注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼區(qū)．
2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂，非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整，筆跡清楚．
3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域|書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效．
4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．
5．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 直線的傾斜角大?。? ）
A. B. C. D.
2. 下列正確結(jié)論是
A. 事件A的概率的值滿足
B. 如，則為必然事件
C. 燈泡的合格率是，從一批燈泡中任取一個(gè)，這是合格品的可能性為
D. 如，則為不可能事件
3. 經(jīng)過(guò)點(diǎn)并且與直線垂直的直線方程是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知事件A，B，C兩兩互斥，若，，，則（ ）．
A B. C. D.
5. 圓心在軸上，并且過(guò)點(diǎn)和的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若是從四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),是從三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),則關(guān)于 的一元二次方程有實(shí)根的概率是
A. B. C. D.
7. 在棱長(zhǎng)為的正四面體中，平面于，是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知圓C：，點(diǎn)A是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，則線段PQ的長(zhǎng)度的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題4分，共16分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得4分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知直線：和直線：，則下列結(jié)論正確是（ ）
A. 存在實(shí)數(shù)k，使得直線的傾斜角為
B. 對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線與直線都有公共點(diǎn)
C. 對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線與直線都不重合
D. 對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線與直線都不垂直
10. 已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，以為直徑作圓，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 圓面積的最小值為
B. 圓恒過(guò)定點(diǎn)
C. 圓心的軌跡方程是
D. 若直線與圓相交，且所得弦長(zhǎng)為時(shí)，圓面積為
11. 有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，事件表示“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，則（ ）
A. 與是互斥事件B. 與互為對(duì)立事件
C. 發(fā)生的概率為D. 與相互獨(dú)立
12. 在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得截面面積是
B. 當(dāng)時(shí)，直線與直線所成角為
C. 當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)到平面的距離是
D. 設(shè)直線與平面所成角為，則
三、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
13. 已知經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的直線l的方向向量為，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．
14. 在一次投籃比賽中，甲、乙、丙三人投籃命中的概率分別為，，，若每次投球三人互不影響，則在一次投球中，三人中至少有兩人投籃命中的概率為_(kāi)_____．
15. 已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，是平面外的一點(diǎn)，滿足，則的最小值是______．
16. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A，B在圓心為C的圓上運(yùn)動(dòng)，且．若直線l：上至少存在兩個(gè)點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_____．
四、解答題：本大題共6小題，共56分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17 已知直線過(guò)點(diǎn)且與直線：垂直．
（1）求直線的方程；
（2）若直線l經(jīng)過(guò)，且過(guò)直線與的交點(diǎn)，求直線l的方程．
18. 在一次支教活動(dòng)中，甲、乙兩校各派出名教師參與活動(dòng)，其中甲校派出2名男教師和1名女教師（記兩名男教師為、，女教師為），乙校派出名男教師和名女教師（記男教師為，兩名女教師為、）．
（1）若從兩校參加活動(dòng)的教師中各任選名，寫(xiě)出所有可能的結(jié)果，并求選出的名教師性別相同的概率；
（2）若從報(bào)名的名教師中任選名，求選出的名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率．
19. 如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，D為AB上靠近A的三等分點(diǎn)．
（1）若，求證：平面平面PCB；
（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求直線PC與平面PBD所成角的正弦值．
20. 甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為．
（1）分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率．
21. 已知直線和以點(diǎn)為圓心的圓．
（1）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；
（2）當(dāng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，求的值以及最短弦長(zhǎng)；
（3）設(shè)恒過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記以點(diǎn)、（坐標(biāo)原點(diǎn)）、、為頂點(diǎn)的四邊形為，求四邊形面積的最大值，并求取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
22. 如圖，四面體中，，，，，，為上的點(diǎn)，且，與平面所成角為．
（1）求三棱錐的體積；
（2）求平面與平面夾角余弦值．2023—2024學(xué)年?yáng)|北師大附中高二年級(jí)數(shù)學(xué)科試卷
上學(xué)期期中考試
本試卷共3頁(yè)、22小題，滿分120分，考試用時(shí)120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼區(qū)．
2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂，非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整，筆跡清楚．
3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域|書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效．
4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．
5．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 直線的傾斜角大小（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)得到，根據(jù)計(jì)算得到答案.
