一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合,即可由并運(yùn)算求解.
【詳解】由得，，
所以，
故選：A
2. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A. 3B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得，進(jìn)而求得.
【詳解】設(shè)，依題意，
，，
所以，解得，
則.
故選：D
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式計(jì)算即得.
【詳解】由，得，即，
所以.
故選：A
4. 已知等比數(shù)列的首項(xiàng) ，前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得等比數(shù)列的公比，然后根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求得正確答案.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由于成等差數(shù)列，
所以，由于，
所以，
所以，
所以，，
所以
故選：B
5. 已知四棱錐的底面是正方形，平面，若，則平面與平面夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，把四棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，確定出二面角的夾角即可計(jì)算得解.
【詳解】四棱錐的底面是正方形，平面，則此四棱錐可補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，如圖，

顯然直線是平面與平面的交線，由平面，得，
因此是平面與平面所成二面角的平面角，
在中，，則，，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
故選：B
6. 某款對(duì)戰(zhàn)游戲，總有一定比例的玩家作弊該游戲每10個(gè)人組成一組對(duì)局，若一組對(duì)局中有作弊玩家，則認(rèn)為這組對(duì)局不公平.現(xiàn)有50名玩家，其中有2名玩家為作弊玩家，一次性將50名玩家平均分為5組，則5組對(duì)局中，恰有一組對(duì)局為不公平對(duì)局的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)古典概型公式計(jì)算即可.
【詳解】所有對(duì)局中，恰有一組對(duì)局是不公平對(duì)局的情況為：2名外掛玩家都分到了同一組對(duì)局，
記該事件為事件，則.
故選:C.
7. 設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為及上兩點(diǎn)間距離的平方，求出直線與函數(shù)相切的切點(diǎn)，從而求出切點(diǎn)到的距離，得到，結(jié)合題干中得到，并求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出實(shí)數(shù)的值.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，
令，，
可知的最小值即為上的點(diǎn)與上的點(diǎn)之間的距離平方的最小值，
若直線與函數(shù)的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
因?yàn)?，可得，解得：?br>則切點(diǎn)為，且切點(diǎn)在上，故，
點(diǎn)到直線的距離為，所以，
又因?yàn)橛薪?，則，
此時(shí)點(diǎn)P在上，也在直線在點(diǎn)P處的垂線即直線上，
其中直線在點(diǎn)P處的垂線的斜率為，
所以直線在點(diǎn)P處的垂線方程為：
即點(diǎn)坐標(biāo)滿足，解得，即.
故選：C．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由不等式求參數(shù)范圍常用方法和思路：
1.直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
2.分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；
3.數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
8. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造且，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性比較大小，根據(jù)三角函數(shù)線知時(shí)有，比較大小，即得答案.
【詳解】令，
設(shè)且，則，
令，則，所以單調(diào)遞增，
則，故單調(diào)遞增，所以，
故在上恒成立，則，即，
由三角函數(shù)線，時(shí)有，則，即.
綜上，.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用放縮有、，構(gòu)造研究單調(diào)性，及三角函數(shù)線知時(shí)比較大小.
二、多項(xiàng)選擇題：共4小題，每小題5分，共20分.
9. 設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A. B.
C. 若，則的最大值為2D. 若復(fù)數(shù)，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】選項(xiàng)AB，由復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算與復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得；選項(xiàng)C，由復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的減法的幾何意義可得；選項(xiàng)D，由復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的乘法與模的運(yùn)算可得.
【詳解】對(duì)于A，設(shè) ()，則，所以，
而，所以成立，故A正確；
對(duì)于B，設(shè) ()，
當(dāng)均不為時(shí)，為虛數(shù)，
而為實(shí)數(shù)，所以不成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
的幾何意義為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與兩點(diǎn)間的距離，
所以，如圖可知，當(dāng)點(diǎn)P為時(shí)，最大，取最大值，最大值為2，故C正確；

對(duì)于D，設(shè) ()，（），
由，則，
則
；
；
所以，故D正確.
故選：ACD.
10. 在中，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 若，則
B. 若為銳角三角形，則
C. 若，則一定是等腰三角形
D. 若為鈍角三角形，且，，，則的面積為
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理逐個(gè)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：因，所以，所以，A正確；
對(duì)于B：因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，
因?yàn)榍遥趨^(qū)間單調(diào)遞增，
所以，B正確；
對(duì)于C：，
即，即，
所以，而A,B為三角形內(nèi)角，
所以或者，
所以是等腰三角形或者直角三角形，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：易求出 ，而，所以，
化簡(jiǎn)可得，解得或者，
當(dāng)時(shí)此時(shí)是最大角且，所以滿足鈍角三角形，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)此時(shí)為最大角且，所以滿足鈍角三角形，
此時(shí)，所以D錯(cuò)誤，
故選：AB
11. 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（ ）

