3名同學(xué)各自獨立去做2024年西部數(shù)學(xué)邀請賽預(yù)賽中的某道題,已知甲能解出該題的概率為,乙能解出而丙不能解出該題的概率為,甲、丙都能解出該題的概率為.
（1）求乙、丙各自解出該題的概率;
（2）求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.
19．已知拋物線的焦點,直線,
（1）設(shè)直線l與x軸交于B點,直線與拋物線交于A,C兩點,其中A在第一象限,求出所有滿足的點E的坐標.（其中點E與點A對應(yīng),點C與點B對應(yīng)）;
（2）過直線l上的點P作拋物線的兩條切線,,切點分別為M,N,求的最小值.
參考答案
1．答案：D
解析：因為方程表示橢圓,
所以,解得,
故選：D.
2．答案：C
解析：對于A,將直線整理為.
令,解方程組,得,即,
將代入得,所以直線l過定點,故A選項錯誤.
對于B,當時,直線l方程為,即.
圓,圓心,半徑.
因為直線與圓相切,則圓心到直線距離等于半徑,即,
或,解得或,故B選項錯誤.
對于C,圓,圓心,半徑.
直線,根據(jù)點到直線的距離公式,圓心到直線l的距離.
弦長,若弦長為定值,則L為定值,與a,b無關(guān).
當時,,,是定值,故C選項正確.
對于D,當時,求直線l截圓C的最短弦長
當時,圓,圓心,半徑.
直線過定點.
圓心到定點的距離.
根據(jù)幾何關(guān)系,直線l截圓C的最短弦長,故D選項錯誤.
3．答案：C
解析：A選項,明顯短軸不相等,一個,,故錯誤;B選項,一個
另一個為,故錯誤.D選項,離心率,結(jié)合前面提到了a不相等,故錯誤;曲線的焦半徑滿足,而焦半徑滿足
,故兩曲線的焦半徑相等,故焦距相等,C正確.
4．答案：C
解析：以,代換x,y,方程不變,
故曲線關(guān)于原點及x軸,y軸對稱,
當,時,可得,即,
可得此時曲線是以 為圓心,為半徑的半圓,
由此作出曲線C的圖象如圖所示,
所以曲線C圍成的圖形的面積是,
故選：C
5．答案：A
解析：,由,
結(jié)合雙曲線定義可知動點P的軌跡為以,為焦點的雙曲線右支,
在雙曲線中,,可得,,
所以,
動點P的軌跡方程為.
故選：A.
6．答案：C
解析：設(shè)圓臺的高為h,根據(jù)圓臺的母線長l、高h和上下底面半徑之差構(gòu)成直角三角形,由勾股定理可得.
已知,,,則.
代入圓臺體積公式,
可得.
7．答案：C
解析：過點P作平行于底面的截面圓,過點Q作平行于底面的截面圓,,
設(shè)圓柱的底面圓半徑為r,則,解得,于是,
由,得
,
所以P、Q兩點間的距離為.
8．答案：D
解析：（解法1）設(shè),,
因為,,所以,.
,所以.
因為,所以.
因為,所以,即,解得.
（解法2）設(shè),,
因為,,所以,,
所以.
因為,所以.
因為存在.,所以在上有解.
因為,且,
所以在上有解,
即在上有解.
因為,所以,即解得.
9．答案：BD
解析：選項A:由題意可知直線斜率存在且不為0,設(shè)直線方程為,
令解得,令解得,
因為該直線在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍,
所以,解得或,
所以直線方程為或,A說法錯誤;
選項B:直線的斜率為,方向向量為,當時,B說法正確;
選項C:由得,
則直線與直線之間的距離,C說法錯誤;
選項D:由題意圓圓心為,半徑,
圓圓心為,半徑,
因為,,
所以兩圓相交,有且僅有兩條公切線,D說法正確;
10．答案：ABD
解析：對于A,如圖,正方體中,M,N分別為,的中點,取P,Q分別為,的中點.連接..由正方體性質(zhì),知道,,平面,平面,則平面.故A正確.
對于B,點不在MN上,由異面直線定義可知,直線與是異面直線,故B正確.
對于C和D,由前面知道,,則等腰梯形是所求截面,
如圖,棱長是2的正方體,可求得,,
,,
作,,則.
則等腰梯形的面積為:.故C錯誤,D正確.
11．答案：BCD
解析：雙曲線的漸近線為,左焦點,所以點F到C的一條漸近線的距離為,所以A錯誤;
由雙曲線方程可得,,所以離心率,所以B正確;
設(shè)點,則,即,
點P到兩漸近線距離分別為和,
則,所以C正確;
設(shè)雙曲線的右焦點,則,所以,
若最小,則只需最小即可,
過作垂直漸近線與點A,交雙曲線右支與點P,此時最小,
,由勾股定理得,所以,所以,
所以的周長為,所以D正確.
