1.如圖，四邊形ABCD中，AB=DC，則必有( )
A. AD=CBB. OA=OCC. AC=DBD. DO=OB
2.設a，b是非零向量，“a|a|=b|b|”是“a=b”的( )
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
3.已知向量a=(x,2)，b=(2,y)，c=(2,?4)，且a/?/c，b⊥c，則|a?b|=( )
A. 3B. 10C. 11D. 2 3
4.已知非零向量a，b且AB=a+2b，BC=?5a+2b，CD=7a+2b，則一定共線的三點是( )
A. A，B，DB. A，B，CC. B，C，DD. A，C，D
5.在三角形ABC中，已知|AB+AC|=|AB?AC|，|AB|=2，點G滿足GA+GB+GC=0，則向量BG在向量BA方向上的投影向量為( )
A. 13BAB. 23BAC. 2BAD. 3BA
6.如圖，矩形ABCD中，點E是線段AB上靠近A的三等分點，點F是線段BC的中點，則DE=( )
A. 89DF?59AC
B. 109DF?59AC
C. ?89DF+59AC
D. ?109DF+59AC
7.在矩形ABCD中，已知E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且滿足BE=EC，CF=2FD.若點P在線段BD上運動，且AP=λAE+μAF(λ,μ∈R)，則λ+μ的取值范圍為( )
A. [?15,75]B. [35,45]C. [23,34]D. [?15,35]
8.已知平面向量a，b不共線，且|a|=1，a?b=1，記b與2a+b的夾角是θ，θ最大時，|a?b|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列說法錯誤的是( )
A. 兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同
B. 若非零向量AB與CD是共線向量，則A，B，C，D四點共線
C. 若非零向量a與b共線，則a=b
D. 若a=b，則|a|=|b|
10.△ABC中，下列說法正確的是( )
A. 若AB?BC0；
∴cs2θ=(x2+2)2x2(x2+8)=1?12(x2+2)2+4x2+2+1=1?12(1x2+2?16)2+43；
當x2=4，即x=2時，cs2θ取得最小值，θ取得最大值；
此時|a?b|2=a2?2a?b+b2=1?2+4=3；
∴|a?b|= 3．
故選：C．
把csθ表示為|b|的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求出當θ最大時|b|的值，進而可求出|a?b|的值．
考查向量數(shù)量積的運算，向量夾角的余弦公式，分離常數(shù)法的運用，以及配方求二次函數(shù)最值的方法，余弦函數(shù)的單調(diào)性．
9.【答案】ABC
【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，由相等向量的定義，若兩個有共同起點且相等的向量，其終點一定相同，A錯誤；
對于B，若非零向量AB與CD是共線向量，可能有AB/?/CD，B錯誤；
對于C，若非零向量a與b共線，當兩個向量大小不等時，a=b不成立，C錯誤；
對于D，若a=b，則a與b方向相同且大小相等，必有|a|=|b|，D正確．
故選：ABC．
根據(jù)題意，由相等向量的定義分析A、C、D，由向量平行的定義分析B，綜合可得答案．
本題考查向量的定義，涉及向量相等、平行的定義，屬于基礎題．
10.【答案】BCD
【解析】解：對于選項A，AB?BC0，
則B為銳角，
不能判斷△ABC的形狀，
即選項A錯誤；
對于選項B，若AP=λ(AB|AB|+AC|AC|)，λ∈[0,+∞)，
又AB|AB|，AC|AC|為AB，AC同向的單位向量，
則AP在A的內(nèi)角平分線上，
即點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，
即選項B正確；
對于選項C，若G為△ABC的重心，
則GA+GB+GC=0，
則GA+GA+AB+GA+AC=0，
則AG=13(AB+AC)，
即選項C正確；
對于選項D，
若點O滿足|OA|=|OB|=|OC|，
則O為△ABC的外心，
又AB=2，AC=6，
則AO?BC=AO?(AC?AB)=AO?AC?AO?AB=12AC2?12AB2=16，
即選項D正確．
故選：BCD．
由平面向量數(shù)量積的運算，結合平面向量的線性運算及投影的定義逐一判斷．
本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了平面向量的線性運算及投影的定義，屬中檔題．
11.【答案】ABD
【解析】解：對于A選項，a=(x,y)，設b=(m,n),F(a)=(x+y,x?y),F(b)=(m+n,m?n)，
若a/?/b，則有nx=my，所以(x+y)(m?n)?(x?y)(m+n)=?2nx+2my=0，
