典例精講
題型1：反“A”字型與反“8”字型
例題1．如圖，把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)剛好落在上時(shí)，連接，設(shè)、相交于點(diǎn)，則圖中不全等的相似三角形共有 對(duì)．
【解答】解：把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到與重合），
，，
，
；
，
而，
；
把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到與重合），
，，，
，
．
圖中不全等的相似三角形共有3對(duì)，
故答案為：3．
例題2．如圖，在中，、分別是、邊上的高，求證：．
【解答】證明：設(shè)與交于點(diǎn)，
，分別是，邊上的高，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
例題3．（2022?德州）教材呈現(xiàn)
以下是人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第53頁(yè)的部分內(nèi)容．
如圖，四邊形中，，．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．
概念理解
（1）根據(jù)上面教材的內(nèi)容，請(qǐng)寫出“箏形”的一條性質(zhì)： ；
（2）如圖1，在中，，垂足為，與關(guān)于所在的直線對(duì)稱，與關(guān)于所在的直線對(duì)稱，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)．請(qǐng)寫出圖中的“箏形”： ；（寫出一個(gè)即可）
應(yīng)用拓展
（3）如圖2，在（2）的條件下，連接，分別交，于點(diǎn)，，連接．
①求證：；
②求證：．
【解答】（1）解：，，
垂直平分線段．
故答案為：垂直平分線段．
（2）解：由翻折變換的性質(zhì)可知，，
，
，
，
四邊形是“箏形”，
故答案為：四邊形（答案不唯一）；
（3）①證明：如圖2中，
由翻折變換的性質(zhì)可知，，，，
，，
，
，
，
，
；
②證明：如圖2中，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
模塊五 共角共邊模型
知識(shí)導(dǎo)航
能力提升
題型2：子母型
例題4．（1）（2019?淄博）如圖，在中，，，為邊上的一點(diǎn)，且．若的面積為，則的面積為
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
，即，
解得，的面積為，
的面積為：，
故選：．
（2）（2021?南充）如圖，在中，為上一點(diǎn)，，則的值為 ．
【解答】解：，
，
，
，
,
,
故答案為：．
（3）（2019?貴港）如圖，在中，點(diǎn)，分別在，邊上，，，若，，則線段的長(zhǎng)為
A．B．C．D．5
【解答】解：設(shè)，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，，
，
，
，
，
另解：，，
，
，
，
．
故選：．
（4）（2022?杭州）如圖是以點(diǎn)為圓心，為直徑的圓形紙片，點(diǎn)在上，將該圓形紙片沿直線對(duì)折，點(diǎn)落在上的點(diǎn)處（不與點(diǎn)重合），連接，，．設(shè)與直徑交于點(diǎn)．若，則 度；的值等于 ．
【解答】解：，
，
，，
，
將該圓形紙片沿直線對(duì)折，
，
又，
，
設(shè)，
，
，
，
，
，
；
，，
，
，
，
設(shè)，，
，
解得，（負(fù)值舍去），
，
，
，，
，
，
．
故答案為：36，．
題型3：射影定理
例題5．（1）（2019?宜賓）如圖，已知直角中，是斜邊上的高，，，則 ．
【解答】解：在中，，
由射影定理得，，
，
故答案為：．
（2）如圖，在中，，垂足為點(diǎn)，以下條件中不能推出為直角三角形的是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
若，則，故，選項(xiàng)不符合題意；
若，則，，故，，選項(xiàng)不符合題意；
若，則，，故，，選項(xiàng)不符合題意；
若，無(wú)法判斷，從而可以不能推出為直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
（3）如圖，在中，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)，，則圖中可以表示的線段是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
同理得，
，
，
點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
，
．
故選：．
題型4：共角共邊模型綜合
例題6．（2022?上海）如圖所示，在等腰三角形中，，點(diǎn)，在線段上，點(diǎn)在線段上，且，．
求證：（1）；
（2）．
【解答】證明：（1），
，
，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2），
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
模塊六 一線三等角模型
知識(shí)導(dǎo)航
能力提升
題型5：一線三等角模型
例題7．（2017?宿遷）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上移動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），滿足，且點(diǎn)、分別在邊、上．
（1）求證：；
（2）當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，求證：平分．
【解答】解：（1）證明：，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
平分．
例題8．（2015?賀州）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），，交于點(diǎn)，且，有以下的結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，與全等；③為直角三角形時(shí)，為12或；④，其中正確的結(jié)論是 （填入正確結(jié)論的序號(hào)）
【解答】解：①，，
；
故①錯(cuò)誤；
②作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，，
