一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先解二次不等式化簡(jiǎn)集合A，再利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>又，所以.
故選：C.
2．設(shè)a>0，則的最小值為（ ）
A．B．2
C．4D．5
【答案】D
【分析】根據(jù)基本不等式可求解.
【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為5.
故選：D.
3．已知，則的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.
【詳解】因?yàn)?
故選：B.
4．函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，可排除A、B選項(xiàng)，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)，得到時(shí)，，可排除C選項(xiàng)，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，都可其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可排除A、B選項(xiàng)；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)，可得時(shí)，，可排除C選項(xiàng).
故選：D.
5．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，如圖2所示其外框是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF，內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的中心О，圓О的半徑為1，點(diǎn)P在圓О上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
【答案】D
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，利用平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，的垂直平分線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，
由題意知，，，則，，
所以，當(dāng)，即時(shí)取最小值，
故選：D.
6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，外接圓半徑為R，若，且△ABC的面積為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由結(jié)合正弦定理①，由△ABC的面積為，進(jìn)而得，即，代入①得，，再由余弦定理即可得出答案.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得，①，
因?yàn)椤鰽BC的面積為，
所以，
所以，代入①得，，
由余弦定理得，
故選：D.
7．已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖像，將有四個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的圖像與有四個(gè)不同交點(diǎn)，分析可知，由韋達(dá)定理可得，設(shè)，，由導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，即可求出范圍.
【詳解】解：時(shí)，，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
畫出的圖像如下圖，有四個(gè)零點(diǎn)即的圖像與有四個(gè)不同交點(diǎn)，
由圖可得，是方程，即的兩根，
是方程，即的兩根，
，，
則，
設(shè)，，則，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即.
故選：A.
8．已知函數(shù)，下列命題正確的有（ ）
A．在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)
B．要得到的圖象，可將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．的值域?yàn)?br>D．的最小正周期為，最小值為
【答案】D
【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)及圖象平移變換判斷AB；化簡(jiǎn)函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)求出值域判斷C；化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用余弦函數(shù)性質(zhì)判斷D.
【詳解】對(duì)于A，依題意，，由，得，
由，得或，解得或，
所以在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，
，
令，，，
求導(dǎo)得，
由，得，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增；
由，得或，于是在，上單調(diào)遞減，
且，，
，，
因此當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以的值域?yàn)?，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，依題意，
，
所以的周期，最小值為，D正確.
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值和最小值，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求出函數(shù)的極值與區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值比較作答.
9．在下列向量組中，可以把向量表示出來(lái)的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合相等向量逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.
【詳解】設(shè)，
對(duì)于A，，則，無(wú)解，A不是；
對(duì)于B，，則，解得，B是；
對(duì)于C，，則，無(wú)解，C不是；
對(duì)于D，，則，無(wú)解，D不是.
故選：B
二、多選題
10．下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)指對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量即可比較，結(jié)合選項(xiàng)即可得結(jié)果．
【詳解】解：函數(shù)，在上單調(diào)遞增，∴，故A錯(cuò)誤；
函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，
，故B正確；
函數(shù)單調(diào)遞減，，故C正確；
，故D錯(cuò)誤，
故選：BC．
11．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則是等腰三角形
B．若，，，則滿足條件的三角形有且只有一個(gè)
C．若不是直角三角形，則
D．若，則為鈍角三角形
【答案】BC
【分析】對(duì)于A，利用正弦邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得或判斷；對(duì)于B，應(yīng)用余弦定理求即可判斷；對(duì)于C，由三角形內(nèi)角性質(zhì)及兩和角正切公式的逆用可判斷；對(duì)于D，由向量數(shù)量積定義判斷.
【詳解】對(duì)于A，由正弦定理得，則，則在中，或，即或，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，則，
可得，故，滿足條件的三角形有一個(gè)，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椴皇侵苯侨切?，所以，，均有意義，