則F(a)//F(b)，故A選項正確；
對于B選項，若a⊥b，則有a?b=mx+ny=0，
故F(a)?F(b)=(x+y)(m+n)+(x?y)(m?n)=2mx+2ny=0．
則F(a)⊥F(b)，故B選項正確；
對于C選項，cs?F(a)．F(b)?=F(a)?F(b)|F(a)|?|F(b)|
=2mx+2ny (x+y)2+(x?y)2? (m+n)2+(m?n)2
=mx+ny x2+y2? m2+n2，
cs?a,b?=a?b|a|?|b|=mx+ny x2+y2? m2+n2，
cs?F(a),F(b)?=cs?a,b?，故C選項錯誤；
對于D選項，當an=(x,y)時，an+1=F(an)=(x+y,x?y)，
an?2=F(an+1)=(2x,2y),an+2=2an，
a0=(?5,2),a2022=21011a0=(?5×21011,2×21011)，
a2023=F(a2022)=(?3×21011,?7×21011)，
a0?a2023=?5×(?3)×21011+2×(?7)×21011=21011，故D選項正確．
故選：ABD．
由定義變換的新向量，結合向量平行的條件驗證選項A；
結合向量垂直的條件驗證選項B；
由向量夾角的坐標運算驗證選項C；
由新定義向量的變換，得到向量間的關系，求出a2023，再計算a0?a2023驗證選項D．
本題考查向量的坐標運算，屬于中檔題．
12.【答案】 3
【解析】解：因為F1+F2+F3=0，且|F1|=1，|F2|=2，F(xiàn)1與F2的夾角為2π3，
所以F3=?F1?F2，
F32=F12+2F1?F2+F22=1+2×1×2×cs2π3+4=3，
|F3|= 3．
故答案為： 3．
根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算，由F1+F2+F3=0求模長|F3|即可．
本題考查了平面向量的模長計算問題，是基礎題．
13.【答案】4 2
【解析】解：設b=(2,0)，c=(0,2)，a=(x,y)，
因為a?b=a?c=8，
所以2x=2y=8，解得x=y=4，
所以|a|= 42+42=4 2．
故答案為：4 2．
根據(jù)題意，可設b=(2,0)，c=(0,2)，a=(x,y)，再結合平面向量數(shù)量積的坐標運算，即可得解．
本題考查平面向量的數(shù)量積，考查運算求解能力，屬于基礎題．
14.【答案】 32
【解析】解：因為在△ABC中，AB=4，AC=2，∠BAC=60°，
所以AB?AC=4，
又在△ABC中，由余弦定理可得：
BC2=AB2+AC2?2AB?AC?cs∠CAB，
又AB=4，AC=2，∠BAC=60°，
得BC=2 3，
設BD=λBC(0≤λ≤1)，
則DE?DF=(BE?BD)?(DC+CF)
=(?12AB?λBC)?[(1?λ)BC?12AC)
=[(λ?12)AB?λAC]?[(12?λ)AC?(1?λ)AB]
=(λ?12)(λ?1)AB2?λ(12?λ)AC2?(2λ2?2λ+14)AB?AC
=12λ2?18λ+7
=134，
解得：λ=14，
即BD=14BC，
即線段BD的長為 32，
故答案為： 32．
先由平面向量數(shù)量積的運算可得：AB?AC=4，
再由余弦定理可得：BC=2 3，
然后設BD=λBC(0≤λ≤1)，結合平面向量的線性運算可得：DE?DF=(BE?BD)?(DC+CF)=12λ2?18λ+7=134，解得：λ=14，即可得解．
本題考查了平面向量數(shù)量積的運算及平面向量的線性運算，屬中檔題．
15.【答案】解：(1)由題意得，mb+nc=m(?1,2)+n(4,1)=(?m+4n,2m+n)，
∵a=mb+nc，∴(3,2)=(?m+4n,2m+n)，
即3=?m+4n2=2m+n，解得m=59，n=89，
(2)由題意得，a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3+4k,2+k)，
2b?a=2(?1,2)?(3,2)=(?5,2)，
∵(a+kc)//(2b?a)，
∴2(3+4k)+5(2+k)=0，解得k=?1613．
【解析】(1)由題意和向量的坐標運算求出mb+nc的坐標，再由向量相等的條件列出方程組，求出m和n的值；
(2)由題意和向量的坐標運算求出a+kc和2b?a的坐標，再由向量共線的條件列出方程．求出k的值．
本題考查了向量的坐標運算，向量相等的條件，以及向量共線的條件，屬于基礎題．
16.【答案】解：(1)a?b=|a|?|b|cs=3×2 2×cs3π4=?6，
|a+b|= (a+b)2= a2+2a?b+b2= 9+2×(?6)+8= 5．
(2)由題意知，a?(a+b)=a2+a?b=9+(?6)=3，
設a與a+b的夾角為θ，則csθ=a?(a+b)|a|?|a+b|=33× 5= 55，
故a與a+b的夾角的余弦值為 55．
【解析】(1)由平面向量數(shù)量積的運算法則，可得a?b的值；由|a+b|= (a+b)2，再代入相關數(shù)據(jù)，得解．
