一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)并集的定義和運算直接得出結(jié)果.
【詳解】因為，
所以.
故選：C.
2．已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求得復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求得答案.
【詳解】由題意得，，故，
故選：D
3．展開式中的系數(shù)為
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】化簡已知代數(shù)式，利用二項式展開式的通項公式可以求出展開式中的系數(shù)．
【詳解】因為，則展開式中含的項為；展開式中含的項為，故的系數(shù)為，
故選：C．
4．已知等差數(shù)列的前項和，且滿足，則數(shù)列的公差為（ ）.
A．1B．2C．4D．3
【答案】B
【分析】在題設(shè)條件的兩邊同時乘以6，然后借助前項和公式進行求解．
【詳解】，
，
，
．
故選：B．
5．已知橢圓C：的左焦點是，過的直線l：與圓：交于A，B兩點，則的長為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)坐標求出直線方程，再由圓心到直線距離和弦長公式求出弦長.
【詳解】由題意可得，代入直線可得，則，
所以直線，所以圓心到直線距離，
所以弦長，
故選：A
6．已知，則（ ）
A．B．.C．D．
【答案】D
【分析】利用誘導(dǎo)公式以及余弦的二倍角公式即可求出結(jié)果.
【詳解】
故選：D.
7．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)t的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求導(dǎo)得到在上恒成立，即，設(shè)，計算值域得到答案.
【詳解】，在上恒成立，
即，設(shè)，，故，故.
故選：A
8．中，，，，PQ為內(nèi)切圓的一條直徑，M為邊上的動點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】易知是直角三角形，利用等面積法可得內(nèi)切圓半徑，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，根據(jù)為直徑，可知，，整理，進而根據(jù)的運動情況來求解.
【詳解】由題可知，，所以是直角三角形，，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，解得，
設(shè)內(nèi)切圓圓心為，因為是內(nèi)切圓的一條直徑，
所以，，
則，，
所以，
因為M為邊上的動點，所以；當(dāng)與重合時，，
所以的取值范圍是，
故選：C
二、多選題
9．甲乙兩支足球隊在上一賽季中分別參加了10場比賽，在這10場比賽中兩隊的進球數(shù)如下表，設(shè)兩支足球隊在10場比賽中進球數(shù)的平均數(shù)為，標準差為，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根據(jù)題意，計算甲乙的平均數(shù)、標準差，比較可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，
對于甲，其平均數(shù)，
方差，則標準差為，
對于乙，其平均數(shù)，
方差，則標準差為，
故，，
故選：BD
10．已知拋物線的焦點為，經(jīng)過點且斜率為的直線與拋物線交于點兩點（點在第一象限），若，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】直線與拋物線聯(lián)立方程組，求出點的坐標，由，求得，即可計算選項中的結(jié)論.
【詳解】法一：如圖，，直線的斜率為，則設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得，解得：.
由，得，故錯誤；
由于，則，故B正確；
同理，故C正確；
因為直線的方程為，原點到直線的距離為，
所以，故D錯誤.
法二：由傾角式焦半徑公式和面積公式可知，
，其中，故A錯誤；
，故B?C正確；
，故D錯誤.
答案為：BC
11．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且為奇函數(shù)，，.下列說法正確的是（ ）
A．3是函數(shù)的一個周期
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
D．
【答案】AC
【分析】由化簡得，由為奇函數(shù)可得為函數(shù)對稱中心，兩式結(jié)合可證為偶函數(shù)，求出，進而判斷D項.
【詳解】對于A項，因為，所以，
所以3是函數(shù)的一個周期，故A正確；
對于BC項，因為為奇函數(shù)，所以，
所以，點是函數(shù)圖象的對稱中心，故B錯誤，C正確；
對于D項，因為為奇函數(shù)，所以，
所以，又因為，所以，
即，函數(shù)為偶函數(shù)，，，
，所以，
.
