一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡集合,即可由并運算求解.
【詳解】由得，，
所以，
故選：A
2. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A. 3B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得，進而求得.
【詳解】設(shè)，依題意，
，，
所以，解得，
則.
故選：D
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式計算即得.
【詳解】由，得，即，
所以.
故選：A
4. 已知等比數(shù)列的首項 ，前項和為，且成等差數(shù)列，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得等比數(shù)列的公比，然后根據(jù)等比數(shù)列前項和公式求得正確答案.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由于成等差數(shù)列，
所以，由于，
所以，
所以，
所以，，
所以
故選：B
5. 已知四棱錐的底面是正方形，平面，若，則平面與平面夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，把四棱錐補形成長方體，確定出二面角的夾角即可計算得解.
【詳解】四棱錐的底面是正方形，平面，則此四棱錐可補形成長方體，如圖，

顯然直線是平面與平面的交線，由平面，得，
因此是平面與平面所成二面角的平面角，
在中，，則，，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
故選：B
6. 某款對戰(zhàn)游戲，總有一定比例的玩家作弊該游戲每10個人組成一組對局，若一組對局中有作弊玩家，則認(rèn)為這組對局不公平.現(xiàn)有50名玩家，其中有2名玩家為作弊玩家，一次性將50名玩家平均分為5組，則5組對局中，恰有一組對局為不公平對局的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)古典概型公式計算即可.
【詳解】所有對局中，恰有一組對局是不公平對局的情況為：2名外掛玩家都分到了同一組對局，
記該事件為事件，則.
故選:C.
7. 設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為及上兩點間距離的平方，求出直線與函數(shù)相切的切點，從而求出切點到的距離，得到，結(jié)合題干中得到，并求出點坐標(biāo)，求出實數(shù)的值.
【詳解】設(shè)點，則，
令，，
可知的最小值即為上的點與上的點之間的距離平方的最小值，
若直線與函數(shù)的圖象相切，設(shè)切點的橫坐標(biāo)為，
因為，可得，解得：，
則切點為，且切點在上，故，
點到直線的距離為，所以，
又因為有解，則，
此時點P在上，也在直線在點P處的垂線即直線上，
其中直線在點P處的垂線的斜率為，
所以直線在點P處的垂線方程為：
即點坐標(biāo)滿足，解得，即.
故選：C．
【點睛】方法點睛：由不等式求參數(shù)范圍常用方法和思路：
1.直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
2.分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
3.數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
8. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造且，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性比較大小，根據(jù)三角函數(shù)線知時有，比較大小，即得答案.
【詳解】令，
設(shè)且，則，
令，則，所以單調(diào)遞增，
則，故單調(diào)遞增，所以，
故在上恒成立，則，即，
由三角函數(shù)線，時有，則，即.
綜上，.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用放縮有、，構(gòu)造研究單調(diào)性，及三角函數(shù)線知時比較大小.
二、多項選擇題：共4小題，每小題5分，共20分.
9. 設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A. B.
C. 若，則的最大值為2D. 若復(fù)數(shù)，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】選項AB，由復(fù)數(shù)的模的運算與復(fù)數(shù)的乘法運算可得；選項C，由復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的減法的幾何意義可得；選項D，由復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的乘法與模的運算可得.
【詳解】對于A，設(shè) ()，則，所以，
而，所以成立，故A正確；
對于B，設(shè) ()，
當(dāng)均不為時，為虛數(shù)，
而為實數(shù)，所以不成立，故B錯誤；
對于C，，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
的幾何意義為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與兩點間的距離，
所以，如圖可知，當(dāng)點P為時，最大，取最大值，最大值為2，故C正確；

對于D，設(shè) ()，（），
由，則，
則
；
；
所以，故D正確.
故選：ACD.
10. 在中，下列說法正確的有（ ）
A. 若，則
B. 若為銳角三角形，則
C. 若，則一定是等腰三角形
D. 若為鈍角三角形，且，，，則的面積為
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理逐個判斷即可.
【詳解】對于A：因，所以，所以，A正確；
對于B：因為是銳角三角形，所以，即，
因為且，在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以，B正確；
對于C：，
即，即，
所以，而A,B為三角形內(nèi)角，
所以或者，
所以是等腰三角形或者直角三角形，C錯誤；
對于D：易求出 ，而，所以，
化簡可得，解得或者，
當(dāng)時此時是最大角且，所以滿足鈍角三角形，
此時，
當(dāng)時此時為最大角且，所以滿足鈍角三角形，
此時，所以D錯誤，
故選：AB
11. 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（ ）