A.
B. 與平面所成角為
C. 異面直線與所成角的余弦值為
D. 平面與平面夾角的余弦值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】證明出平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用線面角的定義可判斷B選項(xiàng)；利用異面直線所成角的定義可判斷C選項(xiàng)；利用空間向量法可判斷D選項(xiàng).
【詳解】設(shè)，
對(duì)于A選項(xiàng)，，由余弦定理可得，
所以，，所以，，
因?yàn)榈酌?，平面，則，
因?yàn)?，、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫?，所以，，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)榈酌?，所以，與平面所成的角為，
且，又因?yàn)闉殇J角，故，
即與平面所成角為，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危瑒t，且，
所以，異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，
因?yàn)榈酌?，平面，則，
所以，，則，
故異面直線與所成角的余弦值為，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)榈酌?，?br>以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，則，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
所以，，
所以，平面與平面夾角的余弦值為，D對(duì).
故選：ACD.
12. 已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使得方程有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，分別為，且，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. B.
C. D. 的取值范圍為
【答案】BD
【解析】
【分析】綜合應(yīng)用函數(shù)與方程的根，結(jié)合二次函數(shù)和基本不等式的知識(shí)可得答案.
【詳解】作出在上的圖象，如圖所示：
對(duì)于A，因?yàn)椋?br>又因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由題意可得，，且有，，所以，
故，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；
對(duì)于C，由題意可得，由A可知，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由題意可知與關(guān)于直線對(duì)稱，且，，所以，故.
因?yàn)椋?
又因?yàn)椋?br>所以，在上單調(diào)遞減，
故,
所以，，所以.
因?yàn)?，，所以?br>在單調(diào)遞增，所以，故，
所以的取值范圍為，故D正確.
故選：BD.
三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知（為銳角），則________________.
【答案】
【解析】
【分析】由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，再由結(jié)合兩角差的正弦公式求解即可.
【詳解】因?yàn)闉殇J角，，
所以為第二象限角，又，
所以
.
故答案為：.
14. 已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________
【答案】7
【解析】
【分析】若公差為且，易得，應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求結(jié)果.
【詳解】若公差為且，則，
由.
故答案為：7
15. 在一次投籃比賽中，甲、乙、丙三人投籃命中的概率分別為，，，若每次投球三人互不影響，則在一次投球中，三人中至少有兩人投籃命中的概率為______．
【答案】
【解析】
【分析】分別根據(jù)獨(dú)立事件以及對(duì)立、互斥事件的概率計(jì)算得出恰有兩人投籃命中的概率以及三人均命中的概率，相加即可得出答案.
【詳解】由已知可得，一次投球中，三人中恰有兩人投籃命中的概率；
一次投球中，三人投籃均命中的概率.
所以，在一次投球中，三人中至少有兩人投籃命中的概率.
故答案為：.
16. 已知對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先利用參變分離出恒成立，再利用恒成立，求解的最小值，即求出的取值范圍.
【詳解】根據(jù)題意可知，，
由，可得恒成立，
令，則，
現(xiàn)證明恒成立，設(shè)，
，當(dāng)時(shí)，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，，
所以，即恒成立，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)（該方程顯然有解）時(shí)取等號(hào)，所以，即.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，本題的關(guān)鍵是利用不等式的放縮，即利用，轉(zhuǎn)化 ，求函數(shù)的最小值.
四、解答題：共70分.
17. 已知集合，不等式的解集為.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出集合B，求出A的補(bǔ)集，根據(jù)集合的交并補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求得答案；
（2）由推出，討論A是否為空集，列出相應(yīng)不等式，求得答案.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，；或，
解得，故，
故；
【小問(wèn)2詳解】
由得，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
故，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為或.
18. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)利．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得，再由與的關(guān)系代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由錯(cuò)位相減法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以不為常?shù)，
由，得，
即，解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，①
則，②
①-②：
.
所以，
所以．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足上式，
所以.
19. 已知函數(shù)（，，）的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為．函數(shù)的最大值為2，且______．
請(qǐng)從以下3個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線上，①為奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)；③是函數(shù)的一條對(duì)稱軸．并解答下列問(wèn)題：
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）在中，、，分別是角，，的對(duì)邊，若，，的面積，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由最大值確定A，根據(jù)相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為確定最小正周期，從而確定，選①，可得，求解即可；選②，，求解即可；選③，整體思想，求解即可.
（2）利用面積公式求出，結(jié)合余弦定理即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，
∴最小正周期，則，
∴.
若選①，為奇函數(shù)，則，
∴，即
∵，即，
∴即，
∴.
若選②，當(dāng)時(shí)，
∴即，
∵，
∴，
∴.
若選③，是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，
∴即
∵，
∴，
∴.
【小問(wèn)2詳解】
∵，
∴,即，
∵即，
∴，即，
又∵，的面積，
∴得，
在中，由余弦定理得：，
解得.
20. 如圖，，為圓柱的母線，BC是底面圓O的直徑，D，E分別是，的中點(diǎn)，面．

