重慶市重慶市巴南區(qū)重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分。
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
2. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）
A. 3B. 1C. D.
3. 已知，則（）
A. B. C. D.
4. 已知等比數(shù)列的首項(xiàng) ，前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列，則（）
A. B.
C. D.
5. 已知四棱錐的底面是正方形，平面，若，則平面與平面夾角的余弦值為（）
A. B. C. D.
6. 某款對(duì)戰(zhàn)游戲，總有一定比例的玩家作弊該游戲每10個(gè)人組成一組對(duì)局，若一組對(duì)局中有作弊玩家，則認(rèn)為這組對(duì)局不公平.現(xiàn)有50名玩家，其中有2名玩家為作弊玩家，一次性將50名玩家平均分為5組，則5組對(duì)局中，恰有一組對(duì)局為不公平對(duì)局的概率為（）
A. B. C. D.
7. 設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的值為（）
A. B. C. D.
8. 已知，則（）
A. B.
C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：共4小題，每小題5分，共20分。
9. 設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）
A. B.
C. 若，則的最大值為2D. 若復(fù)數(shù)，則
10. 在中，下列說(shuō)法正確的有（）
A. 若，則
B. 若為銳角三角形，則
C. 若，則一定是等腰三角形
D. 若為鈍角三角形，且，，，則的面積為
11. 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（）

A.
B. 與平面所成角為
C. 異面直線與所成角的余弦值為
D. 平面與平面夾角的余弦值為
12. 已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使得方程有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，分別為，且，則下列說(shuō)法正確的有（）
A. B.
C. D. 的取值范圍為
三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分。
13. 已知（為銳角），則 .
14. 已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則
15. 在一次投籃比賽中，甲、乙、丙三人投籃命中的概率分別為，，，若每次投球三人互不影響，則在一次投球中，三人中至少有兩人投籃命中的概率為 .
16. 已知對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題：共70分。
17. （10分）已知集合，不等式的解集為.
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18. （12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)利.
19. （12分）已知函數(shù)（，，）的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為. 函數(shù)的最大值為2，且______.
請(qǐng)從以下3個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線上，①為奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)；③是函數(shù)的一條對(duì)稱軸. 并解答下列問(wèn)題：
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)在中，、，分別是角，，的對(duì)邊，若，，的面積，求的值.

20. （12分）如圖，，為圓柱的母線，BC是底面圓O的直徑，D，E分別是，的中點(diǎn)，面.

(1)證明：平面ABC；
(2)若，求平面與平面BDC的夾角余弦值.
21. （12分）紅蜘蛛是柚子的主要害蟲(chóng)之一，能對(duì)柚子樹(shù)造成嚴(yán)重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）和平均溫度x（℃）有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）關(guān)于平均溫度x（℃）的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）
(2)由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）
附：回歸方程中，，
(3)根據(jù)以往每年平均氣溫以及對(duì)果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計(jì)，得到以下數(shù)據(jù)：平均氣溫在22℃以下的年數(shù)占60%，對(duì)柚子產(chǎn)量影響不大，不需要采取防蟲(chóng)措施；平均氣溫在22℃至28℃的年數(shù)占30%，柚子產(chǎn)量會(huì)下降20%；平均氣溫在28℃以上的年數(shù)占10%，柚子產(chǎn)量會(huì)下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛蟲(chóng)害，農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.
在每年價(jià)格不變，無(wú)蟲(chóng)害的情況下，某果園年產(chǎn)值為200萬(wàn)元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以得到最高收益（收益＝產(chǎn)值－防害費(fèi)用）為目標(biāo)，請(qǐng)為果農(nóng)從以下幾個(gè)方案中推薦最佳防害方案，并說(shuō)明理由.
方案1：選擇防害措施A，可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲(chóng)害不減產(chǎn)，費(fèi)用是18萬(wàn)；
方案2：選擇防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛蟲(chóng)害，但無(wú)法防治28℃以上的紅蜘蛛蟲(chóng)害，費(fèi)用是10萬(wàn)；
方案3：不采取防蟲(chóng)害措施.
22. （12分）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，比較與的大?。?br>(2)若函數(shù)，且，證明：.
參考數(shù)據(jù)（）
5215
17713
714
27
81.3
3.6
高2024屆期中考試數(shù)學(xué)試卷參考答案
單選：1—4：ADAB5—8：BCCB
多選：9. ACD10. AB11. ACD12. BD
詳解：
1. 由得，，
所以，
2. 設(shè)，依題意，
，，
所以，解得，
則.
3. 由，得，即，
所以.
4. 設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由于成等差數(shù)列，
所以，由于，
所以，
所以，
所以，，
所以.
5. 四棱錐的底面是正方形，平面，則此四棱錐可補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，如圖，

顯然直線是平面與平面的交線，由平面，得，
因此是平面與平面所成二面角的平面角，
在中，，則，，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
6. 所有對(duì)局中，恰有一組對(duì)局是不公平對(duì)局的情況為：2名外掛玩家都分到了同一組對(duì)局，
記該事件為事件，則.
7. 設(shè)點(diǎn)，則，
令，，
可知的最小值即為上的點(diǎn)與上的點(diǎn)之間的距離平方的最小值，
若直線與函數(shù)的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
因?yàn)?，可得，解得：?br>則切點(diǎn)為，且切點(diǎn)在上，故，
點(diǎn)到直線的距離為，所以，
又因?yàn)橛薪?，則，
此時(shí)點(diǎn)P在上，也在直線在點(diǎn)P處的垂線即直線上，
其中直線在點(diǎn)P處的垂線的斜率為，
所以直線在點(diǎn)P處的垂線方程為：
即點(diǎn)坐標(biāo)滿足，解得，即.
8. 令，
設(shè)且，則，
令，則，所以單調(diào)遞增，
則，故單調(diào)遞增，所以，
故在上恒成立，則，即，
由三角函數(shù)線，時(shí)有，則，即.
綜上，.
9. 對(duì)于A，設(shè) ()，則，所以，
而，所以成立，故A正確；
對(duì)于B，設(shè) ()，
當(dāng)均不為時(shí)，為虛數(shù)，
而為實(shí)數(shù)，所以不成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
的幾何意義為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與兩點(diǎn)間的距離，
所以，如圖可知，當(dāng)點(diǎn)P為時(shí)，最大，取最大值，最大值為2，故C正確；

