2023-2024學(xué)年度初三暑假講義第8講：相似三角形模型（一）(講義+課后測+課后鞏固+答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識導(dǎo)航
典例精講
題型1：位似
例題1．（1）（2022?重慶）如圖，與位似，點是它們的位似中心，且相似比為，則與的周長之比是
A．B．C．D．
（2）（2022?成都）如圖，和是以點為位似中心的位似圖形．若，則與的周長比是．
（3）（2022?梧州）如圖，以點為位似中心，作四邊形的位似圖形，已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是
A．4B．6C．16D．18
（4）2018?菏澤）如圖，與是以點為位似中心的位似圖形，相似比為，，，若點的坐標(biāo)是，則點的坐標(biāo)是．
（5）（2022?威海）由12個有公共頂點的直角三角形拼成如圖所示的圖形，．若，則圖中與位似的三角形的面積為
A．B．C．D．
模塊二相似三角形的兩種基本模型
知識導(dǎo)航
典例精講
題型2：“A”字模型和“8”模型
例題2．（1）（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為的邊上一點，，過作交于點，、兩點縱坐標(biāo)分別為1、3，則點的縱坐標(biāo)為
A．4B．5C．6D．7
（2）（2022?鞍山）如圖，，，相交于點，若，，則的長為．
例題3．（1）（2016?綿陽）如圖，點，點分別在菱形的邊，上，且，交于點，延長交的延長線于，若，則的值為
A．B．C．D．
（2）（2023?廣西八大校二模）如圖，在等邊中，，為的中點，連接，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接交于點，則的長為．
題型3：“A”字模型和“8”模型的綜合應(yīng)用
例題4．如圖，，是的中點，、相交于點，、相交于點．
（1）當(dāng)時，求證：；
（2）求證：．
例題5．如圖，，、交于點，交于．求證：
（1）；
（2）．
模塊三三角形內(nèi)接矩形模型
知識導(dǎo)航
典例精講
題型4：矩形一邊與三角形一邊重合
例題6．（1）（2020?廣西）如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點，分別在，上，交于點，則的長為
A．15B．20C．25D．30
（2）（2018?貴陽）如圖，在中，，邊上的高為4，在的內(nèi)部作一個矩形，使在邊上，另外兩個頂點分別在、邊上，則對角線長的最小值為．
（3）（2012?盤錦）如圖，在中，放置邊長分別為4、6、的三個正方形，則的值為
A．24B．12C．10D．8
題型5：矩形兩邊與直角三角形兩邊重合
例題7．（1）（2015?佛山）如圖，在中，，，．四邊形是的內(nèi)接正方形（點、、在三角形的邊上）．則此正方形的面積是．
（2）（2019?黔東南州）如圖，在一斜邊長的直角三角形木板（即中截取一個正方形，點在邊上，點在斜邊上，點在邊上，若，則這塊木板截取正方形后，剩余部分的面積為
A．B．C．D．
例題8．如圖，在內(nèi)作邊長依次為、、的三個正方形，設(shè)，．
（1）用、分別表示、、；
（2）探討、、之間的關(guān)系．
題型6：三角形內(nèi)接矩形模型綜合計算
例題9．（2015?武漢）已知銳角中，邊長為12，高長為8．
（1）如圖，矩形的邊在邊上，其余兩個頂點、分別在、邊上，交于點．
①求的值；
②設(shè)，矩形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值；
（2）若，正方形的兩個頂點在一邊上，另兩個頂點分別在的另兩邊上，直接寫出正方形的邊長．
例題10．（2021?寧夏）閱讀理解：
如圖1，是的高，點、分別在和邊上，且，可以得到以下結(jié)論：．
拓展應(yīng)用：
（1）如圖2，在中，，邊上的高為4，在內(nèi)放一個正方形，使其一邊在上，點、分別在、上，則正方形的邊長是多少？
（2）某葡萄酒莊欲在展廳的一面墻上，布置一個腰長為，底邊長為的等腰三角形展臺．現(xiàn)需將展臺用隔板沿平行于底邊，每間隔分隔出一排，再將每一排盡可能多的分隔成若干個無蓋正方體格子，要求每個正方體格子內(nèi)放置一瓶葡萄酒．平面設(shè)計圖如圖3所示，將底邊的長度看作是0排隔板的長度．
