注意事項(xiàng)：
①試卷共4頁(yè)．考試時(shí)間120分鐘，滿分150分；
②正式開考前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、學(xué)號(hào)用黑色水性筆填寫清楚并張貼條形碼；
③請(qǐng)將所有答案填涂或填寫在答題卡相應(yīng)位置，直接在試卷上做答不得分．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知，則（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)乘法即可得到答案.
【詳解】由題意得.
故選：C.
2. 在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方向量分別為，則（ ）
A. B. C. 與異面D. 與相交
【答案】A
【解析】
【分析】應(yīng)用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量垂直表示即可確定直線的位置關(guān)系.
【詳解】由，故，
所以.
故選：A
3. 設(shè)集合，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用集合元素的互異性及集合的包含關(guān)系列式計(jì)算即得.
【詳解】由，得，即，此時(shí)，
由，得，而，所以.
故選：A
4. 某高校為宣揚(yáng)中華文化，舉辦了“論語(yǔ)吟唱”的比賽，在比賽中，由A，B兩個(gè)評(píng)委小組（各9人）給參賽選手打分．根據(jù)兩個(gè)評(píng)委小組對(duì)同一名選手的打分繪制成如圖所示折線圖，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A. B組打分的極差小于A組打分的極差B. B組打分的中位數(shù)為75
C. A組的意見相對(duì)一致D. A組打分的眾數(shù)為50
【答案】C
【解析】
【分析】對(duì)于A：根據(jù)折線圖結(jié)合極差的定義分析判斷；對(duì)于B：將數(shù)據(jù)按升序排列，結(jié)合中位數(shù)分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)方差的性質(zhì)分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合眾數(shù)的定義分析判斷.
【詳解】對(duì)于A：觀察折線圖可知，小組B的極差大于小組A的極差，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：小組B打分分值按照從小到大排列為：36，55，58，62，66，68，68，70，75，
所以中間數(shù)為66，故中位數(shù)為66，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：小組A的打分成績(jī)比較均勻，波動(dòng)更小，故A小組意見相對(duì)一致，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：小組A打分的分值為：42，47，45，46，50，47，55，50，47，
所以小組A打分的分值的眾數(shù)為47，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：C．
5. 函數(shù)y=xcsx+sinx在區(qū)間[–π，π]的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先確定函數(shù)的奇偶性，然后結(jié)合函數(shù)在處的函數(shù)值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖象.
【詳解】因?yàn)?，則，
即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，
據(jù)此可知選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；
且時(shí)，，據(jù)此可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤.
故選：A.
【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)．
6. 設(shè)為單位向量，且，則向量夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積定義，數(shù)量積的運(yùn)算律及向量模的計(jì)算方法即可求解.
【詳解】由可得：，即.
因?yàn)闉閱挝幌蛄?br>所以.
所以，解得：.
故選：A
7 已知角滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)平方式，結(jié)合一元二次方程的解法，求得，根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及余弦二倍角公式，可得答案.
【詳解】由，，，，解得，
，
故選：B.
8. 如圖，三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為（左為，右為）兩部分，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分別是的中點(diǎn)，可得（是三角形的面積，是三角形的面積），由棱臺(tái)的體積公式可求得，再根據(jù)，求得，即可得答案.
【詳解】解：設(shè)三角形的面積為，三角形與三角形的面積為，三棱柱的高為，
則有，，設(shè)三棱柱的體積為，
又因?yàn)棰?，②?br>所以③，
由題意可知④，
由①②③④可得，
所以，
所以.
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 對(duì)于函數(shù)，下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A. 在上單調(diào)遞減
B. 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C. 的最小正周期為
D. 的最大值為2
【答案】AB
【解析】
【分析】A.令，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷；B.利用奇函數(shù)的定義判斷；C.利用正弦函數(shù)的周期性判斷；D；利用正弦函數(shù)的最值判斷；
【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，
所以在單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A正確；
B.因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，
所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．故選項(xiàng)B正確；
C. 代入周期公式得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
D. ，的最大值為1，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AB．
10. 已知，且，則下列正確的有（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最大值是9D. 的最小值是
【答案】AB
【解析】
【分析】由基本不等式逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，B正確．
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，C錯(cuò)誤；
由得，所以，D錯(cuò)；
故選：AB．
11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（ ）
A. B. 是奇函數(shù)
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】采用賦值法，利用已知條件，分析函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)即可判斷.
【詳解】對(duì)A,令，則，
化簡(jiǎn)可得，又因，
所以，故A正確；
對(duì)B,令，則，又因
化簡(jiǎn)可得f?x=fx，所以是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C,令，則，因，
所以，故C正確；
對(duì)D,令，則，因，
所以，令，則①，
再令，②，由①②知，故D正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在如圖所示的長(zhǎng)方體中，已知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，即可得點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】在長(zhǎng)方體中，已知，，
所以，，，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：
13. 已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
【答案】或
【解析】
【分析】將復(fù)合函數(shù)看做，，然后分和兩種情況討論內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性列不等式求解即可.