A.
B. 與平面所成角為
C. 異面直線與所成角的余弦值為
D. 平面與平面夾角的余弦值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】證明出平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項；利用線面角的定義可判斷B選項；利用異面直線所成角的定義可判斷C選項；利用空間向量法可判斷D選項.
【詳解】設(shè)，
對于A選項，，由余弦定理可得，
所以，，所以，，
因為底面，平面，則，
因為，、平面，所以，平面，
因為平面，所以，，A對；
對于B選項，因為底面，所以，與平面所成的角為，
且，又因為為銳角，故，
即與平面所成角為，B錯；
對于C選項，因為四邊形為平行四邊形，則，且，
所以，異面直線與所成角為或其補角，
因為底面，平面，則，
所以，，則，
故異面直線與所成角的余弦值為，C對；
對于D選項，因為底面，，
以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，則，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
所以，，
所以，平面與平面夾角的余弦值為，D對.
故選：ACD.
12. 已知函數(shù)，若存在實數(shù)使得方程有四個互不相等的實數(shù)根，分別為，且，則下列說法正確的有（ ）
A. B.
C. D. 的取值范圍為
【答案】BD
【解析】
【分析】綜合應(yīng)用函數(shù)與方程的根，結(jié)合二次函數(shù)和基本不等式的知識可得答案.
【詳解】作出在上的圖象，如圖所示：
對于A，因為，
又因為方程有四個互不相等的實數(shù)根，所以，故A錯誤；
對于B，由題意可得，，且有，，所以，
故，當(dāng)，即時，等號成立，故B正確；
對于C，由題意可得，由A可知，
所以，故C錯誤；
對于D，由題意可知與關(guān)于直線對稱，且，，所以，故.
因為，所以.
又因為，
所以，在上單調(diào)遞減，
故,
所以，，所以.
因為，，所以，
在單調(diào)遞增，所以，故，
所以的取值范圍為，故D正確.
故選：BD.
三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知（為銳角），則________________.
【答案】
【解析】
【分析】由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，再由結(jié)合兩角差的正弦公式求解即可.
【詳解】因為為銳角，，
所以為第二象限角，又，
所以
.
故答案為：.
14. 已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，則__________
【答案】7
【解析】
【分析】若公差為且，易得，應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式求結(jié)果.
【詳解】若公差為且，則，
由.
故答案為：7
15. 在一次投籃比賽中，甲、乙、丙三人投籃命中的概率分別為，，，若每次投球三人互不影響，則在一次投球中，三人中至少有兩人投籃命中的概率為______．
【答案】
【解析】
【分析】分別根據(jù)獨立事件以及對立、互斥事件的概率計算得出恰有兩人投籃命中的概率以及三人均命中的概率，相加即可得出答案.
【詳解】由已知可得，一次投球中，三人中恰有兩人投籃命中的概率；
一次投球中，三人投籃均命中的概率.
所以，在一次投球中，三人中至少有兩人投籃命中的概率.
故答案為：.
16. 已知對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先利用參變分離出恒成立，再利用恒成立，求解的最小值，即求出的取值范圍.
【詳解】根據(jù)題意可知，，
由，可得恒成立，
令，則，
現(xiàn)證明恒成立，設(shè)，
，當(dāng)時，解得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
故時，函數(shù)取得極小值即最小值，，
所以，即恒成立，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)（該方程顯然有解）時取等號，所以，即.
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，本題的關(guān)鍵是利用不等式的放縮，即利用，轉(zhuǎn)化 ，求函數(shù)的最小值.
四、解答題：共70分.
17. 已知集合，不等式的解集為.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出集合B，求出A的補集，根據(jù)集合的交并補集的運算，即可求得答案；
（2）由推出，討論A是否為空集，列出相應(yīng)不等式，求得答案.
【小問1詳解】
當(dāng)時，；或，
解得，故，
故；
【小問2詳解】
由得，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
故，解得，
即實數(shù)的取值范圍為或.
18. 設(shè)數(shù)列的前項和為，且．
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項利．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得，再由與的關(guān)系代入計算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由錯位相減法代入計算，即可得到結(jié)果.
小問1詳解】
因為，所以不為常數(shù)，
由，得，
即，解得或（舍去），
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以，.
【小問2詳解】
當(dāng)時，，
當(dāng)時，
，①
則，②
①-②：
.
所以，
所以．
經(jīng)檢驗，當(dāng)時，滿足上式，
所以.
19. 已知函數(shù)（，，）的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為．函數(shù)的最大值為2，且______．
請從以下3個條件中任選一個，補充在上面橫線上，①為奇函數(shù)；②當(dāng)時；③是函數(shù)的一條對稱軸．并解答下列問題：
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）在中，、，分別是角，，的對邊，若，，的面積，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由最大值確定A，根據(jù)相鄰兩條對稱軸間的距離為確定最小正周期，從而確定，選①，可得，求解即可；選②，，求解即可；選③，整體思想，求解即可.
（2）利用面積公式求出，結(jié)合余弦定理即可求解.
【小問1詳解】
由題意得，
∴最小正周期，則，
∴.
若選①，為奇函數(shù)，則，
∴，即
∵，即，
∴即，
∴.
若選②，當(dāng)時，
∴即，
∵，
∴，
∴.
若選③，是函數(shù)的一條對稱軸，
∴即
∵，
∴，
∴.
【小問2詳解】
∵，
∴,即，
∵即，
∴，即，
又∵，的面積，
∴得，
在中，由余弦定理得：，
解得.
20. 如圖，，為圓柱的母線，BC是底面圓O的直徑，D，E分別是，的中點，面．

