一、單選題
1．已知復數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)復數(shù)乘法求的代數(shù)形式，再由模的公式求結(jié)論.
【詳解】因為，
所以，
故選：C.
2．已知命題p：?x∈R，x2＜x3，命題q：?x∈R，x2－5x＋4＝0，則下列命題中為真命題的是（ ）
A．p，qB．?p，qC．p，?qD．?p，?q
【答案】B
【分析】分別判斷命題與的真假性，逐個選項分析可得答案.
【詳解】對于命題：采用特殊值法，取，可知為假命題，為真命題；
對于命題：當時，成立，故為真命題，為假命題；
故選：B.
3．的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．7C．8D．12
【答案】B
【分析】根據(jù)題意 ，利用二項式的展開式的通項公式，以及組合數(shù)的計算公式，即可求解．
【詳解】由二項式的展開式，
可得展開式中的系數(shù)為.
故選：B.
4．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由條件結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求，再結(jié)合等差數(shù)列求和公式和性質(zhì)求.
【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，
所以，又，
所以，
所以，又，
所以.
故選：D.
5．已知角，滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)商數(shù)關系得到，再利用兩角和與差的余弦公式計算即可.
【詳解】，，
，，
，
故選：A.
6．已知一個圓柱的軸截面是正方形，一個圓錐與該圓柱的底面半徑及側(cè)面積均相等，則圓柱與圓錐的體積之比為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設圓柱的底面半徑為，圓錐的母線長為，依題意得到求得，繼而求出圓錐的高，最后求即得.
【詳解】設圓柱的底面半徑為，因為圓柱軸截面是正方形，所以圓柱的高為，
依題意圓錐的底面半徑為，設圓錐的母線長為，
因為圓錐與該圓柱的側(cè)面積相等，所以，解得，
則圓錐的高為，
圓柱的體積，圓錐的體積，
所以.
故選：B.
7．質(zhì)數(shù)（prime number）又稱素數(shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學上把相差為2的兩個素數(shù)叫做“孿生素數(shù)”．如3和5，5和7，…，那么，如果我們在不超過20的自然數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件“這兩個數(shù)都是素數(shù)”，事件“這兩個數(shù)不是孿生素數(shù)”，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依題意，列出不超過20的自然數(shù)中的素數(shù)有8個，其中“孿生素數(shù)”有4對，利用縮小樣本空間的方法易求出條件概率的值，再運用對立事件的概率公式即得.
【詳解】因在不超過20的自然數(shù)中，素數(shù)有：共8個，
其中“孿生素數(shù)”有3和5，5和7，11和13，17和19共4種情況，
則，故.
故選：A.
8．已知，，設函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【分析】由化簡得，就底數(shù)進行分類討論求解得到，最后利用常值代換法，由基本不等式即可求得.
【詳解】由可得，，即，也即，
因，①當時，可得，即得；
②當時，可得，即得，
綜上可得，，即，因
故由，
當且僅當時，取得最小值,等于4.
故選：B.
二、多選題
9．若函數(shù)則（ ）
A．的最小正周期為10B．的圖象關于點對稱
C．在上有最小值D．的圖象關于直線對稱
【答案】AD
【分析】由正弦型函數(shù)的周期公式可求A，通過代入求值的方法可判斷BD選項，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判斷C.
【詳解】，A正確.
因為，所以的圖象不關于點對稱，B錯誤.
因為，所以的圖象關于直線對稱，D正確.
若，則，由的圖象可知，
在上有最大值，沒有最小值，C錯誤.
故選：AD.
10．橢圓C：的焦點為，，上頂點為A，直線與橢圓C的另一個交點為B，若，則（ ）
A．橢圓C的焦距為2B．的周長為8
C．橢圓C的離心率為D．的面積為
【答案】ABD
【分析】由已知結(jié)合橢圓的定義及性質(zhì)先求出，，，即可根據(jù)焦距，焦點三角形的周長以及離心率求解ABC，根據(jù)余弦定理以及三角形面積公式可得D.