又，所以，
所以，故C正確；
對(duì)于D，，即，
為銳角，故不一定為鈍角三角形，故D錯(cuò)誤；
故選：BC.
12．設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，
B．若為常數(shù)數(shù)列，則或2
C．若為遞減數(shù)列，則
D．當(dāng)時(shí)，
【答案】ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像，數(shù)列遞推關(guān)系式，及常數(shù)數(shù)列，遞減數(shù)列概念可判斷 A，B，C 選項(xiàng)，對(duì)D由遞推關(guān)系，結(jié)合裂項(xiàng)求和可判斷.
【詳解】的圖象如下圖：
對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，
，
同理，…，，故A正確；
對(duì)B，若為常數(shù)數(shù)列，則，
當(dāng)時(shí)，有無(wú)解，
當(dāng)時(shí)，，解得或2，故B正確；
對(duì)C，若為遞減數(shù)列，則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以或，故C不正確；
對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，
又由可得：，
，
故
，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題
13．復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則= .
【答案】
【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求出可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，.
故答案為：.
14． ．
【答案】1
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】
.
故答案為：.
15．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用裂項(xiàng)相消法及分組求和作答.
【詳解】依題意，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
所以數(shù)列的前10項(xiàng)和
.
故答案為：
16．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】將極值點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，再將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的解的問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)求解即可.
【詳解】∵，∴，
∵函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，
∴，又∵，∴，，
∴，是，即的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
令，則．
①當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，且，
②當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，且，
③當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增，且，
∴在處取得極小值，的圖象大致如下，
∴若有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，則，即，且，，
令，則，且∵，∴，
又∵，∴，∴，
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得，∴，
下面求的取值范圍，設(shè)，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
∴，即.
又∵在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，
∴，即.
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題容易僅當(dāng)作有兩個(gè)極值點(diǎn)求得的取值范圍，而造成錯(cuò)解，需要再根據(jù)，結(jié)合所構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)換成的范圍，利用的范圍再次求解.
四、解答題
17．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理將邊化為角，結(jié)合三角函數(shù)的兩角和的正弦公式，可求得答案;
（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式可求得，再利用三角形面積公式求得答案.
【詳解】（1）根據(jù)正弦定理及，
得.
∵，
∴.
∵，
∴.
（2）由（1）知，又，
由余弦定理得，
即，
∵，
∴，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
∴.
∴的最大值為.
18．函數(shù)的一段圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，求函數(shù)在的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)圖象可求得與周期，進(jìn)而求得，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求出即可.
（2）先根據(jù)平移變換求出的解析式，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)，并求出函數(shù)值域得解.
【詳解】（1）觀察圖象，得，函數(shù)的周期，解得，即，
由，得，即，而，則，
所以函數(shù)的解析式是.
（2）由（1）得，
則
，當(dāng)時(shí)，，
有，于是，
所以所求值域?yàn)?
19．已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性并加以證明；
(2)，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)是奇函數(shù).證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）化簡(jiǎn)可得，即可得出是奇函數(shù)；
（2）分析出的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性，即可轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為利用含參的二次函數(shù)最值求解即可.
【詳解】（1）由題知，定義域?yàn)椋?br>，
則是奇函數(shù)
（2）由，
因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，且，
所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
即在內(nèi)單調(diào)遞增，
若，不等式成立，
即，
又為奇函數(shù)，即，
可得，
則等價(jià)于恒成立，
即對(duì)于恒成立，
當(dāng)時(shí)，，即，符合；
當(dāng)，，此時(shí)只需，，
可得；
當(dāng)，若，即時(shí)，
此時(shí)，，可得；
若，即時(shí)，
此時(shí)，，可得；
若，即時(shí)，
時(shí)，，時(shí)，，
時(shí)，，
所以若時(shí)，，，
可得；
若時(shí)，，，可得；
若時(shí)，，
解得，
因?yàn)椋?，故符?
綜上，的取值范圍為.
20．“英才計(jì)劃”最早開(kāi)始于2013年，由中國(guó)科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對(duì)象，某高校在暑假期間從武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)學(xué)科夏令營(yíng)活動(dòng)．