【詳解】復(fù)合函數(shù)可以看做，，
當(dāng)時(shí)，外函數(shù)單調(diào)遞增，所以內(nèi)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得；
當(dāng)時(shí)，外函數(shù)單調(diào)遞減，所以內(nèi)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得；
綜上所述，或.
故答案為：或.
14. 平面立角坐標(biāo)系中，是單位向量，向量滿足，且對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方的方法化簡(jiǎn)已知不等式，然后根據(jù)一元二次不等式恒成立的知識(shí)求得正確答案.
【詳解】由，
所以，對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，
所以，即，
即，所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)綜合性的題目，一個(gè)是數(shù)量積的運(yùn)算，包括模的處理方法，一個(gè)是一元二次不等式恒成立問(wèn)題，包括一元二次不等式的解法，還需要對(duì)主參變量進(jìn)行確定.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若為上一點(diǎn)，且，求的面積．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理求出，再由正弦定理求出.
（2）根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式，結(jié)合面積關(guān)系計(jì)算即得.
【小問(wèn)1詳解】
在中，由余弦定理，得，
即，而，解得，由正弦定理得，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
依題意，由三角形面積公式得，
所以．
16. 從某學(xué)校800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155，160），第二組[160，165），…，第八組[190，195]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．
（1）求第七組的頻率；
（2）估計(jì)該校的800名男生身高的80%分位數(shù)；（保留小數(shù)點(diǎn)后一位有效數(shù)字）
（3）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求樣本空間及事件E的概率．
【答案】（1）0.06
（2）179.7 （3）答案見解析
【解析】
【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)求第七組的頻率；
（2）設(shè)80%分位數(shù)為x，根據(jù)百分位數(shù)的概念即可求解；
（3）確定樣本空間，利用古典概型概率公式求概率.
【小問(wèn)1詳解】
第六組的頻率為，
故第七組的頻率為
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)80%分位數(shù)為x，則，解得，
即該校的800名男生身高的80%分位數(shù)的估計(jì)值為179.7．
【小問(wèn)3詳解】
第六組的人數(shù)為，設(shè)為，
第八組的人數(shù)為，設(shè)為，
則從中隨機(jī)抽取兩名男生的樣本空間為，共有15種情況，
因事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，所以事件包含的基本事件為，共7種情況.
所以.
17. 如圖，四棱錐中，，，，側(cè)面底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PCD；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，通過(guò)證明四邊形為平行四邊形，得出，再證明和得出平面，即可證明；
（2）取中點(diǎn)，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，可得為二面角的平面角，設(shè)即可求出.
【小問(wèn)1詳解】
取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以且，
又且，所以且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，為中點(diǎn)，所以，
又，平面，所以平面，
所以平面；
【小問(wèn)2詳解】
取中點(diǎn)，在平面內(nèi)過(guò)作交延長(zhǎng)線于，連接，
因?yàn)椋裕?br>又平面平面，交線為，平面，所以平面，
因平面，所以，
因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>所以為二面角的平面角，
設(shè)，則，，
所以二面角的余弦值為.
18. 已知函數(shù)是偶函數(shù).
（1）求的值；
（2）若方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)使得的最小值為0？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，-1
【解析】
【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，可求得答案；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，寫出函數(shù)的解析式，利用基本不等式求出其值域，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）整理化簡(jiǎn)，采用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題求解,討論二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系，可求得最值,判斷是否存在問(wèn)題.
【小問(wèn)1詳解】
函數(shù)是偶函數(shù)，
，即,
即，
.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知： ，
方程有解，即有解，
即有解，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故，
實(shí)數(shù)a的取值范圍是
【小問(wèn)3詳解】
假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)m，
由題意，可得
令，則，
令，
函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)，即時(shí)，
，解得；
當(dāng)，即時(shí)
，解得（舍去）；
當(dāng)，即時(shí)，
，解得（舍去）.
綜上，存在實(shí)數(shù)m使得的最小值為0，此時(shí)實(shí)數(shù)m的值為-1.
19. 英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，，（解答本題時(shí)，這些不等式根據(jù)需要可以直接使用）．
（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）設(shè)，若區(qū)間滿足：當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱區(qū)間為的“和諧區(qū)間”．試問(wèn)是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，“和諧區(qū)間”為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題目中給的公式即可證明.
（2）通過(guò)對(duì)的取值進(jìn)行分情況討論，結(jié)合的單調(diào)性以及（1）的結(jié)論，即可求得唯一的和諧區(qū)間.
【小問(wèn)1詳解】
由題意，得，所以sinxx>1?x26>1?π226=1?π224>12，
所以當(dāng)時(shí)，．
【小問(wèn)2詳解】
對(duì)于函數(shù)，有，
①若，則由，知，矛盾，故不存在“和諧區(qū)間”；
②同理時(shí)，也不存在，
下面討論，
③若，則，故最小值為，于是，
所以，
所以最大值為2，故，
此時(shí)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，符合題意．
④若，當(dāng)時(shí)，同理可得，舍去，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以，于是，
若，即，則sinb>sin?a，
故sinb+sina>0,?sina+sinb

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