2022-2023學(xué)年廣西玉林市博白縣第四中學(xué)（博白縣中學(xué)書(shū)香校區(qū)）上學(xué)期高二9月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)直接求解即可.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，則其關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為.故選：A.2．已知向量，則與同向共線的單位向量（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得的模，再根據(jù)與同向共線的單位向量求解.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?/span>，所以已知向量，所以與同向共線的單位向量，故選：C3．下列命題中，正確的是（    ）.A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)向量模長(zhǎng)的定義以及向量的定義即可逐一判斷.【詳解】對(duì)于A;比如,不相等，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B;向量的模長(zhǎng)可以有大小之分，但是向量不可以比較大小，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C;向量相等，則其模長(zhǎng)相等，方向相同，故C正確；對(duì)于D；若，，但不相等，故D錯(cuò)誤；故選：C4．已知空間向量兩兩夾角均為，其模均為1，則（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化為空間向量的數(shù)量積計(jì)算可求出結(jié)果.【詳解】.故選：B5．如圖，在四面體中，，，，且，，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由平面向量的線性運(yùn)算求解．【詳解】連接，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以．故選：C．6．直線l1：y＝ax＋b與直線l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象只可能是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的斜率和縱截距的正負(fù)進(jìn)行判斷．【詳解】對(duì)B，斜率為正，在軸上的截距也為正，故不可能有斜率為負(fù)的情況.故B錯(cuò).當(dāng)時(shí)， 和斜率均為正，且截距均為正.僅D選項(xiàng)滿足.故選：D7．若，，則等于（    ）A．5 B． C．7 D．【答案】B【分析】利用空間向量的四則運(yùn)算與數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】∵，，∴兩式相加得，∴，∴，∴，故選：B．8．若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在x軸上的截距的取值范圍是，則其斜率k的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】將截距范圍轉(zhuǎn)化為直線與線段有交點(diǎn)，利用斜率計(jì)算公式及其意義即可得出．【詳解】取直線與軸的交點(diǎn)，．，．直線與線段相交，或．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了直線在坐標(biāo)軸上截距的定義、斜率計(jì)算公式及其意義，考查了轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 二、多選題9．已知是空間的一個(gè)基底，若，則錯(cuò)誤的是（    ）A．是空間的一組基底 B．是空間的一組基底C．是空間的一組基底 D．與中的任何一個(gè)都不能構(gòu)成空間的一組基底【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量基底的概念逐項(xiàng)分析判斷即可求出結(jié)果.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，，所以共面，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以共面，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，假設(shè)，即，得，這與是空間的一個(gè)基底矛盾，故是空間的一組基底，正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD10．若直線的斜率，且過(guò)點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)直線的斜率公式一一驗(yàn)證各選項(xiàng)，可得答案.【詳解】直線的斜率，且過(guò)點(diǎn)，對(duì)于A,計(jì)算，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,計(jì)算，故B正確；對(duì)于C,計(jì)算，故C正確；對(duì)于D,計(jì)算，故D錯(cuò)誤；故選：BC11．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（    ）A．空間向量，若，則B．若空間四個(gè)點(diǎn)，，則三點(diǎn)共線C．已知向量，若，則為鈍角D．任意向量滿足【答案】AB【分析】由空間向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)可判斷ACD，由空間向量的基本定理與共線定理可判斷B【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?/span>，，則，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?/span>，則，即，又與有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，故B正確；對(duì)于C：，若為鈍角：則，且與不共線，由得，當(dāng)時(shí)，，即，由與不共線得，于是得當(dāng)且時(shí)，為鈍角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：是的共線向量，而是的共線向量，故D錯(cuò)誤，故選：AB12．定義空間兩個(gè)非零向量的一種運(yùn)算：，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有（    ）A． B．C．若，則 D．【答案】BD【分析】理解新定義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，若為負(fù)數(shù)，可知，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由定義知B正確，對(duì)于C，若，則，共線，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由定義知，故D正確．故選：BD 三、填空題13．若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，，則下列命題①若，則斜率；  ②若斜率，則；③若，則傾斜角；④若傾斜角，則；其中正確命題的個(gè)數(shù)是______．【答案】【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件、斜率與傾斜角的關(guān)系判斷即可；【詳解】解：因?yàn)?/span>與為兩條不重合的直線，且它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，.①由于斜率都存在，若，則，此命題正確；②因?yàn)閮芍本€的斜率相等即斜率，得到傾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命題正確；③因?yàn)?