(1)若化學(xué)組的12名學(xué)員中恰有5人來(lái)自同一中學(xué)，從這12名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來(lái)自該中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)在夏令營(yíng)開(kāi)幕式的晚會(huì)上，物理組舉行了一次學(xué)科知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)．規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競(jìng)答中，每人分別答兩題，若小組答對(duì)題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利，假設(shè)每輪答題結(jié)果互不影響．已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對(duì)每道題的概率分別為，，且，如果甲、乙兩位同學(xué)想在此次答題活動(dòng)中取得6輪勝利，那么理論上至少要參加多少輪競(jìng)賽？
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，
(2)11輪
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布列分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可；
（2）先求每輪答題中取得勝利的概率的最大值，再應(yīng)用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)期望的范圍求出最少輪數(shù).
【詳解】（1）由題意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，
，
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
所以．
（2）他們?cè)诿枯喆痤}中取得勝利的概率為
，
由，，，得，
則，因此，
令，，于是當(dāng)時(shí)，．
要使答題輪數(shù)取最小值，則每輪答題中取得勝利的概率取最大值．
設(shè)他們小組在輪答題中取得勝利的次數(shù)為，則，，
由，即，解得．
而，則，所以理論上至少要進(jìn)行11輪答題．
21．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，滿足.
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）數(shù)列的前項(xiàng)之積為，滿足，時(shí)，，解得．時(shí)，，變形為，結(jié)合，即可得出．
（2）由（1）可得：，解得，當(dāng)時(shí)，，可得，需要證明，即證明，設(shè)，，令，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)之積為，滿足，
所以當(dāng)時(shí)，，解得．
當(dāng)時(shí)，，
化為，
變形為，
又，所以，即且，
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
所以．
（2）由（1）可得：，解得，
當(dāng)時(shí)，．
，
需要證明，
即證明，
設(shè)，，
則，
設(shè)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
即，
所以．
22．已知函數(shù)，.
(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用作差法比較，構(gòu)造函數(shù)，，然后分別求導(dǎo)后利用其單調(diào)性，證明，在上恒成立，從而證明；
（2）由題意要證，在時(shí)恒成立，即可構(gòu)造函數(shù)恒成立，然后通過(guò)放縮變形證明恒成立，從而求解.
【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，要證，
即等價(jià)于證明恒成立和恒成立；
設(shè)：，，
對(duì)求導(dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，，，
所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，所以恒成立；
設(shè)：，，
對(duì)求導(dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，， 所以得：恒成立，
所以恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，所以，恒成立；
綜上所述：若，當(dāng)時(shí)，得證.
（2）當(dāng)時(shí)，成立，即等價(jià)于恒成立，
令，，
因?yàn)椋?br>所以在區(qū)間上為偶函數(shù)，
只需研究在區(qū)間上恒成立；
從而有兩種情況：
①當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于恒成立；
（i）：當(dāng)時(shí)，由（1）知當(dāng)時(shí)，，
所以，
令，，求導(dǎo)得，而，則，
所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，，則使，
所以，即，不符合題意.
（ii）當(dāng)時(shí)，，
令，，求導(dǎo)得：
，
又
，
因?yàn)椋?，，?br>由（1）知：時(shí)，，所以恒成立，
所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，所以恒成立，即恒成立，
所以當(dāng)時(shí)滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，等價(jià)于恒成立；
即在時(shí)，恒成立，
令，，即時(shí)恒成立，等價(jià)于恒成立，
因?yàn)楫?dāng)趨向于時(shí)，趨向，所以時(shí)，不存在最小值，
所以不符合題意.
綜上所述 ：的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)是先構(gòu)造函數(shù)，然后分兩種情況討論，特別是在時(shí)需結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論，對(duì)構(gòu)造的函數(shù)適當(dāng)變形后進(jìn)行放縮，從而求解.
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2
3

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2023-2024學(xué)年重慶市名校聯(lián)盟高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）：

這是一份2023-2024學(xué)年重慶市名校聯(lián)盟高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析），共13頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

重慶市名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷及解析版）：

這是一份重慶市名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷及解析版），文件包含重慶市名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題原卷版pdf、重慶市名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題解析版pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共29頁(yè)， 歡迎下載使用。

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