一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.一物體的運動方程是，則該物體在內(nèi)的平均速度為（ ）
A.4.1 C.0.3 D.3
2.某電腦公司有3名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表所示：
由表中數(shù)據(jù)算出經(jīng)驗回歸方程中的.若第4名推銷員的工作年限為7年，則估計他的年推銷金額為（ ）
萬元 萬元 萬元 萬元
3.已知函數(shù)的圖象如圖所示，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列式子正確的是（ ）
A. B.
C. D.
4.若，則（ ）
A.-4 B.4 C.-1 D.1
5.已知等差數(shù)列的公差為，且，則（ ）
A.2025 B.2023 C.2021 D.2019
6.在數(shù)列中，，則數(shù)列的前2023項和（ ）
A. B.-112 C. D.
7.若過點作曲線的切線，則切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
8.某企業(yè)在今年年初貸款萬元，年利率為.從今年年末開始每年償還一定金額，預(yù)計五年還清，則每年應(yīng)償還（ ）
A.萬元 B.萬元
C.萬元 D.萬元
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.下列求導(dǎo)運算不正確的是（ ）
A. B.
C. D.
10.2024年1月1日，很多商場都在搞促銷活動.某市物價局派人對5個商場某商品同一天的銷售量及價格進(jìn)行調(diào)查，得到該商品的售價（單位：元）和銷售量（單位：件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：
用最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，樣本相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A.變量與負(fù)相關(guān)且相關(guān)性較強
B.
C.當(dāng)時，
D.數(shù)據(jù)的殘差為-0.4
11.設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和為，前項積為，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C.的最大值為 D.的最大值為
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且，則__________.
13.在等比數(shù)列中，，則__________.
14.14.我國古代典籍《莊子·天下》中記載：一尺之棰，日取其半，萬世不竭.其含義是：一尺長的棍棒，每日截取它的一半，則永遠(yuǎn)也截不完.這體現(xiàn)了古人的智慧—無限分割的思想.現(xiàn)運用此思想操作如下：取長度為1的線段MN，將其三等分（如圖①，去掉中間線段，記剩下線段的長度之和為；再將線段三等分（如圖②，去掉中間線段，記剩下線段的長度之和為.則__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）
目前已有不少高校將游泳列為必修內(nèi)容.某中學(xué)為了了解高三學(xué)生喜愛游泳是否與性別有關(guān)，對100名高三學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：
已知從這100人中隨機抽取1人，抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為.
（1）請將上述列聯(lián)表補充完整；
（2）判斷是否有的把握認(rèn)為高三學(xué)生喜歡游泳與性別有關(guān).
附，其中.
16.（15分）
已知等比數(shù)列是各項均為正數(shù)的遞增數(shù)列，成等差數(shù)列，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
17.（15分）
某研發(fā)團(tuán)隊實現(xiàn)了從單點光譜儀到超光譜成像芯片的跨越.為制定下一年的研發(fā)投入計劃，該研發(fā)團(tuán)隊需要了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響.結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額，該團(tuán)隊建立了兩個函數(shù)模型：①，②，其中均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).經(jīng)對歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點圖如圖.令，計算得到如下數(shù)據(jù).
（1）設(shè)變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，請從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個與相關(guān)性較強的模型.
（2）（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；
（ii）若下一年銷售額需達(dá)到80億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量.
附：；樣本相關(guān)系數(shù)；經(jīng)驗回歸方程，其中.
18.（17分）
已知數(shù)列滿足.
（1）記，求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和.
19.（17分）
已知兩曲線和都經(jīng)過點，且在點處有公切線.
（1）求的值；
（2）設(shè)拋物線上一動點到直線的距離為，求的最小值.
參考答案
2023—2024學(xué)年高二下學(xué)期期中測試卷
數(shù)學(xué)
答案速查
1.A 【解析】由題意得所求平均速度.
2.D 【解析】由題表中數(shù)據(jù)得，所以經(jīng)驗回歸直線過點.又，所以，所以，所以當(dāng)時，3.27，所以估計第4名推銷員的年推銷金額為3.27萬元.