【詳解】直線，即，，，故.
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查了直線的傾斜角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.
2. 下列正確的結(jié)論是
A. 事件A的概率的值滿足
B. 如，則為必然事件
C. 燈泡的合格率是，從一批燈泡中任取一個(gè)，這是合格品的可能性為
D. 如，則為不可能事件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，利用排除法可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楸厝皇录母怕蕿?，
所以可排除選項(xiàng)；
因?yàn)椴豢赡苁录母怕蕿?，
所以可排除選項(xiàng)
根據(jù)概率的定義可知，燈泡的合格率是，從一批燈泡中任取一個(gè)是合格品的可能性為，故選C
【點(diǎn)睛】本題主要考查必然事件與不可得事件的概率，考查了概率的性質(zhì)，意在考查對(duì)基本概念掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)題.
3. 經(jīng)過(guò)點(diǎn)并且與直線垂直的直線方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.
【詳解】直線的方程可化為，其斜率為，
故經(jīng)過(guò)點(diǎn)并且與直線垂直的直線方程是，即.
故選：A.
4. 已知事件A，B，C兩兩互斥，若，，，則（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)事件A，，兩兩互斥，求出，進(jìn)而利用求出答案.
【詳解】因?yàn)槭录嗀，，兩兩互斥，所以，
所以.
故選：B．
5. 圓心在軸上，并且過(guò)點(diǎn)和的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)圓心為，由可求出的值，可得出圓心的坐標(biāo)，再求出圓的半徑，即可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】設(shè)圓心為，由可得，解得，
所以，圓心為，圓的半徑為，
故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：D.
6. 若是從四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),是從三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),則關(guān)于 的一元二次方程有實(shí)根的概率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】，根據(jù)題意先做出方程沒(méi)有實(shí)根的充要條件，列舉出試驗(yàn)發(fā)生的所有事件，看出符合條件的事件，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果．
【詳解】由題意知本題是一個(gè)古典概型，
設(shè)事件 為“有實(shí)根”
當(dāng) 時(shí)，方程有實(shí)根的充要條件為，即 ，
基本事件共12個(gè)：
其中第一個(gè)數(shù)表示的取值，第二個(gè)數(shù)表示的取值．事件包含9個(gè)基本事件
∴事件發(fā)生的概率為
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.
7. 在棱長(zhǎng)為的正四面體中，平面于，是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】如下圖所示：
在正四面體中，平面于，則為等邊三角形的中心，
且，，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以，?br>則，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、，
對(duì)于A選項(xiàng)，，，
所以，，所以，，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，，
所以，，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，
，即，D對(duì).
故選：B.
8. 已知圓C：，點(diǎn)A是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，則線段PQ的長(zhǎng)度的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作圖，根據(jù)切線的性質(zhì)以及三角形的面積公式可推得，.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得出，進(jìn)而即可根據(jù)不等式的性質(zhì)，得出答案.
【詳解】
如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可知，，，.
又由已知可得，圓C：的圓心，半徑.
所以，，.
又，
所以，，
所以，.
又點(diǎn)到直線的距離為，
所以，，
所以，，
所以，，，
所以，.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題4分，共16分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得4分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知直線：和直線：，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 存在實(shí)數(shù)k，使得直線的傾斜角為
B. 對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線與直線都有公共點(diǎn)
C. 對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線與直線都不重合
D. 對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線與直線都不垂直
【答案】ABD
【解析】
【分析】舉例即可說(shuō)明A、C；分以及，得出直線與直線的關(guān)系，即可得出B項(xiàng)；根據(jù)直線垂直列出方程，求解方程，即可說(shuō)明D項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線的傾斜角為，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，與重合，此時(shí)兩直線有公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有，即一定相交.
綜上所述，對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線與直線都有公共點(diǎn)，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，由B可知，當(dāng)時(shí)，直線與重合，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，要使直線與直線垂直，則應(yīng)有，該方程無(wú)解，
所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線與直線都不垂直，故D項(xiàng)正確.
