2023-2024學(xué)年度初三暑假講義第7講：相似三角形的性質(zhì)及判定(講義+課后測(cè)+課后鞏固+答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

夯實(shí)基礎(chǔ)
題型1：比例性質(zhì)
例題1．（1）（2017?金華）若，則．
【解答】解：根據(jù)等式的性質(zhì)：兩邊都加1，，
則，
故答案為：．
（2）（2021?大慶）已知，則．
【解答】解：，
設(shè)，則，，
．
故答案為：．
（3）（2018?成都）已知，且，則的值為．
【解答】解：，
設(shè)，，，
，
，
解得：，
故．
故答案為：12．
題型2：比例線段與黃金分割
例題2．（1）（2016?常州）在比例尺為的地圖上，某條道路的長(zhǎng)為，則該道路的實(shí)際長(zhǎng)度是．
【解答】解：設(shè)這條道路的實(shí)際長(zhǎng)度為，則：
，
解得．
這條道路的實(shí)際長(zhǎng)度為．
故答案為：2.8
（2）（2011?雅安）已知線段，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，則的長(zhǎng)為
A．B．C．D．
【解答】解：點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，
，
而，
．
故選：．
（3）（2021?百色）如圖，中，，，的平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)．若，則．
【解答】解：，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
點(diǎn)是邊上的黃金分割點(diǎn)，，
，
，
故答案為：．
題型3：平行線分線段成比例定理及其推論
例題3．（1）如圖，直線，分別交直線、于點(diǎn)、、、、、，下列結(jié)論不正確的是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，，，，
選項(xiàng)、、正確，
故選：．
（2）（2021?阿壩州）如圖，直線，直線，與，，分別交于點(diǎn)，，和點(diǎn)，，．若，，則的長(zhǎng)是
A．4B．6C．7D．12
【解答】解：，
．
，，
．
故選：．
（3）（2014?包頭）如圖，在中，點(diǎn)，，分別在邊，，上，且，．若，則的值為
A．B．C．D．
【解答】解：，，，
，，
，
故選：．
能力提升
例題4．（1）（2020?哈爾濱）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，連接，點(diǎn)在邊上，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則下列式子一定正確的是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，
，
，
故選：．
（2）（2016?錦州）如圖，在中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，則．
【解答】解：，
，
，
，即，
，
，
，
，即，
解得：，
則，
故答案為：
模塊二相似的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)
知識(shí)導(dǎo)航
夯實(shí)基礎(chǔ)
題型4：相似圖形
例題5．（1）下列各選項(xiàng)：①兩個(gè)邊長(zhǎng)不等的等邊三角形；②兩個(gè)邊長(zhǎng)不等的正方形；③兩個(gè)邊長(zhǎng)不等的菱形；④兩個(gè)斜邊不等的等腰直角三角形，其中的兩個(gè)圖形一定相似的有
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【解答】解：①兩個(gè)邊長(zhǎng)不等的等邊三角形一定相似，符合題意；
②兩個(gè)邊長(zhǎng)不等的正方形一定相似，符合題意；
③兩個(gè)邊長(zhǎng)不等的菱形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；
④兩個(gè)斜邊不等的等腰直角三角形一定相似，符合題意．
故選：．
（5）如圖，在矩形、銳角三角形、正方形、直角三角形的外邊加一個(gè)寬度一樣的外框，保證外框的邊與原圖形的對(duì)應(yīng)邊平行，則外框與原圖不一定相似的是
A．矩形B．銳角三角形C．正方形D．直角三角形
【解答】解：、兩矩形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比值不一定相等，不一定相似，符合題意；
、兩銳角三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比值相等，兩圖形相似，不符合題意；
、兩正方形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比值相等，兩圖形相似，不符合題意；
、兩直角三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比值相等，兩圖形相似，不符合題意；
故選：．
題型5：相似三角形的性質(zhì)
例題6．（1）（2022?蘭州）已知，，若，則
A．4B．6C．8D．16
【解答】解：，
，
，，
，
，
故選：．
（2）（2016?寧德）如圖，已知，若，則．
【解答】解：由，若，得
，
故答案為：37．
（3）（2022?連云港）的三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，另有一個(gè)與它相似的三角形，其最長(zhǎng)邊為12，則的周長(zhǎng)是
A．54B．36C．27D．21
【解答】解：方法一：設(shè)2對(duì)應(yīng)的邊是，3對(duì)應(yīng)的邊是，
，
，
，，
的周長(zhǎng)是27；
方式二：，
，
，
；
故選：．
（4）（2021?鎮(zhèn)江）如圖，點(diǎn)，分別在的邊，上，，，分別是，的中點(diǎn)，若，則．
【解答】解：，分別是，的中點(diǎn)，
、分別為、的中線，
，
，
，
故答案為：．
（5）（2010?煙臺(tái)）如圖，中，點(diǎn)在線段上，且，則下列結(jié)論一定正確的是
A．B．C．D．
【解答】解：，
；
，；
故選：．
（6）（2022?賀州）如圖，在中，，，，則的值是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，，
的值為，
故選：．
模塊三相似三角形的判定
知識(shí)導(dǎo)航
夯實(shí)基礎(chǔ)
題型6：相似三角形的判定
例題7．（1）（2015?荊州）如圖，點(diǎn)在的邊上，要判斷，添加一個(gè)條件，不正確的是
A．B．C．D．
【解答】解：、當(dāng)時(shí)，又，，故此選項(xiàng)不符合題意；
、當(dāng)時(shí)，又，，故此選項(xiàng)不符合題意；
、當(dāng)時(shí)，又，，故此選項(xiàng)不符合題意；
、無(wú)法得到，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：．