對(duì)于D，設(shè) ()，（），
由，則，
則
；
；
所以，故D正確.
10. 對(duì)于A：因?yàn)?，所以，所以，A正確；
對(duì)于B：因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，
因?yàn)榍?，在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以，B正確；
對(duì)于C：，
即，即，
所以，而A,B為三角形內(nèi)角，
所以或者，
所以是等腰三角形或者直角三角形，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：易求出，而，所以，
化簡(jiǎn)可得，解得或者，
當(dāng)時(shí)此時(shí)是最大角且，所以滿足鈍角三角形，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)此時(shí)為最大角且，所以滿足鈍角三角形，
此時(shí)，所以D錯(cuò)誤，
11. 設(shè)，
對(duì)于A選項(xiàng)，，由余弦定理可得，
所以，，所以，，
因?yàn)榈酌妫矫?，則，
因?yàn)?，、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫?，所以，，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)榈酌?，所以，與平面所成的角為，
且，又因?yàn)闉殇J角，故，
即與平面所成角為，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，且，
所以，異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，
因?yàn)榈酌妫矫?，則，
所以，，則，
故異面直線與所成角的余弦值為，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)榈酌妫?br>以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，則，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
所以，，
所以，平面與平面夾角的余弦值為，D對(duì).
12. 作出在上的圖象，如圖所示：
對(duì)于A，因?yàn)椋?br>又因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由題意可得，，且有，，所以，
故，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；
對(duì)于C，由題意可得，由A可知，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由題意可知與關(guān)于直線對(duì)稱，且，，所以，故.
因?yàn)椋?
又因?yàn)椋?br>所以，在上單調(diào)遞減，
故,
所以，，所以.
因?yàn)?，，所以?br>在單調(diào)遞增，所以，故，
所以的取值范圍為，故D正確.
13. 14. 715. 16.
13. 因?yàn)闉殇J角，，
所以為第二象限角，又，
所以
.
14. 若公差為且，則，
由.
15. 由已知可得，一次投球中，三人中恰有兩人投籃命中的概率；
一次投球中，三人投籃均命中的概率.
所以，在一次投球中，三人中至少有兩人投籃命中的概率.
16. 根據(jù)題意可知，，
由，可得恒成立，
令，則，
現(xiàn)證明恒成立，設(shè)，
，當(dāng)時(shí)，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，，
所以，即恒成立，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)（該方程顯然有解）時(shí)取等號(hào)，所以，即.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
17. （1）當(dāng)時(shí)，；或，
解得，故，
故；
（2）由得，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
故，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為或.
18. （1）因?yàn)?，所以不為常?shù)，
由，得，
即，解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，.
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，①
則，②
①-②：
.
所以，
所以.
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足上式，
所以.
19. （1）由題意得，
∴最小正周期，則，
∴.
若選①，為奇函數(shù)，則，
∴，即
∵，即，
∴即，
∴.
若選②，當(dāng)時(shí)，
∴即，
∵，
∴，
∴.
若選③，是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，
∴即
∵，
∴，
∴.
（2）∵，
∴,即，
∵即，
∴，即，
又∵，的面積，
∴得，
在中，由余弦定理得：，
解得.
20. （1）證明：如圖所示，取中點(diǎn)F，連接DF，EF，
因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，所以，，
又因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面?br>所以平面，平面，
又因?yàn)?，平面?br>所以平面平面，又因?yàn)槠矫鍰EF，所以平面.

（2）解：如圖所示，連接，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且，
又因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以，且，
所以，且，即四邊形AOED為平行四邊形，即，
因?yàn)槊?，所以?
又因?yàn)槊妫?，可得?br>以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)，則，
可得，，，，，
則，，，,
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以.
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為.

21. （1）由散點(diǎn)圖可以判斷，更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類(lèi)型.
（2）將兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，可得，
由題中的數(shù)據(jù)可得，，，
所以，
則，
所以z關(guān)于x的線性回歸方程為，
故y關(guān)于x的回歸方程為；
（3）用，和分別表示選擇三種方案的收益.
采用第1種方案，無(wú)論氣溫如何，產(chǎn)值不受影響，收益為萬(wàn)，即
采用第2種方案，不發(fā)生28℃以上的紅蜘蛛蟲(chóng)害，收益為萬(wàn)，
如果發(fā)生，則收益為萬(wàn)，即，
同樣，采用第3種方案，有
所以，，
，
.
顯然，最大，所以選擇方案1最佳.
22. （1）設(shè)函數(shù)，
則，
當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，
所以，從而，即；
（2）設(shè)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，，則恒成立，
則由，得，
又，所以,
因?yàn)?，所以?br>令，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，所以,
要證，只需證，
即證.
因?yàn)?，所?
設(shè)函數(shù)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，
所以，從而得證.

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