(2)先求出a?(a+b)=3，設a與a+b的夾角為θ，由csθ=a?(a+b)|a|?|a+b|，得解．
本題考查平面向量的混合運算，熟練掌握平面向量的加法和數(shù)量積的運算法則是解題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題．
17.【答案】解：(1)在△ABC中，AB=6，∠ABC=60°，
D，E分別在邊AB，AC上，且滿足|AD||DB|=2，|CE||EA|=3，
∵|AD||DB|=2,|CE||EA|=3，∴AD=23AB,AE=14AC，
∴DE=AE?AD=14AC?23AB，∴λ=?23,μ=14；
(2)∵F為BC中點，
∴AF=BF?BA=12BC?BA，
由(1)知DE=14AC?23AB，
∴DE=14AC?23AB=14(BC?BA)+23BA=14BC+512BA，
∴AF?DE=(12BC?BA)?(14BC+512BA)=18|BC|2?124BC?BA?512|BA|2，
設|BC|=a，∵在△ABC中，AB=6，∠ABC=60°，
∴AF?DE=18a2?124×6×12a?512×62=?8，即a2?a?56=0，
解得a=?7(舍)或a=8，∴BC長為8．
【解析】(1)根據(jù)向量的線性運算以及平面向量的基本定理求得正確答案；
(2)利用轉化法化簡AF?DE=?8，從而求得BC的長．
本題考查了向量的線性運算以及平面向量的基本定理，屬于中檔題．
18.【答案】解：(1)已知向量a，b滿足|a|= 3，|b|=1，
又不等式|a+xb|≥|a+b|恒成立，
得a2+x2b2+2xa?b≥a2+b2+2a?b，
即x2b2+2xa?b?b2?2a?b≥0恒成立，
則x2+2 3xcsθ?1?2 3csθ≥0恒成立，
所以Δ=(2 3csθ)2?4(?1?2 3csθ)≤0．
即(csθ+ 33)2≤0，
解得csθ=? 33；
(2)由(1)知csθ=? 33，
則a?(a+2b)=a2+2a?b=a2+2|a||b|csθ=3+2 3×1×(? 33)=1，
|a+2b|2=a2+4a?b+4b2=3+4× 3×1×(? 33)+4=3，
則|a+2b|= 3，
則cs=a?(a+2b)|a|?|a+2b|=1 3× 3=13，
故a與a+2b夾角的余弦值為13．
【解析】(1)由平面向量的模的運算，結合平面向量數(shù)量積的運算求解；
(2)由平面向量的模的運算，結合平面向量夾角的運算求解．
本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了平面向量夾角的余弦，屬中檔題．
19.【答案】解：(1)依題意，因為2BP=PC，
所以AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13(BA+AC)=23AB+13AC，
因為O是線段AP的中點，所以AO=12AP=13AB+16AC，
設AB=xAQ，則有AO=x3AQ+16AC，
因為C，O，Q三點共線，所以x3+16=1，解得x=52，
即AQ=25AB，所以QB=35AB，所以AQQB=23；
(2)證明：(i)根據(jù)題意AB=AE+EB=AE+λAE=(1+λ)AE，
同理可得：AC=(1+μ)AF，
由(1)可知，AO=12AP=13AB+16AC，
所以AO=1+λ3AE+1+μ6AF，
因為E，O，F(xiàn)三點共線，所以1+λ3+1+μ6=1，
化簡得2λ+μ=3，
即2λ+μ為定值，且定值為3；
(ii)根據(jù)題意，S1=12|AE||AF|sinA，
S2=12|AB||AC|sinA=12(1+λ)|AE|(1+μ)|AF|sinA，
所以S1S2=12|AE||AF|sinA12(1+λ)|AE|(1+μ)|AF|sinA=1(1+λ)(1+μ)，
由(i)可知2λ+μ=3，則μ=3?2λ，
所以S1S2=1(1+λ)(1+3?2λ)=1?2λ2+2λ+4=1?2(λ?12)2+92，
易知，當λ=12時，S1S2有最小值，此時S1S2=29．
【解析】(1)根據(jù)題意，將AQ,AC作為基底表示AO，由C，O，Q三點共線可知，AQ,AC的系數(shù)之和為1，即可求出AQQB的值；
(2)(i)根據(jù)題意，將AE,AF作為基底表示AO，由E，O，F(xiàn)三點共線可知，AE,AF的系數(shù)之和為1，即可求出2λ+μ為一定值；(ii)根據(jù)題意，S1=12|AE||AF|sinA,S2=12|AB||AC|sinA=12(1+λ)|AE|(1+μ)|AF|sinA，S1S2=1(1+λ)(1+μ)，由2λ+μ=3可將S1S2化為關于λ的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求S1S2的最小值即可．
本題考查了平面向量基本定理的應用，屬于難題．

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