【詳解】由題意可知，，，
故為等邊三角形，則，，
又，
所以，，，
所以焦距，A正確；
離心率，C錯誤；
由橢圓定義可知，的周長，B正確．
設，則，又，由余弦定理可得，所以，D正確，
故選：ABD．
11．已知函數(shù)，則（ ）
A．存在實數(shù)使得
B．當時，有三個零點
C．點是曲線的對稱中心
D．若曲線有兩條過點的切線，則
【答案】AC
【分析】對A，求出的導函數(shù)，使其和相等，解方程看是否有實數(shù)根，即可求得；
對B，根據(jù)的導函數(shù)確定單調(diào)區(qū)間以及極值點，看與軸交點即可判斷；
對C，根據(jù)中心對稱公式即可判斷；
對D，設過的切線的切點為，由條件可得有兩個根，結(jié)合導數(shù)研究方程的根即可.
【詳解】對A，根據(jù)已知的導函數(shù)，令
則，令，
，當時，
根據(jù)函數(shù)零點存在定理存在實數(shù)使得，故A正確；
對B，根據(jù)題意知，令得到，
在和上，所以在和單調(diào)遞增，
在上，所以在單調(diào)遞減，
是的極大值，且的極大值大于極小值，
，
，
所以在定義域內(nèi)有且只有一個零點，故B錯誤；
對C，令，該函數(shù)定義域為R，
且，
所以為奇函數(shù)，是的對稱中心，
將向下移動兩個單位得到的圖像，
所以點是曲線的對稱中心，故C正確；
對D，過的切線的切點為，切線斜率為，
則切線方程為，
把點代入可得，化簡可得，
令，
則，令可得或，
在和上大于零，所以在和上單調(diào)遞增，
在上小于零，所以在單調(diào)遞減，
要使有兩個解，一個極值一定為，
若函數(shù)在極值點時的函數(shù)值為，可得，
所以
若函數(shù)在極值點時的函數(shù)值為，可得，
所以，故D不正確.
故選：AC
三、填空題
12．已知向量，，若，則正數(shù)的值為 .
【答案】1
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標形式可得的方程，故可得正數(shù)的值.
【詳解】由題意得，，，
，解得（舍去）或.
故答案為：.
13．寒假里名同學結(jié)伴乘動車外出旅游，實名制購票，每人一座，恰在同一排、、、、五個座位（一排共五個座位），上車后五人在這五個座位上隨意坐，共有 種不同的坐法，其中恰有一人坐對與自己車票相符座位的概率為 ．（用數(shù)字作答）
【答案】
【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義可得出上車后五人在這五個座位上隨意坐的坐法種數(shù)，然后假設坐對與自己車票相符的座位，列舉出其他同學沒有坐對與自己車票相符座位的基本事件，進而可計算出事件“恰有一人坐對與自己車票相符座位”的概率.
【詳解】由題意可知，上車后五人在這五個座位上隨意坐，坐法種數(shù)為種.
假設坐對自己的位置，其他四人沒有坐對與自己車票相符座位所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共種，
因此，恰有一人坐對與自己車票相符座位的概率為.
故答案為：；.
【點睛】本題考查排列數(shù)的應用，同時也考查了古典概型概率的計算，考查計算能力，屬于中等題.
14．已知點A是函數(shù)圖象上的動點，點B是函數(shù)圖象上的動點，過B點作x軸的垂線，垂足為M，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式可將問題轉(zhuǎn)化為到上一點的最小距離即可，根據(jù)點點距離公式，得，利用導數(shù)求解最小值即可.
【詳解】由于是焦點在軸上的拋物線，故設其焦點為，
則,所以,
故求到上一點的最小距離即可，
設，則，
記，則
由于函數(shù)在單調(diào)遞增，且，
故當時，因此在單調(diào)遞減，
當時，因此在單調(diào)遞增，
故，
因此，故，
故答案為：
四、解答題
15．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)證明：；
(2)若，，求a的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得，可得，或，分類討論即可證明；
（2）由，求解，利用，求解，結(jié)合正弦定理即可求解.