（1）證明：平面ABC；
（2）若，求平面與平面BDC的夾角余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)F，利用線面平行的判定定理，證得平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可證得平面平面，即可證得平面．
（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求得平面和平面的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
證明：如圖所示，取中點(diǎn)F，連接DF，EF，
因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，所以，，
又因?yàn)槠矫妫矫?，平面，平面?br>所以平面，平面，
又因?yàn)?，平面?br>所以平面平面，又因?yàn)槠矫鍰EF，所以平面．
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖所示，連接，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且，
又因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以，且，
所以，且，即四邊形AOED為平行四邊形，即，
因?yàn)槊?，所以面?br>又因?yàn)槊妫?，可得?br>以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)，則，
可得，，，，，
則，，，,
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以．
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
21. 紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對(duì)柚子樹造成嚴(yán)重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）和平均溫度x（℃）有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）關(guān)于平均溫度x（℃）的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）
（2）由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）
附：回歸方程中，，
（3）根據(jù)以往每年平均氣溫以及對(duì)果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計(jì)，得到以下數(shù)據(jù)：平均氣溫在22℃以下的年數(shù)占60%，對(duì)柚子產(chǎn)量影響不大，不需要采取防蟲措施；平均氣溫在22℃至28℃的年數(shù)占30%，柚子產(chǎn)量會(huì)下降20%；平均氣溫在28℃以上的年數(shù)占10%，柚子產(chǎn)量會(huì)下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛蟲害，農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.
在每年價(jià)格不變，無(wú)蟲害的情況下，某果園年產(chǎn)值為200萬(wàn)元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以得到最高收益（收益＝產(chǎn)值－防害費(fèi)用）為目標(biāo)，請(qǐng)為果農(nóng)從以下幾個(gè)方案中推薦最佳防害方案，并說(shuō)明理由.
方案1：選擇防害措施A，可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲害不減產(chǎn)，費(fèi)用是18萬(wàn)；
方案2：選擇防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛蟲害，但無(wú)法防治28℃以上的紅蜘蛛蟲害，費(fèi)用是10萬(wàn)；
方案3：不采取防蟲害措施.
【答案】（1）更適宜
（2）
（3）選擇方案1最佳，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀，可判斷更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型；
（2）將兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，即可得到答案；
（3）求出三種方案的收益的均值，根據(jù)均值越大作為判斷標(biāo)準(zhǔn).
【小問(wèn)1詳解】
由散點(diǎn)圖可以判斷，更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型.
【小問(wèn)2詳解】
將兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，可得，
由題中的數(shù)據(jù)可得，，，
所以，
則，
所以z關(guān)于x的線性回歸方程為，
故y關(guān)于x的回歸方程為；
【小問(wèn)3詳解】
用，和分別表示選擇三種方案的收益.
采用第1種方案，無(wú)論氣溫如何，產(chǎn)值不受影響，收益為萬(wàn)，即
采用第2種方案，不發(fā)生28℃以上的紅蜘蛛蟲害，收益為萬(wàn)，
如果發(fā)生，則收益萬(wàn)，即，
同樣，采用第3種方案，有
所以，，
，
.
顯然，最大，所以選擇方案1最佳.
22 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，比較與的大?。?br>（2）若函數(shù)，且，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)可得，即；
（2）構(gòu)造函數(shù)，從而推得，再利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，從而得到，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證，再利用導(dǎo)數(shù)證得，由此得證.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)函數(shù)，
則，
當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，
所以，從而，即；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，，則恒成立，
則由，得，
又，所以,
因?yàn)?，所以?br>令，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，所以,
要證，只需證，
即證．
因?yàn)?，所以?br>設(shè)函數(shù)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，
所以，從而得證．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：
（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．參考數(shù)據(jù)（）
5215
17713
714
27
81.3
3.6

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