/span>，根據(jù)兩直線平行，得到，此命題正確；④因?yàn)閮芍本€的傾斜角，根據(jù)同位角相等，得到，此命題正確；所以正確的命題個(gè)數(shù)是4．故答案為：．14．已知空間向量，，則在方向上的投影向量為______.【答案】【分析】首先求得與同向的單位向量，根據(jù)投影向量定義知所求為.【詳解】，與同向的單位向量，在方向上的投影向量為.故答案為：.15．已知是空間兩個(gè)向量，若，則cos〈〉＝________．【答案】【分析】根據(jù)向量幾何法的模長(zhǎng)公式，可得向量數(shù)量積的值，根據(jù)向量夾角余弦值的公式，可得答案.【詳解】由，可知，則，，，則.故答案為：.16．若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】由目標(biāo)式表示在上點(diǎn)與所成直線的斜率范圍，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法及兩點(diǎn)斜率公式求范圍即可.【詳解】由題設(shè)，表示上對(duì)應(yīng)點(diǎn)與所成直線的斜率范圍，如圖，，則，，故的取值范圍是.故答案為： 四、解答題17．已知空間三點(diǎn)、、，設(shè)，．(1)若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值；(2)若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)或(2)或 【分析】（1）求出向量、的坐標(biāo)，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解之即可；（2）求出向量與的坐標(biāo)，設(shè)，可得出關(guān)于、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）解：由已知可得，，所以，，，由題意可知，即，解得或.（2）解：，，由題意，設(shè)，所以，，解得或.因此，.18．在中，已知，，，，分別為邊，的中點(diǎn)，于點(diǎn).(1)求直線的方程；(2)求直線的方程.【答案】(1)；(2). 【分析】(1)根據(jù)給定條件求出點(diǎn)D，E坐標(biāo)，再求出直線DE方程作答.(2)求出直線AH的斜率，再借助直線的點(diǎn)斜式方程求解作答.【詳解】（1）在中，，，，則邊中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，直線DE的斜率，于是得，即，所以直線的方程是：.（2）依題意，，則直線BC的斜率為，又，因此，直線的斜率為，所以直線的方程為：，即.19．在正四面體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn).設(shè)，，.(1)用，，表示，；(2)求證：，，，四點(diǎn)共面.【答案】(1),(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）由題意可得，，由向量的減法可得答案.（2）用向量分別表示出，從而可得，從而可證.【詳解】（1），分別是，的中點(diǎn)，則且所以，，分別是，的中點(diǎn)，則且（2），，，∴，從而，，，四點(diǎn)共面．20．如圖，已知邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC，E、F分別為BC和AC的中點(diǎn)，，且平面ABC，設(shè)Q是CE的中點(diǎn)．(1)求證：平面PFQ；(2)求直線AE與平面PFQ間的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明結(jié)合線面平行的判定推理作答.（2）由（1）中空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算直線與平面的距離作答.【詳解】（1）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，因平面，則以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因是邊長(zhǎng)為4的正三角形，則，線段BC中點(diǎn)，線段AC中點(diǎn)，線段CE中點(diǎn)，，而，即有，又無(wú)公共點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面.（2）由（1）知平面，則點(diǎn)A到平面的距離即為直線AE與平面PFQ間的距離，設(shè)平面的法向量，而，則，令，得，因此點(diǎn)A到平面的距離，所以直線AE與平面PFQ間的距離為．21．四棱錐中，底面，，，，，是的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)具體見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而通過(guò)空間向量證明線面垂直，結(jié)合面面垂直的判定定理證明問(wèn)題；（2）由空間向量夾角公式即可求得答案.【詳解】（1）如圖，由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則.，則，所以，而，所以平面，而平面，所以平面平面.（2），，設(shè)平面的法向量為，記直線與平面所成角為.由，令z=1，則，所以.即直線與平面所成角的正弦值.22．如圖所示的幾何體中，和均為以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的大??；（3）設(shè)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，使得平面平面，求線段的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)題意，得出，，根據(jù)線面垂直的判定定理得出平面，則，建立以為原點(diǎn)，，，為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明；（2）求出平面的法向量和平面的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角的大??；（3）設(shè)，，，求出，，，令，則，解得為的中點(diǎn)，利用向量法能求出線段的長(zhǎng)．【詳解】解：依題意得，和均為以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則，，所以面，又，可以建立以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，，，，，，，（1）證明：由題意，，，因?yàn)?/span>，所以.（2）解：，，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨令，可得，平面的一個(gè)法向量，因此有，由圖可得二面角為銳二面角，所以二面角的大小為.（3）解：（方法一）設(shè)，，所以，因此，令，即，解得，即為的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>平面，平面，，所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，此時(shí)即，，所以線段的長(zhǎng)為.（方法二）設(shè)，，所以，因此，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨令，可得，因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，解得：，此時(shí)即，，所以線段的長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法證明線線垂直，以及利用空間向量法求出二面角和線段長(zhǎng)，還涉及空間中線面的判定定理和性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題． 

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