5.2.3 平行線的性質(zhì)
基礎過關全練
知識點1 平行線的性質(zhì)
1.(2022貴州六盤水中考)如圖,a∥b,∠1=43°,則∠2的度數(shù)是( )
A.137° B.53° C.47° D.43°
2.【跨學科·物理】(2022湖南婁底中考)一桿古秤在稱物時的狀態(tài)如圖所示,已知∠1=80°,則∠2=( )
A.20° B.80° C.100° D.120°
3.(2021廣東揭陽惠來期末)如圖所示,下列推理及括號中所注明的推理依據(jù)錯誤的是( )
A.∵∠1=∠3,∴AB∥CD(內(nèi)錯角相等,兩直線平行)
B.∵AB∥CD,∴∠BCD+∠ABC=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)
C.∵AD∥BC,∴∠BAD+∠D=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)
D.∵∠DAM=∠CBM,∴AD∥BC(同位角相等,兩直線平行)
4.(2023甘肅定西臨洮期中)將直尺和三角板按如圖所示的位置放置.若∠1=50°,則∠2的度數(shù)是( )
A.60° B.50° C.40° D.70°

5.【新獨家原創(chuàng)】如圖,∠1=∠2,∠3=α,則∠4= .
6.【新獨家原創(chuàng)】【國防教育】圖1是我國某型號隱形戰(zhàn)斗機模型,全動型后掠翼垂尾是這款戰(zhàn)斗機的亮點之一,圖2是垂尾模型的軸切面,并通過垂尾模型的外圍測得如下數(shù)據(jù),∠D=135°,∠C=60°,∠A=45°,則∠B的度數(shù)是 .