（2）（2019?雅安）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△相似的是
A．B．
C．D．
【解答】解：因?yàn)椤髦杏幸粋€(gè)角是，選項(xiàng)中，有角的三角形只有，且滿足兩邊成比例夾角相等，
故選：．
（3）（2019?玉林）如圖，，，與交于點(diǎn)，則相似三角形共有
A．3對(duì)B．5對(duì)C．6對(duì)D．8對(duì)
【解答】解：圖中三角形有：，，，，
，
共有6個(gè)組合分別為：，，，，，
故選：．
（4）（2017?隨州）在中，，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，當(dāng) 時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，
，
，
此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，
，
，
此時(shí)；
故答案為：或．
能力提升
題型7：相似三角形的判定和性質(zhì)
例題8．（1）（2020?臨沂）如圖，在中，、為邊的三等分點(diǎn)，，為與的交點(diǎn)．若，則．
【解答】解：、為邊的三等分點(diǎn)，，
，，，
，是的中位線，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故答案為：1．
（2）（2020?遂寧）如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則的值為
A．B．C．D．
【解答】解：由，可以假設(shè)，則，，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，，
平分，
，
，
，，
，
，
，
，
故選：．
（3）（2021?貴港）如圖，在正方形中，，是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則
A．B．C．1D．
【解答】解：設(shè)，
四邊形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故選：．
（4）（2021?營(yíng)口）如圖，是的中位線，為中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則．
【解答】解：方法一：是的中位線，
、分別為、的中點(diǎn)，
如圖過(guò)作交于點(diǎn)，
，
，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，，，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，
，
，
，
為的中位線，
，
，
，
，
是的中位線，
，
方法二：連接，
是的中位線，
，，
是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：24．
例題9．（2017?杭州）如圖，在銳角三角形中，點(diǎn)，分別在邊，上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，．
（1）求證：；
（2）若，，求的值．
【解答】（1）證明：，，
，
，
，
，
，
（2）解：由（1）可知：，
，
由（1）可知：，
，
，
，
．
秋季你將遇見
例題9．（1）（2018?梧州）如圖，，，則與的比值是
A．B．C．D．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)作交于，如圖，
，
，
而，
，則，
，
，
，
，則，
．
故選：．
（2）（2019?涼山州）如圖，在中，在邊上，，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，則
A．B．C．D．
【解答】解：如圖，過(guò)作，交于，
法一：是的中點(diǎn)，
是的中點(diǎn)．
又，
，
，，
設(shè)，，又，
，，
，
，，
，，
法二：過(guò)點(diǎn)作交于．
為中點(diǎn)，
，
，，
又，
，
．
故選：．
第7講：相似三角形的性質(zhì)及判定課后鞏固
實(shí)戰(zhàn)演練
1．（2018?寧夏）已知：，則的值是．
【解答】解：由，得．
，
故答案為：．
2．（2021?攀枝花）若、、均不為，則．
【解答】解：設(shè)，
則，，，
所以，．
故答案為：3．
3．（2020?成都）如圖，直線，直線和被，，所截，，，，則的長(zhǎng)為
A．2B．3C．4D．
【解答】解：直線，
，
，，，
，
，
故選：．
4．如圖，在的邊上任取兩點(diǎn)，，過(guò)作的平行線交于，過(guò)作的平行線交于．若，則的值為
A．B．C．2D．3
【解答】解：，，
，
，
，
故選：．
5．（2016?山西）寬與長(zhǎng)的比是（約的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形，分別取、的中點(diǎn)、，連接：以點(diǎn)為圓心，以為半徑畫弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則圖中下列矩形是黃金矩形的是
A．矩形B．矩形C．矩形D．矩形
【解答】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則，
在直角三角形中，
矩形為黃金矩形
故選：．
6．（2022?甘肅）若，，，則
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，，
，
故選：．
7．（2019?沈陽(yáng)）已知△，和是它們的對(duì)應(yīng)中線，若，，則與△的周長(zhǎng)比是
A．B．C．D．
【解答】解：△，和是它們的對(duì)應(yīng)中線，，，
與△的周長(zhǎng)比．
故選：．
8．（2019?撫順）如果把兩條直角邊長(zhǎng)分別為5，10的直角三角形按相似比進(jìn)行縮小，得到的直角三角形的面積是．
【解答】解：設(shè)縮小后的直角三角形的兩條直角邊分別為、，
根據(jù)題意得，
解得，，
所以．
縮小后的直角三角形的面積為9．
故答案為：9．
9．（2021?湘潭）如圖，在中，點(diǎn)，分別為邊，上的點(diǎn)，試添加一個(gè)條件：，使得與相似．（任意寫出一個(gè)滿足條件的即可）
【解答】解：添加，
又，
，
故答案為：（答案不唯一）．
10．（2021?南充）如圖，在中，為上一點(diǎn)，，則的值為．
【解答】解：，
，
，
，
,
,
故答案為：．
11．（2022?攀枝花）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度是
A．B．1C．D．
【解答】解：四邊形是矩形，，，
，，，
點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，
，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
解得：，
故選：．
12．（2020?牡丹江）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，，垂足為．若，則線段的長(zhǎng)為