，
在與中，
，
．
故②正確；
③當(dāng)時(shí)，由①可知：，
，
，
，
即，
，
，
且，，
．
當(dāng)時(shí)，易證，
，
，
且，，
，
．
，
即當(dāng)為直角三角形時(shí)，或．
故③正確；
④易證得，由②可知，
設(shè)，，
，
，
整理得：，
即，
，
．
故④錯(cuò)誤．
故正確的結(jié)論為：②③．
故答案為：②③．
題型6：“K”字模型
例題9．（1）（2019?涼山州）如圖，正方形中，，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（不與、重合），過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則的最大值為 ．
【解答】解：，，
．
又，
．
．
設(shè)，，則．
，化簡(jiǎn)得，
整理得，
所以當(dāng)時(shí)，有最大值為4．
故答案為4．
（2）（2021?濟(jì)南）如圖，一個(gè)由8個(gè)正方形組成的“”模板恰好完全放入一個(gè)矩形框內(nèi)，模板四周的直角頂點(diǎn)，，，，都在矩形的邊上，若8個(gè)小正方形的面積均為1，則邊的長(zhǎng)為 ．
【解答】解：如下圖所示，連接，則，
由題意得，小正方形的邊長(zhǎng)為1，
，
四邊形是矩形，
，，
，
同理，
，
又，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
故答案為：．
（3）（2022?黑龍江）在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若是直角三角形，則的長(zhǎng)為 ．
【解答】解：若是直角三角形，有以下三種情況：
①如圖1，，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，即，
，
，
；
②如圖2，，
，
，
，
，
，即，
；
③如圖3，，設(shè)，則，
同理得：，
，即，
，
，
綜上，的長(zhǎng)是或或6．
故答案為：或或6．
秋季你將遇見
例題10．（2023?青秀三中校一模）同學(xué)們還記得嗎？圖①，圖②是人教版八年級(jí)下冊(cè)教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過的兩個(gè)圖形．受這兩個(gè)圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個(gè)問題，請(qǐng)你回答：
【問題一】如圖①，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為 ；
【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線、經(jīng)過正方形的對(duì)稱中心，直線分別與、交于點(diǎn)、，直線分別與、交于點(diǎn)、，且，若正方形邊長(zhǎng)為8，求四邊形的面積；
【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形的頂點(diǎn)在正方形的邊上，頂點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，．在直線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，說明理由．
【解答】解：【問題一】正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，
，，，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
故答案為：；
【問題二】如圖③，
連接，，
點(diǎn)是正方形的中心，
，
點(diǎn)是正方形的中心，
，，，
，
，
，
，
，
；
【問題三】在直線上存在點(diǎn)，使為直角三角形，
①當(dāng)時(shí)，如圖④，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，
四邊形和四邊形是正方形，
，，
四邊形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②當(dāng)時(shí)，如圖⑤，
同①的方法得，，
，
，
，
或；
③當(dāng)時(shí)，如圖⑥，
過點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)，相交于，
同①的方法得，四邊形是矩形，
，，，
同①的方法得，四邊形是矩形，
，，
，
同①的方法得，，
，
，
，
，
即的長(zhǎng)度為2或3或6或7．
第9講：相似三角形模型（二）課后鞏固
1．（2019?赤峰）如圖，、分別是邊，上的點(diǎn)，，若，，，則的長(zhǎng)是
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：，，
，
，即，
解得，，
故選：．
2．如圖，是等腰直角三角形，，為邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，則的值為 ．
【解答】解：，
可以假設(shè)，，則，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為．
3．（2020?貴港）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，若，，且，則線段的長(zhǎng)為
A．2B．C．3D．
【解答】解：，，
，
，
，，
，
，
．
故選：．
4．（2016?安徽）如圖，中，是中線，，，則線段的長(zhǎng)為
A．4B．C．6D．
【解答】解：，
，
在和中，
，，
，
，
，
；
故選：．
5．（2018?雅安）已知：如圖，在中，，，．以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
，
以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
；
故選：．
6．（2019?西藏）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，于，，，則邊的長(zhǎng)為 ．
【解答】解：由射影定理得，，
解得，，
故答案為：4．
7．將沿弦折疊，交直徑于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)是
A．B．8C．D．
【解答】解：連接、；
根據(jù)折疊的性質(zhì)，知所對(duì)的圓周角等于，