7.【教材變式·P178T5】(2023吉林長春南關東北師大附中新城校區(qū)期末)如圖,直線AB∥CD,∠1=70°,∠D=110°,求∠B的度數(shù).
閱讀下面的解答過程,并填空(理由或數(shù)學式).
解:∵AB∥CD(已知),
∴∠1= .
∵∠1=70°,∠D=110°(已知),
∴∠1+∠D=180°(等式的性質(zhì)).
∴∠C+∠D=180°( ).
∴ ∥ .
∴∠B= ( ).
∴∠B=70°.
8.(2023山東青島李滄期末)如圖,AB∥CD,直線EF分別與直線AB,直線CD相交于點E,F,點G在CD上,EG平分∠BEF.若∠EGC=58°,求∠EFD的度數(shù).
9.(2023山東青島城陽期末)如圖,直線AC分別與直線MN、直線GH相交于點A、C,AB平分∠NAC,CD平分∠ACG,且AB∥CD.求證:MN∥GH.
10.(2023甘肅蘭州十九中教育集團期末)如圖,已知AD⊥BC,FG⊥BC,垂足分別為D、G,且∠1=∠2,猜想∠BDE與∠C有怎樣的大小關系,試說明理由.
11.(2023吉林長春二道力旺實驗中學期末)如圖,點O在直線AB上,OC⊥OD,∠D與∠1互余.
(1)求證:ED∥AB;
(2)OF平分∠AOD交DE于點F,若∠OFD=65°,補全圖形,并求∠1的度數(shù).
12.(2023陜西榆林十中期末)如圖,在△ABC中,點D,E分別在AB,AC上,點G,F在CB上,連結ED,EF,GD,∠1+∠2=180°,∠B=∠3.
(1)求證:DE∥BC;
(2)若∠C=76°,∠AED=2∠3,求∠CEF的度數(shù).
知識點2 平移作圖
13.如圖,平移方格紙中的圖形,使點A平移到點A'處,畫出平移后的圖形.
能力提升全練
14.(2022湖南長沙中考,8,★☆☆)如圖,AB∥CD,AE∥CF,∠A=75°,則∠C的度數(shù)為( )
A.65° B.70° C.75° D.105°
15.(2022陜西中考,2,★☆☆)如圖,AB∥CD,BC∥EF.若∠1=58°,則∠2的大小為( )
A.120° B.122° C.132° D.148°
16.(2023吉林長春汽開區(qū)期末,9,★☆☆)如圖,AB∥CD,∠FGB=155°,FG平分∠EFD,則∠BEF的大小為( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
17.(2023甘肅天水秦州育生中學期末,9,★★☆)如圖,直線CE∥DF,∠CAB=125°,∠ABD=85°,則∠1+∠2=( )
A.30° B.35° C.36° D.40°
18.【跨學科·物理】(2022山東棗莊中考,11,★★☆)光線在不同介質(zhì)中傳播速度不同,從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時會發(fā)生折射.如圖,水面AB與水杯底面CD平行,光線EF從水中射向空氣時發(fā)生折射,光線變成FH,點G在射線EF上,已知∠HFB=20°,∠FED=45°,則∠GFH的度數(shù)為 .
19.(2023四川資陽安岳期末,14,★★☆)已知∠1的兩邊分別平行于∠2的兩邊,若∠1=40°,則∠2的度數(shù)為 .
20.(2023重慶鳳鳴山中學期末,22,★★☆)如圖,DE⊥AC,∠AGF=∠ABC,∠1=35°,∠2=145°.
(1)試判斷BF與AC的位置關系,并說明理由;
(2)若BF平分∠ABC,求∠A的度數(shù).
21.(2022四川內(nèi)江期末,20,★★☆)如圖,已知AB∥CD,AF平分∠BAD交CD于點E,交BC的延長線于點F,∠3=∠F.證明:AD∥BC.
素養(yǎng)探究全練
22.【模型觀念】(2022廣東深圳福田紅嶺中學期末)如圖,已知AB∥CD,則α,β,γ滿足的關系式是( )
A.α+β+γ=180° B.α-β+γ=180°
C.α+β-γ=180° D.α+β+γ=360°
23.【應用意識】(2021四川資陽雁江期末)問題情境:如圖①,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度數(shù).小明的思路是過點P作PE∥AB,通過平行線的性質(zhì)來求∠APC的度數(shù).
(1)按照小明的思路,求∠APC的度數(shù);
(2)問題遷移:如圖②,AB∥CD,點P在射線ON上運動,記∠PAB=∠α,∠PCD=∠β,當點P在B、D兩點之間運動時,問:∠APC與∠α、∠β之間有何數(shù)量關系?請說明理由;
(3)在(2)的條件下,如果點P不在B、D兩點之間運動(點P與點O、B、D三點不重合),請直接寫出∠APC與∠α、∠β之間的數(shù)量關系.
圖① 圖②
答案全解全析
基礎過關全練
1.D ∵a∥b,∠1=43°,∴∠2=∠1=43°.故選D.
2.C 如圖,
由平行線的性質(zhì)得∠3=∠1=80°,
∵∠2+∠3=180°,∴∠2=180°-80°=100°.
故選C.
3.C ∵AD∥BC,∴∠BCD+∠D=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補),故C選項錯誤,符合題意.
4.D 如圖,∵直尺的上下兩條邊互相平行,∠1=50°,∴∠3=∠1=50°,∴∠5=∠3=50°,∵∠4=60°,∴∠2=180°-∠4-∠5=180°-60°-50°=70°.故選D.
5.答案 180°-α
解析 如圖,∵∠1=∠2,∠1=∠5(對頂角相等),
∴∠2=∠5,∴a∥b,∴∠3+∠6=180°,
又∠4=∠6(對頂角相等),∴∠3+∠4=180°,
∵∠3=α,∴∠4=180°-α.
6.答案 120°
解析 因為∠D=135°,∠A=45°,所以∠D+∠A=180°,
所以AB∥CD,所以∠B+∠C=180°,
又∠C=60°,所以∠B=180°-60°=120°.
7.解析 ∵AB∥CD(已知),∴∠1=∠C.
∵∠1=70°,∠D=110°(已知),
∴∠1+∠D=180°(等式的性質(zhì)).
∴∠C+∠D=180°(等量代換).
∴AC∥BD.
∴∠B=∠1(兩直線平行,同位角相等).∴∠B=70°.
8.解析 ∵AB∥CD,∠EGC=58°,∴∠BEG=∠EGC=58°,
∵EG平分∠BEF,∴∠BEF=2∠BEG=116°,
∵AB∥CD,∴∠EFD=180°-∠BEF=180°-116°=64°.
9.證明 ∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,
∵AB平分∠NAC,CD平分∠ACG,
∴∠CAN=2∠BAC,∠ACG=2∠ACD,
∴∠CAN=∠ACG,∴MN∥GH.
10.解析 ∠BDE=∠C,理由如下:∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴∠ADC=∠FGC=90°,
∴AD∥FG,∴∠1=∠3,
又∵∠1=∠2,∴∠3=∠2,∴ED∥AC,∴∠BDE=∠C.
11.解析 (1)證明:∵OC⊥OD,∴∠COD=90°,
∴∠1+∠DOB=90°,∵∠D與∠1互余,
∴∠D+∠1=90°,∴∠D=∠DOB,∴ED∥AB.
(2)如圖,
∵ED∥AB,∠OFD=65°,∴∠AOF=∠OFD=65°,
∵OF平分∠AOD,∴∠AOD=2∠AOF=130°,
∵∠COD=90°,∠AOD=∠1+∠COD,∴∠1=40°.
12.解析 (1)證明:∵∠1+∠2=180°,∠2=∠4,∴∠1+∠4=180°,
∴AB∥EF,∴∠B=∠EFC,∵∠B=∠3,∴∠3=∠EFC,∴DE∥BC.
(2)∵DE∥BC,∠C=76°,∴∠AED=∠C=76°,
∵∠AED=2∠3,∴∠3=38°,∴∠CEF=180°-∠AED-∠3=180°-76°-38°=66°.
13.解析 平移后的圖形如圖所示.
能力提升全練
14.C 如圖,設AE與CD的交點為G.
∵AB∥CD,∴∠DGE=∠A=75°,
∵AE∥CF,∴∠C=∠DGE=75°,故選C.
15.B ∵AB∥CD,∠1=58°,
∴∠C=∠1=58°,
∵BC∥EF,
∴∠CGF=∠C=58°,
∴∠2=180°-∠CGF=180°-58°=122°,故選B.
16.D ∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFD=180°,∠FGB+∠GFD=180°,
∵∠FGB=155°,∴∠GFD=180°-∠FGB=180°-155°=25°,
∵FG平分∠EFD,
∴∠EFD=2∠GFD=2×25°=50°,
∴∠BEF=180°-∠EFD=180°-50°=130°,故選D.
17.A 如圖,過點A作直線CE的平行線AG,過點B作直線DF的平行線BH,
則∠3=∠1,∠4=∠2,
∵CE∥DF,∴AG∥BH,∴∠GAB+∠ABH=180°,
∴∠3+∠4=125°+85°-180°=30°,
∴∠1+∠2=30°.故選A.
18.答案 25°
解析 ∵AB∥CD,∴∠GFB=∠FED=45°.∵∠HFB=20°,∴∠GFH=∠GFB-∠HFB=45°-20°=25°.故答案為25°.
19.答案 40°或140°
解析 ①若∠1與∠2的位置如圖1所示,
∵AB∥DE,∴∠1=∠3,∵BC∥EF,∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2,又∵∠1=40°,∴∠2=40°;