【詳解】（1）由及正弦定理可得，，
，
即，
所以，
整理得，
即，
又，是的內(nèi)角，
所以，，
所以或（舍去），
即．
（2）由及可知，．
由可知，，．
由可得，．
在中，由正弦定理
可得，，解得，
16．已知函數(shù)（k為常數(shù)）．
(1)當時，求在處的切線方程；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)k的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件及函數(shù)值的定義，利用導數(shù)的法則及導數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點斜式方程即可求解；
（2）將函數(shù)在區(qū)間上存在極值轉(zhuǎn)化為，使得，兩側(cè)的導數(shù)異號，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）當時，，，
所以，
所以，
所以在處的切線的斜率為，
所以在處的切線方程為，即．
（2）因為，，
所以，
因為函數(shù)在區(qū)間上存在極值，
所以，使得，兩側(cè)的導數(shù)異號，
所以，即，，
令，，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，對稱軸為，開口向上，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以實數(shù)的取值范圍為．
17．如圖，在四棱錐中，，M為BP的中點，平面．
(1)求證：；
(2)若，，．求平面與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點，連接，，先證，，，四點共面，再由線面平行的性質(zhì)定理可得，進而知四邊形為平行四邊形，從而有；
（2）取的中點，連接，，先證四邊形是平行四邊形，再證，，然后由線面垂直的判定定理證明平面，即可建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角即可．
【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，
因為為的中點，所以，，
又，所以，所以，，，四點共面，
因為平面，平面平面，平面，
所以，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
所以．
（2）取的中點，連接，，
由（1）知，所以，
因為，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，，
因為，所以，
所以，即，
因為，所以，
因為，，所以，
所以，即，
又，且，、平面，
所以平面．
又，
故以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則,0,，，，
所以，，，
設平面的法向量為，則，
令，則，所以，
易知平面的一個法向量為,,，
所以,
故平面和平面的所成角的正弦值為．
18．已知雙曲線：過點，且右焦點為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，交軸于點，若，，求證：為定值.
(3)在（2）的條件下，若點是點關于原點的對稱點，求證：三角形的面積.
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用雙曲線定義求出2a即可求解作答.
（2）設出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用向量共線并結(jié)合韋達定理求解作答.
（3）由（2）求出點Q的坐標，再求出面積的關系式，借助函數(shù)單調(diào)性推理作答.
【詳解】（1）依題意，雙曲線的左焦點為，
由雙曲線定義知，的實軸長，
因此，，
所以雙曲線的方程為.
（2）由（1）知，雙曲線的漸近線方程為，
依題意，直線的斜率存在，且，設直線的方程為：，，，
由消去x并整理得：，設，
則，而點，則，
因為，則有，即，同理，
所以，為定值.
（3）由（2）知，點，則，，
面積，
因為，令，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，
因此，所以.
【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點的橫(縱)坐標為變量，建立函數(shù)關系求解作答.
19．一只螞蟻從正方形的頂點出發(fā)，每一次行動順時針或逆時針經(jīng)過一條邊到達另一頂點，其中順時針的概率為，逆時針的概率為，設螞蟻經(jīng)過步回到點的概率為.
（1）求，；
（2）設經(jīng)過步到達點的概率為，求的值；
（3）求.
【答案】（1），，（2）當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，（3）當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，
【分析】（1）即經(jīng)過一步從點到達點的概率，即經(jīng)過兩步從點到在點的概率，即可求出，的值；
（2）當為偶數(shù)時，由頂點出發(fā)只能到點或點，可得，當為奇數(shù)時，由頂點出發(fā)只能到點或點，可得；
（3）當為偶數(shù)時，得到，進而得到，再構(gòu)造等比數(shù)列即可求解
【詳解】解：（1）因為即經(jīng)過一步從點到達點的概率，所以，
因為即經(jīng)過兩步從點到在點的概率，包括先順時針再逆時針和先逆時針再順時針，
所以，
（2）當為偶數(shù)時，由頂點出發(fā)只能到點或點，到達的概率為，到達點的概率為，
所以，
當為奇數(shù)時，由頂點出發(fā)只能到點或點，，所以，
綜上，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，
（3）當為奇數(shù)時，，
當為偶數(shù)時，從點或點出發(fā)經(jīng)過兩步到點有概率分別為
，，
從點出發(fā)經(jīng)過步到點分為兩步，
①從點出發(fā)經(jīng)過步到達點，再經(jīng)過兩步到點，概率為，
②從點出發(fā)經(jīng)過步到達點，再經(jīng)過兩步到點，概率為，
所以，
因為，
所以，
所以，
因為，
所以，
所以，
綜上，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，
【點睛】關鍵點點睛：此題考查概率的求法，考查數(shù)列遞推式的應用，解題的關鍵是當為偶數(shù)時，分兩種情況求出概率，即從點或點出發(fā)經(jīng)過兩步到點有概率，從而可得到遞推式，結(jié)合可得，構(gòu)造等比數(shù)列可得通項公式，考查計算能力，屬于難題

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