12．答案：
解析：由題意知,是橢圓的兩個焦點,
則,,,
不妨取,,則,
又,結(jié)合可得,,
則,即,
故,
13．答案：
解析：由題意知甲,乙兩人選擇景點游玩相互獨立,所以甲、乙兩人選擇相同的景點游玩的概率為.
14．答案：
解析：因為底面是正三角形,.
根據(jù)正三角形外接圓半徑公式（其中a為正三角形的邊長）,可得.
設(shè)正三棱錐的高為h,頂點A在底面的射影為.
因為E為中點,在上,且.
對于正三角形,,則.
在中,,,根據(jù)勾股定理.
設(shè)外接球半徑為R,球心O在高上.
根據(jù),將,代入可得:
.展開得.
移項化簡得,解得.
因為.
設(shè)球心O到E點的距離為d,在中,,,根據(jù)勾股定理.
的最小值為,最大值為.
,.
所以的取值范圍是.
15．答案：（1）;
（2）或;
解析：（1）根據(jù)題意有,解之得,,所以橢圓C的方程;
（2）（?。╋@然若l斜率不存在,其垂直平分線與橫軸重合,不符合題意;
不妨設(shè)直線l的方程為,的中點為C,
設(shè),,,
l與橢圓方程聯(lián)立有,整理得,
則,
所以,,
易知,解之得,
即,整理得直線l的方程為或;
（ⅱ）由弦長公式可知
,
由直線的對稱性知點P到兩條直線l的距離相同,即,
所以的面積為.
16．答案：（1）證明見解析
（2）
（3）
解析：（1）因為四邊形為菱形,則,
設(shè),連接,則O為的中點,
因為,則,
因為,、平面,故平面.
（2）連接,因為四邊形為菱形,則,
又因為,則為等邊三角形,
因為O為的中點,則,
又因為平面,以點O為坐標原點,、、所在直線分別為x、
y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,
因為,四邊形為菱形,且,則是邊長為2的等邊三角形,
所以,,,,
同理可得,
所以,、、、、、,
則,,
設(shè)平面的法向量為,
則,取,可得,
因為P為上的動點,設(shè),其中,
且,,
所以,,
設(shè)直線與平面所成角為,
則
,
當時,取最大值,且最大值為,
因此,與平面所成角正弦值的最大值為.
（3）因為K為的中點,則,
設(shè)點,則,,
因為,即,即,
化簡可得,
故動點G的軌跡是以點D為圓心,半徑為的圓在四邊形內(nèi)的部分,
即圓心角為的圓弧,故所求軌跡的長度為.
17．答案：（1）證明見解析
（2）
（3）不存在,理由見解析
解析：（1）在中,
所以,即.
又因為,在平面中,,
所以平面.
（2）因為平面平面,平面平面,,平面,
所以平面,由平面,得
由（2）知,且已知,
故以A為原點,建立如圖空間直角坐標系,
則,,.
所以,,,,
因為E為中點,所以.
由知,.
設(shè)平面的法向量為,
則即
令,則,.于是.
由（1）知平面,所以平面的法向量為.
所以,
由題知,二面角為銳角,所以其余弦值為;
（3）設(shè)是線段上一點,則存在使得.
因為,,
所以.
因為平面,所以平面,當且僅當,
即.
即.解得.
因為,
所以線段上不存在使得平面.
18．答案：（1）,
（2）
解析：（1）設(shè)“甲解出該題”為事件A,“乙解出該題”為事件B,“丙解出該題”為事件C,
則A,B,C相互獨立,
由題意得,,
所以,,
所以,所以乙、丙各自解出該題的概率為,.
（2）設(shè)“甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題”為事件D,
則,
因為,,,
所以,,,
因為、、相互獨立,
所以.
所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率為.
19．答案：（1）或
（2）
解析：（1）因為拋物線的焦點為,則,得到,所以拋物線,
由題知,由,得到,所以,
在中,,,,
則,又,所以,
因為,且點E與點A對應(yīng),點C與點B對應(yīng),所以,
如圖,易知,所以點E在y軸正半軸或x軸負半軸上,
又因為,,得到,
所以點E的坐標為或.
（2）設(shè),,,則,,
再設(shè)切線的方程為,
聯(lián)立方程組,整理得,
由,且,可得,
則切線的方程為,即.
由切線過點,可得.
同理,切線的方程為,
由切線過點,可得,
則直線的方程為,
聯(lián)立方程組,整理得,
可得,,
則
,
當且僅當時,等號成立,故的最小值為.

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