又所對(duì)的圓周角是，
，
（相等的圓周角所對(duì)的弦相等）；
是等腰三角形；
過作于．
，則；
；
在中，，根據(jù)射影定理，得：
；
故．
故選：．
8．（2019?瀘州）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在邊上，，垂足為，則的長(zhǎng)為 ．
【解答】解：過作于，
在等腰中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
9．（2017?巴彥淖爾）如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在，上，如果，，，那么正方形的邊長(zhǎng)等于 ．
【解答】解：，，，
，
，
，
正方形，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
．
故答案為．
10．（2015?婁底）一塊直角三角板按如圖放置，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【解答】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
為直角三角形，
，
，
，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，
，
，
，
，
，
解得：，
則．
即點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
故答案為：，．
11．（2014?宿遷）如圖，在直角梯形中，，，，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，若與是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【解答】解：，
．
，
，
．，，，
設(shè)的長(zhǎng)為，則長(zhǎng)為．
若邊上存在點(diǎn)，使與相似，那么分兩種情況：
①若，則，即，解得；
②若，則，即，解得或．
滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3個(gè)，
故選：．
12．如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，下列結(jié)論中，①與相似；②與相似；③；④，其中正確的是
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【解答】解：，，
，
．
又，
，故結(jié)論①正確．
．
是線段的中點(diǎn)，
．
．
又，
，故結(jié)論②正確．
，，故結(jié)論③④正確．
故選：．
13．（2012?臨沂）已知，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．
（1）如圖1，當(dāng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)證明；
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在，若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．
【解答】（1）證明：，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
又在矩形中，，
，
．
（2）解：存在，
理由：若，
則，
又，
，
又，
，
，
設(shè)，則，
整理得：，
，，，
△，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意，
當(dāng)時(shí)，存在，
（3）解：不成立．
理由：若，
由（2）可知，
，，，
△，
方程沒有實(shí)數(shù)根，
當(dāng)時(shí)，不存在，即（2）中的結(jié)論不成立．
思維拓展訓(xùn)練
1．（2018?鹽城）【發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知等邊，將直角三角板的角頂點(diǎn)任意放在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），使兩邊分別交線段、于點(diǎn)、．
（1）若，，，則 ；
（2）求證：．
【思考】若將圖①中的三角板的頂點(diǎn)在邊上移動(dòng)，保持三角板與邊、的兩個(gè)交點(diǎn)、都存在，連接，如圖②所示，問：點(diǎn)是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【探索】如圖③，在等腰中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，將三角形透明紙板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)處（其中，使兩條邊分別交邊、于點(diǎn)、（點(diǎn)、均不與的頂點(diǎn)重合），連接．設(shè)，則與的周長(zhǎng)之比為 （用含的表達(dá)式表示）．
【解答】（1）解：是等邊三角形，
，．
，
，
則，
是等邊三角形，
，
又，
．
，
則，
是等邊三角形，
．
故答案是：4；
（2）證明：如圖①，，，
，，
．
又，
；
【思考】存在，如圖②，過作，，，垂足分別是、、，
平分且平分．
．
又，，
，
，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，
；
【探索】如圖③，連接，作，，，垂足分別是、、．
則，
，是的中點(diǎn)，
，，
，
，，，
則，
由（2）題可猜想應(yīng)用（可通過半角旋轉(zhuǎn)證明），
則，
設(shè)，則，．
．
故答案是：．
基本圖形
重要結(jié)論
條件：
①；
②連接、，交于點(diǎn)，則
(ⅰ) ；
(ⅱ) ；
(ⅲ) ．
本質(zhì)：、、、四點(diǎn)共圓，由此得到的割線定理，相交弦定理
條件：
①；
②連接、，則
．
本質(zhì)：、、、四點(diǎn)共圓，由此得到的相交弦定理
基本圖形
重要結(jié)論
“子母”模型
．
射影定理
①；
②；
③．
基本圖形
重要結(jié)論
條件：
①；
②當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，則．
條件：
①；
②當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，則．
變形

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