3.B 【解析】由題圖知函數(shù)是單調(diào)遞增的，則函數(shù)的圖象上任意一點處的導(dǎo)函數(shù)值都大于零.又函數(shù)的圖象在處的切線斜率大于在處的切線斜率，所以.如圖，記，連接.
易得直線的斜率.由函數(shù)圖象知，即，故選B.
4.C 【解析】因為，所以.
5.A 【解析】因為是公差為的等差數(shù)列，所以是公差為2的等差數(shù)列.易得，令，得，所以.
6.B 【解析】因為，所以，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列.又，所以.
7.D 【解析】易知不是切點，可設(shè)切點的坐標(biāo)為①切線方程為.又點在切線上，②.由①②得切線方程為，即.
8.B 【解析】設(shè)每年償還萬元，則，所以，解得.
9.ACD 【解析】，故A符合題意；，故B不符合題意；，故C符合題意；，故D符合題意.
10.ABD 【解析】由經(jīng)驗回歸方程可知變量線性負(fù)相關(guān)，由相關(guān)系數(shù)，可知變量與的相關(guān)性較強，故A正確；由題表中數(shù)據(jù)可得，，所以經(jīng)驗回歸直線過點，則，解得，故正確；當(dāng)85時，，故C錯誤；數(shù)據(jù)的殘差為，故D正確.
11.AD 【解析】因為是公比為的等比數(shù)列，且，所以，所以各項均為正數(shù)，所以沒有最大值，故C錯誤；由得，所以或，若，則，此時，則，與矛盾，所以，所以，所以數(shù)列是各項均為正數(shù)的遞減數(shù)列，所以的最大值為，故B不正確，A，D正確.故選AD.
12. 【解析】因為，所以，所以，所以0，所以，所以.
13.9216 【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由題意得
解得則.令
①，
則①得②.①-②得，則，所以.
14. 【解析】由題意得
，所以
.令①，則②，由①②得，所以，所以.
15.【解析】（1）因為在100人中隨機抽取1人，抽到喜歡游泳
的學(xué)生的概率為，
所以喜歡游泳的學(xué)生人數(shù)為.
又喜歡游泳的女生有20人，
所以喜歡游泳的男生有40人.
將列聯(lián)表補充如下：
（2）零假設(shè)為：高三學(xué)生喜歡游泳與性別無關(guān).
因為10.828，
所以推斷不成立，即有的把握認(rèn)為高三學(xué)生喜歡游泳與性別有關(guān).
16.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.
由題意得.
由成等差數(shù)列得，即
.
因為，
所以，解得或（舍去）.
又，
所以，即，解得，
所以.
（2）由（1）知，則，
所以，
所以，
所以
.
17.【解析】（1）由題意知
.
因為，
所以，
故從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，模型中與的相關(guān)性較強.
（2）由，得，即.
因為，
所以，
故關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，即
.
所以.
（ii）將代入得.
因為，
所以，解得，
故預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量是27.1億元.
18.【解析】（1）由題意得，
又，
所以.
因為，
所以，
所以是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，
所以.
（2）因為，
所以.
所以當(dāng)時，1）
當(dāng)時，，則
.
所以
19.【解析】（1）將分別代入兩曲線的方程得2①
.②
由得，
，
所以.
由題意得.③
由①②③得.
（2）要使拋物線上的點到直線的距離最短，
則拋物線在點處的切線的斜率與直線的斜率相同.
令，解得.
又因為點在拋物線上，
所以，
所以.推銷員編號
1
2
3
工作年限年
3
5
10
推銷金額萬元
2
3
4
價格元
90
95
100
105
110
銷售量件
11
10
8
6
5
性別
是否喜歡游泳
合計
喜歡游泳
不喜歡游泳
男生
10
女生
20
合計
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20
66
770
200
14
460
4.20
3125000
0.308
21500
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
B
C
A
B
D
B
ACD
ABD
AD
性別
是否喜歡游泳
合計
喜歡
不喜歡
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合計
60
40
100

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