故選：ABD.
10. 已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，以為直徑作圓，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 圓面積的最小值為
B. 圓恒過(guò)定點(diǎn)
C. 圓心的軌跡方程是
D. 若直線與圓相交，且所得弦長(zhǎng)為時(shí)，圓面積為
【答案】AC
【解析】
【分析】分析可知，當(dāng)時(shí)，取最小值，求出圓半徑的最小值，結(jié)合圓的面積公式可判斷A選項(xiàng)；求出圓的方程，可求出圓所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷B選項(xiàng)；求出圓心的軌跡方程，可判斷C選項(xiàng)；利用勾股定理求出圓的半徑，結(jié)合圓的面積公式可判斷D選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，其中，
對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，取最小值，即的最小值為點(diǎn)到直線的距離，
所以，，所以，圓的半徑的最小值為，
所以，圓面積的最小值為，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)、，則圓心的坐標(biāo)為，
又因?yàn)椋?br>所以，圓的半徑為，
所以，圓的方程為，
即，即，
由，解得或，
因此，圓過(guò)定點(diǎn)，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)圓心，則，消去可得，
所以，圓心的軌跡方程為，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，故圓心到直線的距離為，
當(dāng)直線與圓相交，且所得弦長(zhǎng)為時(shí)，圓的半徑為，
此時(shí)圓的面積為，D錯(cuò).
故選：AC.
11. 有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，事件表示“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，則（ ）
A. 與是互斥事件B. 與互為對(duì)立事件
C. 發(fā)生的概率為D. 與相互獨(dú)立
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件，對(duì)立事件相互獨(dú)立事件的定義結(jié)合古典概型注意判斷即可.
【詳解】由題意，不放回的隨機(jī)取兩次，共有種情況，
共個(gè)基本事件，
共個(gè)基本事件，故，故C正確；
顯然事件與有交事件，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；
共個(gè)基本事件，故，
共個(gè)基本事件，
所以與互為對(duì)立事件，故B正確；
事件共個(gè)基本事件，
所以，
所以與相互獨(dú)立，故D正確.
故選：BCD.
12. 在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得截面面積是
B. 當(dāng)時(shí)，直線與直線所成角為
C. 當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)到平面的距離是
D. 設(shè)直線與平面所成角為，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、、
、、、.
對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，，，
結(jié)合圖形可知，、、、四點(diǎn)共面，且，
，
則，
所以，，
在梯形中，，則，
因此， 當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得截面面積，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，，
所以，，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取可得，，
所以，點(diǎn)到平面的距離為，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，易知點(diǎn)，其中，
設(shè)平面的法向量為，，，，
則，取，則，
，D對(duì).
故選：ACD.
三、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
13. 已知經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的直線l的方向向量為，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】由已知得出，進(jìn)而根據(jù)已知條件、結(jié)合向量共線列出方程，求解即可得出答案.
【詳解】由已知可得，.
又直線l的方向向量為，
所以，與共線，
所以有，解得.
故答案為：.
14. 在一次投籃比賽中，甲、乙、丙三人投籃命中的概率分別為，，，若每次投球三人互不影響，則在一次投球中，三人中至少有兩人投籃命中的概率為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】分別根據(jù)獨(dú)立事件以及對(duì)立、互斥事件的概率計(jì)算得出恰有兩人投籃命中的概率以及三人均命中的概率，相加即可得出答案.
【詳解】由已知可得，一次投球中，三人中恰有兩人投籃命中的概率；
一次投球中，三人投籃均命中的概率.
所以，在一次投球中，三人中至少有兩人投籃命中的概率.
故答案為：.
15. 已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，是平面外的一點(diǎn)，滿足，則的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用共面向量的基本定理結(jié)合空間向量的基本定理可得出，將與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則存在、，使得，
即，
所以，，
又因?yàn)槭瞧矫嫱獾囊稽c(diǎn)，則、、不共面，
因?yàn)?，則，，，
所以，，所以，，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值是.
故答案為：.
16. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A，B在圓心為C的圓上運(yùn)動(dòng)，且．若直線l：上至少存在兩個(gè)點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用垂徑定理可求得；設(shè)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式可構(gòu)造關(guān)于的方程，結(jié)合已知得出方程解的個(gè)數(shù)，由列出不等式，求解即可得出結(jié)果.
【詳解】
設(shè)，，中點(diǎn)，
由已知可得，圓的圓心，半徑.
連接，則，且，
所以.
由已知可設(shè)其中一個(gè)點(diǎn)為，
則，，
所以，，
所以，，
所以，，
即，
所以，，
所以，，
即.
由題意知，至少存在兩個(gè)點(diǎn)，
所以，
整理可得，
解得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段長(zhǎng)度，結(jié)合已知列出關(guān)系式.根據(jù)已知滿足條件點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可得出方程解的個(gè)數(shù).
四、解答題：本大題共6小題，共56分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 已知直線過(guò)點(diǎn)且與直線：垂直．
（1）求直線的方程；
（2）若直線l經(jīng)過(guò)，且過(guò)直線與的交點(diǎn)，求直線l的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知設(shè)出的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的值，即可得出答案；
（2）聯(lián)立直線與的方程，求解方程組得出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后即可根據(jù)兩點(diǎn)式方程，求出答案.
【小問(wèn)1詳解】
由已知可設(shè)直線的方程為.
又直線過(guò)點(diǎn)，所以有，解得，
所以，直線的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
聯(lián)立直線與的方程，
可得，
所以，直線與的交點(diǎn).
又直線l經(jīng)過(guò)，
代入直線的兩點(diǎn)式方程可得，，
整理可得.
18. 在一次支教活動(dòng)中，甲、乙兩校各派出名教師參與活動(dòng)，其中甲校派出2名男教師和1名女教師（記兩名男教師、，女教師為），乙校派出名男教師和名女教師（記男教師為，兩名女教師為、）．
（1）若從兩校參加活動(dòng)的教師中各任選名，寫(xiě)出所有可能的結(jié)果，并求選出的名教師性別相同的概率；
（2）若從報(bào)名的名教師中任選名，求選出的名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）列舉出所有的基本事件，并確定事件“選出的名教師性別相同”所包含的基本事件，結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）列舉出所有的基本事件，并確定事件“選出的名教師來(lái)自同一學(xué)?！彼幕臼录?，即可求出所求事件的概率.
【小問(wèn)1詳解】
解：從兩校參加活動(dòng)的教師中各任選名，所有可能的結(jié)果有：、、
、、、、、、，共種，
其中，事件“選出的名教師性別相同”所包含的基本事件有：、、
、，共種，
所以，選出的名教師性別相同的概率為.
【小問(wèn)2詳解】
解：從報(bào)名的名教師中任選名，所有的基本事件有：、、、
、、、、、、、、、
、、，共種，
其中，事件“選出的名教師來(lái)自同一學(xué)?！彼幕臼录校?、、
、、、，共種，
因此，事件“選出的名教師來(lái)自同一學(xué)?！钡母怕蕿?
19. 如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，D為AB上靠近A的三等分點(diǎn)．
（1）若，求證：平面平面PCB；
（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求直線PC與平面PBD所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得.在以及中，根據(jù)余弦定理求出，，然后即可根據(jù)勾股定理求得.進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理證得平面.進(jìn)而根據(jù)面面垂直的判定定理得出平面平面；
（2）由已知推得平面平面.取中點(diǎn)為，連接，.進(jìn)而即可根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得出平面.根據(jù)勾股定理得出.建立空間直角坐標(biāo)系，得出各點(diǎn)以及向量的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，進(jìn)而根據(jù)向量法求解即可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
由已知可得，，，
在中，有，所以.
在中，由余弦定理可得，
所以，，.
又，
在中，有，
所以，
又，
在中，有，
所以，.
因?yàn)槠矫?，平面，?br>所以，平面.
因?yàn)槠矫?，所以平面平?
【小問(wèn)2詳解】
要使三棱錐的體積最大時(shí)，則應(yīng)有平面平面.
