一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解出集合、，利用并集的定義可求得集合.
【詳解】因為，
，
因此，.
故選：B.
2．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)零點存在性定理即可求解.
【詳解】在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
，，，,
由于，所以零點所在的區(qū)間是
故選：C
3．若，且角的終邊經(jīng)過點，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，列出方程，求解即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，
根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，
所以，，且，
所以，.
故選：D．
4．若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)，展開后根據(jù)基本不等式求解即可.
【詳解】由題意，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.
故選：C
5．已知都是銳角，滿足，求的值（ ）
A．B．或C．D．
【答案】C
【分析】由已知條件求的值，結(jié)合都是銳角，可得的值
【詳解】都是銳角， ，則，
.
都是銳角，，所以.
故選：C
6．為了提高命題質(zhì)量，命題組指派5名教師對數(shù)學(xué)卷的選擇題，填空題和解答題這3種題進行改編，則每種題型至少至少指派1名教師的不同分派方法種數(shù)為（ ）
A．144B．120C．150D．180
【答案】C
【分析】將5名老師分為和的兩種情況，計算得到答案.
【詳解】5名老師分為的情況時：共有；
5名老師分為的情況時：共有，
故共有種不同的分派方法.
故選：C.
7．若，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先證明最大，再證明，即得解.
【詳解】解：由題得，
，，所以.
a＝0.20.2 ，b，
顯然，a的被開方數(shù)大于b的被開方數(shù)，∴a＞b，
故有c＞a＞b.
故選：C
8．已知函數(shù)，若互不相等的實數(shù)、、滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出函數(shù)的圖象，設(shè)，設(shè)，可得出直線與函數(shù)圖象的三個交點的橫坐標(biāo)分別為、、，利用對稱性得出的值，并結(jié)合圖象得出實數(shù)的取值范圍，從而可得出的取值范圍，由此得出的取值范圍.
【詳解】作出函數(shù)的圖象，設(shè)，設(shè)，
由圖象可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)圖象的三個交點的橫坐標(biāo)分別為、、，
二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，
由于，即，得，解得，
.
因此，的取值范圍是.
故選C.
【點睛】本題考查函數(shù)零點和的取值范圍，解題時要充分利用函數(shù)的對稱性來求解，也可以轉(zhuǎn)化為以參數(shù)為自變量的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.
二、多選題
9．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】通過舉反例和不等式的性質(zhì)即可判斷.
【詳解】對A，當(dāng)時,,故A錯誤：
對B，得，則，故B正確；
對C，，此時，故C錯誤；
對D，由,所以,
所以兩邊同除得，選項D正確；
故選：BD.
10．下列說法中，正確的命題有（ ）
A．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則
B．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則的值分別是和0.3
C．在做回歸分析時，殘差圖中殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越好
D．若樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，，的方差為16
【答案】BC
【分析】對于A，利用正態(tài)分布的對稱性計算判斷；對于B，對給定模型取對數(shù)比對即得；
對于C，利用殘差圖的意義即可判斷；對于D，利用新數(shù)據(jù)方差計算公式判斷作答.
【詳解】對于A，因，且，于是得
，A不正確；
對于B，由得，依題意得，，即，B正確；
對于C，在做回歸分析時，由殘差圖表達的意義知，C正確；
對于D，依題意，，，，的方差為，D不正確．
故選：BC．
11．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，下列結(jié)論正確的是（ ）

A．的周期為
B．的圖像關(guān)于點對稱
C．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度可以得到函數(shù)的圖像
D．方程在上有3個不相等的實數(shù)根
【答案】ACD
【分析】根據(jù)圖象，通過最值、最小正周期、代點，求得函數(shù)解析式，利用周期的定義、正弦函數(shù)的對稱性、圖象變換、三角函數(shù)運算，解得整體思想，可得答案.
【詳解】由圖象可知，，且，則，
，由，且，解得，
將代入，可得，
解得，由，則，
可得，
對于A，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；
對于B，令，，故B錯誤；
對于C，由題意，平移后的函數(shù)解析式為，故C正確；
對于D，由方程，，，
則或，
化簡可得或，
由，則或或，故D正確.
故選：ACD.
12．設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足，當(dāng)時，，則下列說法一定正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)
B．不是奇函數(shù)
C．函數(shù)有10個不同的零點
D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可推導(dǎo)得到關(guān)于直線和點對稱，且周期為；令，，由奇偶性定義可得的奇偶性，可判斷AB；作出和的圖象，根據(jù)圖象可得兩函數(shù)交點個數(shù)，進而確定函數(shù)零點個數(shù)，知C正確；根據(jù)周期性可求得，知D錯誤.
【詳解】，且關(guān)于直線對稱；
又，且關(guān)于中心對稱；
，則是周期為8的周期函數(shù)；
對于，令，則為偶函數(shù)，正確；
對于，令，
則
為奇函數(shù)，不正確；
對于，作出和的圖象如下圖所示，

當(dāng)時，，又，
由圖象可知：與共有10個不同的交點，
則有10個不同的零點，正確；
對于，
錯誤.
故選：AC
三、填空題
13．已知曲線在處的切線與直線垂直，則的值是
【答案】/ 或/ 或
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】設(shè)曲線在處的切線斜率為，
因為切線與直線垂直，所以，解得，
令，則，
所以，解得，
故答案為：
14． .
【答案】
【分析】根據(jù)正切和角公式得到，代入即可求解.
【詳解】因為，
所以
所以
故答案為：
15．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則 .
【答案】/1.5
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱以及奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由于函數(shù)的定義域滿足，故定義域為，
根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱可知，
所以，，
所以，
故，
故答案為：
16．已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】只需在上有兩個變號根即可，通過分離參數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢即可求解．
【詳解】由，得，．
要使有兩個極值點，
只需有兩個變號根，即有兩個變號根．
令，，則，
由得，易知當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減．
所以，
而，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
作出，的圖象，可知：