①在分隔的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)正方體間的隔板厚度忽略不計時，每排的隔板長度（單位：厘米）隨著排數(shù)（單位：排）的變化而變化．請完成下表：
若用表示排數(shù)，表示每排的隔板長度，試求出與的關(guān)系式；
②在①的條件下，請直接寫出該展臺最多可以擺放多少瓶葡萄酒？
秋季你將遇見
例題11．（2022?武漢）問題提出
如圖（1），在中，，是的中點，延長至點，使，延長交于點，探究的值．
問題探究
（1）先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)時，直接寫出的值；
（2）再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．
問題拓展
如圖（3），在中，，是的中點，是邊上一點，，延長至點，使，延長交于點．直接寫出的值（用含的式子表示）．
第8講：相似三角形模型（一）課后鞏固
實戰(zhàn)演練
1．（2017?成都）如圖，四邊形和是以點為位似中心的位似圖形，若，則四邊形與四邊形的面積比為
A．B．C．D．
2．（2018?青海）如圖，四邊形與四邊形位似，其位似中心為點，且，則．
3．（2022?宜賓）如圖，中，點、分別在邊、上，．若，，，則．
4．如圖，菱形中，，分別在邊，上，，相交于點，若，則的值是
A．B．C．D．
5．（2019?通遼）已知三個邊長分別為，，的正方形如圖排列，則圖中陰影部分的面積為．
6．（2020?樂山）把兩個含角的直角三角板按如圖所示拼接在一起，點為的中點，連接交于點．則．
7．（2016?瀘州）如圖，矩形的邊長，，為的中點，在邊上，且，分別與、相交于點，，則的長為
A．B．C．D．
8．（2021?淄博）如圖，，相交于點，且，點，，在同一條直線上．已知，，，則，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是
A．B．C．D．
9．（2019?宜賓）如圖，和都是等邊三角形，且點、、在同一直線上，與、分別交于點、，與交于點．下列結(jié)論正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）．
①；②；③；④
10．（2022?東營）如圖，在中，點、在上，點、分別在、上，四邊形是矩形，，是的高，，，那么的長為．
11．（2021?菏澤）如圖，在中，，垂足為，，，四邊形和四邊形均為正方形，且點、、、、都在的邊上，那么與四邊形的面積比為．
12．（2019?畢節(jié)市）如圖，在一塊斜邊長的直角三角形木板上截取一個正方形，點在邊上，點在斜邊上，點在邊上，若，則這塊木板截取正方形后，剩余部分的面積為
A．B．C．D．
13．（2014?日照）如圖，已知的面積是12，，點、分別在邊、上，在邊上依次做了個全等的小正方形，，，，則每個小正方形的邊長為
A．B．C．D．
14．（2020?百色）如圖，在平行四邊形中，為延長線上一點，分別交，于點，．
（1）請找出一對相似的三角形并證明．
（2）已知，若，求的值．
思維拓展訓(xùn)練
1．（2014?黃石）是的中線，將邊所在直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)角，交邊于點，交射線于點，設(shè)，．
（1）如圖1，當(dāng)為等邊三角形且時證明：；
（2）如圖2，證明：；
（3）當(dāng)是上任意一點時（點不與重合），過點的直線交邊于，交射線于點，設(shè)，，，猜想：是否成立？并說明理由．
定義
示例剖析
位似圖形：兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行或共線，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形．
位似中心：對應(yīng)頂點的連線相交于一點，這個點叫做位似中心．
位似比：相似比叫做位似比．
位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上的任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比．
如圖所示，已知與是位似圖形，點為位似中心，那么
（為位似比）
圖形
重要結(jié)論
“A” 字模型
“8”字模型
圖形
重要結(jié)論
條件：四邊形為矩形，于．
①，，；
②．
排數(shù)排
0
1
2
3
隔板長度厘米
160