取中點(diǎn)為，連接.
因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，中點(diǎn)為，所以.
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面?br>所以，平面.
連接，在中，
由余弦定理可得，
所以.
又，所以.
如圖，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則
，，，，，，
所以，，，.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，
取，則是平面的一個(gè)法向量.
又，
所以，直線PC與平面PBD所成角的正弦值為.
20. 甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為．
（1）分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率．
【答案】（1），，；（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件，則再利用獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，解方程組即可得到答案.
（2）記D為從甲、乙、丙加工零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)至少有一個(gè)一等品的事件，利用對(duì)立事件，即計(jì)算即可.
【詳解】（1）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件，
由題設(shè)條件有即
解得，，．
即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是，，；
（2）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)至少有一個(gè)一等品的事件，則
．
故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為．
【點(diǎn)晴】本題主要考查獨(dú)立事件的概率計(jì)算問(wèn)題，涉及到對(duì)立事件的概率計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.
21. 已知直線和以點(diǎn)為圓心的圓．
（1）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；
（2）當(dāng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，求的值以及最短弦長(zhǎng)；
（3）設(shè)恒過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記以點(diǎn)、（坐標(biāo)原點(diǎn)）、、為頂點(diǎn)的四邊形為，求四邊形面積的最大值，并求取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2），弦長(zhǎng)的最小值為
（3）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）將直線的方程變形，聯(lián)立方程組可求得直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分析可知，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離達(dá)到最大值，此時(shí)，直線截得的弦長(zhǎng)最短，根據(jù)直線的斜率關(guān)系可求得的值，求出圓心到直線距離的最大值，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求出直線被圓截得弦長(zhǎng)的最小值；
（3）設(shè)點(diǎn)，利用距離公式可化簡(jiǎn)得出點(diǎn)的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合可求出四邊形面積的最大值及其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).
【小問(wèn)1詳解】
證明：將直線的方程化為，
由可得，故直線恒過(guò)定點(diǎn).
【小問(wèn)2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離達(dá)到最大值，此時(shí)，直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最短，
此時(shí)，，所以，直線的斜率為，解得，
且，
此時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最小，且其最小值為.
【小問(wèn)3詳解】
解：由（1）可知，點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，
則，整理可得，
由可得，解得，
又因?yàn)辄c(diǎn)，由下圖可知，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，
點(diǎn)到軸的距離最大，此時(shí)，的面積最大，此時(shí)，四邊形的面積取最大值，
即四邊形的面積.

故當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形的面積取最大值，且最大值為.
22. 如圖，四面體中，，，，，，為上的點(diǎn)，且，與平面所成角為．
（1）求三棱錐的體積；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，可證明平面，可推導(dǎo)出是與平面所成的角，即，由正弦定理求得，有兩個(gè)解，在時(shí)可證平面，在時(shí)，取中點(diǎn)證明平面，然后由棱錐體積公式計(jì)算體積；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．
【小問(wèn)1詳解】
解：（1）取中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)椋?，又，，平面?br>所以平面，而平面，所以，
由已知，，則，
，所以，，
由平面，平面得平面平面，
因此在平面取中點(diǎn)內(nèi)的射影就是直線，
所以是與平面所成的角，即，
，因此，
在中，由正弦定理得，
，為內(nèi)角，所以或，
，
因?yàn)?，則，
若，則，即，
，、平面，所以平面，
；
若，則，，
取中點(diǎn)，連接，則，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，而平面?br>所以平面，，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
解：若，以為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為，
，，，
設(shè)平面一個(gè)法向量是，
則，取，則，，即，
設(shè)平面的一個(gè)法向量是，
則，取，則，，即，
所以，，
所以平面與平面夾角的余弦值是；
若，以為軸，為軸，過(guò)且平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
則，，，，
，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，
，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量是，
則，取，則，，即，
設(shè)平面的一個(gè)法向量是，
則，取，則，，即，
所以，，
所以平面與平面夾角的余弦值是．
綜上所述，平面與平面夾角的余弦值為或.

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