故選：AC
12．直三棱柱中，，，點D是線段上的動點（不含端點），則以下正確的有（ ）
A．平面B．三棱錐的外接球的表面積為
C．的最小值為D．一定是銳角
【答案】ACD
【分析】由線面平行的判定定理可判斷A正確；將三棱錐補成棱長為1的正方體，進而可判斷B錯誤；由可知，進而可知C正確；由結(jié)合余弦定理和均值不等式可判斷D正確.
【詳解】對于選項A：顯然，又平面，平面，所以平面，即平面. 故A正確；
對于選項B：三棱錐可以補成棱長為1的正方體，且二者的外接球相同，顯然外接球半徑，所以外接球表面積為. 故B錯誤；
對于選項C：易知，從而，所以，當(dāng)、、三點共線時，有最小值為正方體的對角線長. 故C正確；
對于選項D：設(shè)，，則，且（時，取等號）.
由（時，取等號）.
則，所以一定是銳角. 故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
13．曲線在點處的切線方程是
【答案】
【分析】求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，由點斜式即可求解直線方程．
【詳解】由可得，所以，
所以由點斜式可得切線方程為，即，
故答案為：
14．在中，若，，則
【答案】
【分析】根據(jù)正弦定理得到邊之間關(guān)系，根據(jù)余弦定理求出的余弦值.
【詳解】在中，因為，由正弦定理得，
所以，
由余弦定理可得，
故答案為：
15．杭州亞運會舉辦在即，主辦方開始對志愿者進行分配．已知射箭場館共需要6名志愿者，其中3名會說韓語，3名會說日語．目前可供選擇的志愿者中有4人只會韓語，5人只會日語，另外還有1人既會韓語又會日語，則不同的選人方案共有 種．（用數(shù)字作答）．
【答案】140
【分析】對選出的3名會說韓語的志愿者分為2種情況討論即只會韓語中選3人和選2人，分別求出其方法總數(shù)即可得出答案.
【詳解】若從只會韓語中選3人，則種，
若從只會韓語中選2人，則種，
故不同的選人方案共有種.
故答案為：140.
16．已知橢圓：的右焦點為，過點作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，弦的垂直平分線交軸于點P，若，則橢圓的離心率 ．
【答案】/0.5
【分析】設(shè)直線的方程, 代入橢圓方程, 由韋達定理, 弦長公式及中點坐標公式, 求得中點坐標 坐標, 求得垂直平分線方程, 當(dāng)時, 即可求得點坐標, 代入即可求得, 即可求得 , 即可求得和的關(guān)系, 即可求得橢圓的離心率.
【詳解】因為傾斜角為的直線過點，
設(shè)直線的方程為: , ,
線段的中點,
聯(lián)立 ，化為，
，
，
的垂直平分線為:,
令 , 解得 ,.
,
,則 ,
橢圓的離心率為,
故答案為:.
【點睛】關(guān)鍵點睛：運算能力是關(guān)鍵；本題考查簡橢圓的簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,直線的垂直平分線的求法, 屬于較難題.
四、解答題
17．已知的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若的面積為，，點為邊的中點，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得到，再利用余弦定理求出；
（2）在第一問的基礎(chǔ)上，結(jié)合，利用三角恒等變換求出，進而由三角形面積得到，由余弦定理求出答案.
【詳解】（1）因為，
所以由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
又，所以．
（2）因為，
所以，
即，
又，則，所以，
所以，，
所以，
所以，故，，
故在中，由余弦定理可得，
則．
18．已知數(shù)列的前n項和為，，．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項和為，證明：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用，代入等式，變形后即可得證；
（2）由（1）可得，借助即可求出數(shù)列的通項公式，由此即可得出，利用裂項相消，即可求出，即可得證.
【詳解】（1）因為
當(dāng)時，，
又，
所以，即，即，
所以數(shù)列為以為首項，為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，不滿足上式，
所以，
所以
所以數(shù)列的前n項和.