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：四邊形為矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故選：．
13．（2021?連云港）如圖，是的中線，點(diǎn)在上，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，則．
【解答】解：如圖，是的中線，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
過(guò)點(diǎn)作交于，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案為：．
14．（2020?海南）如圖，在中，，，的平分線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為
A．16B．17C．24D．25
【解答】解：在中，，，的平分線交于點(diǎn)，
，，
，
，
，
同理，
；
在中，，，，
在中，，
，
的周長(zhǎng)等于，
四邊形是平行四邊形，
，
，相似比為，
的周長(zhǎng)為16．
故選：．
15．（2017?眉山）如圖，點(diǎn)是正方形的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，過(guò)頂點(diǎn)作，垂足為，分別交于，交于．
（1）求證：；
（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的值．
【解答】解：（1），
，
，，
，
在與中，
，
，
（2）設(shè)，
為的中點(diǎn)，
，
由（1）可知：，
，
由勾股定理可知：，
，
，
，
，
，
，，
思維拓展訓(xùn)練
1．（2020?山西模擬）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
梅涅勞斯是公元一世紀(jì)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，三角形各邊（或其延長(zhǎng)線）被一條不過(guò)任何一個(gè)頂點(diǎn)也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會(huì)與一條邊的延長(zhǎng)線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長(zhǎng)線都相交）．他進(jìn)行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡(jiǎn)稱梅氏定理）
設(shè)，，依次是的三邊，，或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且這三點(diǎn)共線，則滿足．
這個(gè)定理的證明步驟如下：
情況①：如圖1，直線交的邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，交邊的延長(zhǎng)線與點(diǎn)．
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，（依據(jù)）
，即．
情況②：如圖2，直線分別交的邊，，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，．
（1）情況①中的依據(jù)指：
（2）請(qǐng)你根據(jù)情況①的證明思路完成情況②的證明．
（3）如圖3，，分別是的邊，上的點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，那么．
【解答】解：（1）情況①中的依據(jù)是：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
故答案為兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
（2）如圖2中，作交于．則有，，，
，
，
．
（3）如圖3中，，，
．
故答案為．
比例的性質(zhì)
示例剖析
（1）基本性質(zhì)：
（2）反比性質(zhì)：
（3）更比性質(zhì)：、
或
※（4）合比性質(zhì)：
※（5）分比性質(zhì)：
※（6）合分比性質(zhì)：
※（7）等比性質(zhì)：
（其中為正整數(shù)，且）
①
② ，當(dāng)時(shí)
成比例線段及相關(guān)概念
1．兩條線段的比：選用同一長(zhǎng)度單位量得的兩條線段的長(zhǎng)度的比，叫做這兩條線段的比．
2．成比例線段：如果線段和的比等于線段和的比，那么線段，，，叫做成比例線段，記作或．
3．比例中項(xiàng)：若，則稱是，的比例中項(xiàng)．
4．黃金分割點(diǎn)：
如圖，點(diǎn)把線段分成兩條線段和（），若，則稱線段被點(diǎn)黃金分割，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，與的比叫做黃金比，即．

注意：線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．
平行線分線段成比例定理及推論
定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
如圖1所示，如果，則，，．
推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
如圖2所示，若，則有，，．
如圖3所示，若，則有，，．

定義
示例剖析
相似圖形：形狀相同的圖形叫做相似圖形．
兩個(gè)正方形是相似圖形
相似多邊形：我們把形狀相同，大小不同的多邊形，叫做相似多邊形．
放大后的圖形和放大前的圖形是相似多
邊形．
相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）．
相似三角形的性質(zhì)：
（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例
相似三角形對(duì)應(yīng)的高線、中線、角平分線的比等于相似比；（需要證明）
（2）相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比；
（3）相似三角形的面積比等于相似比的平方．
如圖：
、、分別是的中線，角平分線，高；
、、分別是的中線，角平分線，高．
①相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例
即，，，
（為相似比）；
②相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方．
即，；
③相似三角形對(duì)應(yīng)的高線、中線、角平分線的
比等于相似比；
即．
相似三角形的判定
示例剖析
有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似
兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似
三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似

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