②若∠1與∠2的位置如圖2所示,
∵AB∥DE,∴∠1=∠3,
∵DC∥EF,∴∠2+∠3=180°,∴∠2+∠1=180°,
又∵∠1=40°,
∴∠2=180°-∠1=180°-40°=140°.
綜上所述,∠2的度數(shù)為40°或140°.故答案為40°或140°.
20.解析 (1)BF⊥AC,理由如下:∵∠AGF=∠ABC,
∴FG∥BC,∴∠1=∠3,∵∠1=35°,∴∠3=35°,
∵∠2=145°,∴∠3+∠2=180°,∴BF∥DE,
∵DE⊥AC,∴BF⊥AC.
(2)∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠3=35°,
∵BF⊥AC,∴∠AFB=90°,∴∠A=180°-∠ABF-∠AFB=180°-35°-90°=55°.
21.證明 ∵AF平分∠BAD,∴∠1=∠2,
∵AB∥CD,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,
∵∠3=∠F,∴∠1=∠F,∴AD∥BC.
素養(yǎng)探究全練
22.C 如圖,過∠AED的頂點E作AB的平行線EF,因為AB∥CD,所以AB∥EF∥CD.由平行線的性質(zhì)得α+∠1=180°,∠2=γ,所以∠1=180°-α,因為β=∠1+∠2,所以β=180°-α+γ,即α+β-γ=180°.故選C.
23.解析 (1)過點P作PE∥AB,
∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,
∴∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°,
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,∴∠APE=50°,∠CPE=60°,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
(2)∠APC=∠α+∠β,理由如下:
過P作PE∥AB交AC于點E(圖略),
∵AB∥CD,
∴AB∥PE∥CD,∴∠α=∠APE,∠β=∠CPE,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β.
(3)如圖①所示,當P在線段BD的延長線上時,∠APC=∠α-∠β.
如圖②所示,當P在線段OB上時,∠APC=∠β-∠α.
圖①
圖②

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2 平行線的判定

版本： 華師大版

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