（1）證明：平面ABC；
（2）若，求平面與平面BDC的夾角余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點F，利用線面平行的判定定理，證得平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可證得平面平面，即可證得平面．
（2）以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求得平面和平面的一個法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【小問1詳解】
證明：如圖所示，取中點F，連接DF，EF，
因為D，E，F(xiàn)分別為，，的中點，所以，，
又因為平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又因為，平面，
所以平面平面，又因為平面DEF，所以平面．
【小問2詳解】
解：如圖所示，連接，
因為分別為的中點，所以，且，
又因為D為的中點，所以，且，
所以，且，即四邊形AOED為平行四邊形，即，
因為面，所以面．
又因為面，所以，可得，
以為原點，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)，則，
可得，，，，，
則，，，,
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以．
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
21. 紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對柚子樹造成嚴(yán)重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y（個）和平均溫度x（℃）有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

（1）根據(jù)散點圖判斷，與（其中…為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y（個）關(guān)于平均溫度x（℃）的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程.（計算結(jié)果精確到0.1）
附：回歸方程中，，
（3）根據(jù)以往每年平均氣溫以及對果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計，得到以下數(shù)據(jù)：平均氣溫在22℃以下的年數(shù)占60%，對柚子產(chǎn)量影響不大，不需要采取防蟲措施；平均氣溫在22℃至28℃的年數(shù)占30%，柚子產(chǎn)量會下降20%；平均氣溫在28℃以上的年數(shù)占10%，柚子產(chǎn)量會下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛蟲害，農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.
在每年價格不變，無蟲害的情況下，某果園年產(chǎn)值為200萬元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以得到最高收益（收益＝產(chǎn)值－防害費用）為目標(biāo)，請為果農(nóng)從以下幾個方案中推薦最佳防害方案，并說明理由.
方案1：選擇防害措施A，可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲害不減產(chǎn)，費用是18萬；
方案2：選擇防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛蟲害，但無法防治28℃以上的紅蜘蛛蟲害，費用是10萬；
方案3：不采取防蟲害措施.
【答案】（1）更適宜
（2）
（3）選擇方案1最佳，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)散點圖的形狀，可判斷更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型；
（2）將兩邊同時取自然對數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，即可得到答案；
（3）求出三種方案的收益的均值，根據(jù)均值越大作為判斷標(biāo)準(zhǔn).
【小問1詳解】
由散點圖可以判斷，更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型.
【小問2詳解】
將兩邊同時取自然對數(shù)，可得，
由題中的數(shù)據(jù)可得，，，
所以，
則，
所以z關(guān)于x的線性回歸方程為，
故y關(guān)于x的回歸方程為；
【小問3詳解】
用，和分別表示選擇三種方案的收益.
采用第1種方案，無論氣溫如何，產(chǎn)值不受影響，收益為萬，即
采用第2種方案，不發(fā)生28℃以上的紅蜘蛛蟲害，收益為萬，
如果發(fā)生，則收益萬，即，
同樣，采用第3種方案，有
所以，，
，
.
顯然，最大，所以選擇方案1最佳.
22 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，比較與的大?。?br>（2）若函數(shù)，且，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)可得，即；
（2）構(gòu)造函數(shù)，從而推得，再利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，從而得到，進而將問題轉(zhuǎn)化為證，再利用導(dǎo)數(shù)證得，由此得證.
【小問1詳解】
設(shè)函數(shù)，
則，
當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞增，
所以，從而，即；
【小問2詳解】
設(shè)函數(shù)，
當(dāng)時，，，則恒成立，
則由，得，
又，所以,
因為，所以，
令，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，所以,
要證，只需證，
即證．
因為，所以．
設(shè)函數(shù)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
因為，所以，所以，
所以，
所以，從而得證．
【點睛】方法點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：
（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．參考數(shù)據(jù)（）
5215
17713
714
27
81.3
3.6

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2023屆重慶市第一中學(xué)校高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含解析
重慶市長壽中學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

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