，解得．
故答案為：
四、解答題
17．計算下列各式的值．
(1)
(2)已知，求．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運算求解即可；
（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合正余弦與正切的關(guān)系求解即可.
【詳解】（1）
（2）
18．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化簡的解析式，利用整體代入法求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
（2）先求得當(dāng)時，的范圍，由此列不等式來求得的取值范圍.
【詳解】（1）
，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）對任意的，有，
∴，∴，
要使恒成立，∴，解得．
故所求實數(shù)m的取值范圍為．
19．為了研究晝夜溫差與引發(fā)感冒的關(guān)系，醫(yī)務(wù)人員對某高中在同一時間段相同溫差下的學(xué)生感冒情況進行抽樣調(diào)研，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表1所示，并將男生感冒的人數(shù)與溫差情況統(tǒng)計如表2所示．
表1
表2
(1)寫出m，n，p的值；
(2)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗判斷是否可以認為在相同的溫差下“性別”與“患感冒的情況”具有相關(guān)性；
(3)根據(jù)表2數(shù)據(jù)，計算y與x的相關(guān)系數(shù)r，并說明y與x的線性相關(guān)性強弱（若，則認為y與x線性相關(guān)性很強；若，則認為y與x線性相關(guān)性一般；若，則認為y與x線性相關(guān)性較弱）．
附表：
參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．
，，，．
【答案】(1)，，
(2)不能認為在相同的溫差下“性別”與“患感冒的情況”具有相關(guān)性
(3)很強
【分析】（1）根據(jù)表1計算可得結(jié)果；
（2）先零假設(shè)，再計算，結(jié)合臨界值表可得結(jié)論；
（3）根據(jù)公式計算可得結(jié)論.
【詳解】（1），，.
（2）零假設(shè)：在相同的溫差下“性別”與“患感冒的情況”不具有相關(guān)性，
，
因為，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，
因此可以認為成立，即不能認為在相同的溫差下“性別”與“患感冒的情況”具有相關(guān)性.
（3），，
，
所以，
所以y與x線性相關(guān)性很強.
20．某醫(yī)用口罩生產(chǎn)廠家生產(chǎn)醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩三種產(chǎn)品，為了解各種產(chǎn)品的比例，檢測員從流水線上隨機抽取100件產(chǎn)品進行檢驗，檢驗結(jié)果如下表所示：
(1)已知三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為40%，50%，60%.若從該廠生產(chǎn)的口罩中任選一個，用頻率估計概率，求選到綁帶式口罩的概率；
(2)從該流水線上隨機抽取3件產(chǎn)品，記其中醫(yī)用普通口罩的件數(shù)為X，用頻率估計概率，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)0.48
(2)分布列見解析，1.2
【分析】（1）先找到每一種口罩被選到的概率，再找到每一種口罩里面綁帶式口罩被選到的概率，利用全概率公式求解.
(2)由題，，，即可求解.
【詳解】（1）記事件分別表示選到醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩，
則，且兩兩互斥，
由題意：，
記事件為“選到綁帶式口罩”，則，
所以由全概率公式可得選到綁帶式口罩的概率為：
. .
（2）由題意知，， ，
，，
，，
故的分布列為：
.
21．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到角的余弦值，即可求出答案；
（2）利用正弦定理表示出，，利用三角函數(shù)求出最值.
【詳解】（1）在中，由正弦定理，且，
則，，
由，則，，
由，則，，
，，
，由銳角中，，則.
（2）由（1）可知，則，
在中，由正弦定理可得：，由，則，
解得，，，
由，且，則，
，
由銳角，，，則，解得，
由余弦函數(shù)的單調(diào)性，可得，解得.
22．已知函數(shù)（且）.
(1)若函數(shù)的最小值為2，求的值；
(2)在（1）的條件下，若關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)根，且，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題知，再根據(jù)和時的情況求解函數(shù)最小值即可得答案；
（2）方法一：根據(jù)題意得，進而令得，
再令，求函數(shù)最小值即可；
方法二：由題知方程有兩個不同的實數(shù)根， ，，
進而根據(jù)極值點偏移問題求解即可.
【詳解】（1）解：因為，，
所以，.
當(dāng)時，有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)不存在最小值；
所以不合題意，故.
當(dāng)時，令，得.
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
所以，解得.
所以，的值為.
（2）解：方法一：
由（1）知，，.
因為為方程的兩個不同的實數(shù)根，
所以①；②.
①－②得：，即，
所以，
令，有，
所以，從而得.
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，
即，又，
所以，恒成立，即，得證.
方法二：
由（1）知，，.
因為為方程的兩個不同的實數(shù)根，
所以，即方程有兩個不同的實數(shù)根.
令，，則，.
令，得.
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.
因為，
所以.
令，，
則.
所以在上單調(diào)遞減，所以，即.
所以，所以.
又在上單調(diào)遞增，所以.即，得證.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于由，結(jié)合得到，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得，進而證明結(jié)論；
性別
患感冒的情況
合計
患感冒人數(shù)
不患感冒人數(shù)
男生
30
70
100
女生
42
58
p
合計
m
n
200
溫差x
6
7
8
9
10
患感冒人數(shù)y
8
10
14
20
23
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
產(chǎn)品類型
醫(yī)用普通口罩
醫(yī)用外科口罩
醫(yī)用防護口罩
樣本數(shù)量（件）
40
40
20
0
1
2
3
0.216
0.432
0.288
0.064

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