19．如圖，四邊形是正方形，平面，，.
(1)證明：；
(2)若點到平面的距離為，求平面與平面所成角的大小.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，進而根據(jù)題意證明平面，進而證明結(jié)論；
（2）過點作的垂線，交于，則為點到平面的距離，進而根據(jù)幾何關(guān)系得，再以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用坐標法求解即可.
【詳解】（1）證明：如圖，連接.
∵四邊形是正方形，∴.
∵平面，又平面，
∴.
又，
∴平面.
又平面，
∴.
（2）解：如圖，連接，
∵，且，∴四邊形是平行四邊形.
∴.又由（1）可知平面，
∴平面.
∴平面平面.
過點作的垂線，交于，則為點到平面的距離.
設(shè)，則，，
根據(jù)等積思想得，解得.
以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
易得平面的一個法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
由，，，得，，
∵，∴，
不妨令，則，，
∴平面的一個法向量為.
∴.
設(shè)平面與平面所成的角為，則.
由圖可知，為銳角.∴.
故平面與平面所成的角為.
20．?dāng)?shù)軸上的一個質(zhì)點Q從原點出發(fā)，每次隨機向左或向右移動1個單位長度，其中向左移動的概率為，向右移動概率為，記點Q移動n次后所在的位置對應(yīng)的實數(shù)為．
(1)求的分布列和期望；
(2)當(dāng)時，點Q在哪一個位置的可能性最大，并說明理由．
【答案】(1)分布列見解析，；
(2)點Q所在的位置對應(yīng)的實數(shù)應(yīng)為4，理由見解析.
【分析】（1）利用二項分布得出和的分布列，繼而求出期望即可；
（2）設(shè)點Q向右移動m次，向左移動次的概率為，則，繼而求作比求解即可．
【詳解】（1）由題意知可能的取值為：，，0，2，4，
則，，
，，
，
的分布列
.
（2）設(shè)點Q向右移動m次，向左移動次的概率為，則，
，
當(dāng)時，，隨m的增加而增加，
當(dāng)時，，隨m的增加而減小，
所以當(dāng)時，最大，此時點Q所在的位置對應(yīng)的實數(shù)應(yīng)為4．
21．已知動點P到定點的距離和它到直線距離之比為2；
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)直線l在x軸上方與x軸平行，交曲線C于A，B兩點，直線l交y軸于點D.設(shè)OD的中點為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）設(shè)，由化簡可求軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線PQ的方程為，與雙曲線聯(lián)立得出韋達定理，結(jié)合兩個向量共線的坐標表示求得m，得到直線l的方程.
【詳解】（1）設(shè)，由動點P到定點的距離和它到直線距離之比為2，
可得，化簡得，即，
故點P的軌跡C的方程為；
（2）設(shè)l的方程為，則，故，
由已知直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，故.
與雙曲線方程聯(lián)立得：，
由對應(yīng)漸近線方程為：，易判斷，
得，設(shè)，，
則，①，
由，得：
，
，
即，，
消去得：，
即②
由①②得：，化簡得，由已知，
故存在定直線l：滿足條件.
22．已知（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，）
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在實數(shù)，使能成立，求正數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析；
(2)．
【分析】（1）對求導(dǎo)，然后分和兩種情況求的單調(diào)區(qū)間；
（2）存在實數(shù)，使能成立只需，然后構(gòu)造函數(shù)，解不等式即可.
【詳解】（1）的定義域是，則，
當(dāng)時，，遞減區(qū)間為；
當(dāng)時，令得：，令得：，
故遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
（2）由題設(shè)，結(jié)合（1）知，
若上存在實數(shù)x，使能成立，則．
令，則，
當(dāng)時，當(dāng)時．
∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
而上，，．
∴實數(shù)a的取值范圍是．
場次
球隊
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
1
1
3
2
2
1
3
1
2
4
乙
2
4
2
3
3
2
1
2
0
1
0
2
4
P

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