知識梳理
1．幾種常見的函數(shù)模型
2.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較
題型歸納
題型1 用函數(shù)圖象刻畫變化過程
【例1-1】（2020?徐匯區(qū)二模）某地區(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長，經(jīng)過年，綠化面積與原綠化面積之比為，則的圖象大致為
A．B．
C．D．
【分析】求出函數(shù)的解析式，由指數(shù)函數(shù)的圖象即可得解．
【解答】解：設(shè)原來為，則，
故選：．
【例1-2】（2019秋?瓊山區(qū)校級期末）兩個學(xué)校、開展節(jié)能活動，活動開始后兩學(xué)校的用電量、與時間（天的關(guān)系如圖所示，則一定有
A．比節(jié)能效果好
B．的用電量在，上的平均變化率比的用電量在，上的平均變化率大
C．兩學(xué)校節(jié)能效果一樣好
D．與自節(jié)能以來用電量總是一樣大
【分析】根據(jù)條件判斷兩個學(xué)校的變化率的大小即可．
【解答】解：的變化率大，的變化率小，則比節(jié)能效果好，
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2019秋?武昌區(qū)期末）在內(nèi)將某種藥物注射進患者的血液中．在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．能反映血液中藥物含量隨時間變化的圖象是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減即可得出．
【解答】解：在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加，則第一段圖象為直線，且為增函數(shù)，排除，，
停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．排除．
能反映血液中藥物含量隨時間變化的圖象是．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2020?來賓模擬）近兩年為抑制房價過快上漲，政府出臺了系列以“限購、限外、限貸、限價”為主題的房地產(chǎn)調(diào)控政策．各地房產(chǎn)部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定房價，提出多種方案，其中之一就是在規(guī)定的時間內(nèi)完成房產(chǎn)供應(yīng)量任務(wù)．已知房產(chǎn)供應(yīng)量與時間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則在以下四種房產(chǎn)供應(yīng)方案中，供應(yīng)效率（單位時間的供應(yīng)量）逐步提高的是
A．B．
C．D．
【分析】分析可知，圖象應(yīng)上升的，且越來越陡，由此即可得出選項．
【解答】解：單位時間的供應(yīng)量逐步提高時，供應(yīng)量的增長速度越來越快，
圖象上切線的斜率隨著自變量的增加會越來越大，則曲線是上升的，且越來越陡，
所以函數(shù)的圖象應(yīng)一直下凹的．
故選：．
【名師指導(dǎo)】
判斷函數(shù)圖象與實際問題中兩變量變化過程相吻合的兩種方法
(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．
(2)驗證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案．
題型2 應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實際問題
【例2-1】（2020?山東）基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)隨時間（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率與，近似滿足．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出，．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為
A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天
【分析】根據(jù)所給模型求得，令，求得，根據(jù)條件可得方程，然后解出即可．
【解答】解：把，代入，可得，，
當(dāng)時，，則，
兩邊取對數(shù)得，解得．
故選：．
【例2-2】（2020?新課標(biāo)Ⅲ）模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為
A．60B．63C．66D．69
【分析】根據(jù)所給材料的公式列出方程，解出即可．
【解答】解：由已知可得，解得，
兩邊取對數(shù)有，
解得，
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020春?海淀區(qū)校級期末）盡管目前人類還無法準確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究發(fā)現(xiàn)地震釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為，1976年7月28日我國唐山發(fā)生的里氏7.8級地震與2008年5月12日我國汶川發(fā)生的里氏8.0級地震所釋放出來的能量的比值為
A．B．0.3C．D．
【分析】設(shè)汶川地震所釋放出的能量是，唐山地震所釋放出的能量是，由已知列式結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)求得與的值，作比得答案．
【解答】解：設(shè)汶川地震所釋放出的能量是，唐山地震所釋放出的能量是，
則，，
，；
．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2020?梅州二模）某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲存溫度（單位：滿足函數(shù)關(guān)系為自然對數(shù)的底數(shù)，，為常數(shù)），若該食品在的保鮮時間是384小時，在的保鮮時間是24小時，則該食品在的保鮮時間是 ．
【分析】利用已知條件求出函數(shù)的解析式，然后代入求解即可．
【解答】解：食品的保鮮時間（單位：小時）與儲存溫度（單位：滿足函數(shù)關(guān)系為自然對數(shù)的底數(shù)，，為常數(shù)），若該食品在的保鮮時間是384小時，在的保鮮時間是24小時，
可得：，，解得，，
所以，
該食品在的保鮮時間：（小時）．
故答案為：6．
【名師指導(dǎo)】
求解所給函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點
(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．
(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．
(3)利用該模型求解實際問題．
題型3 構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題
【例3-1】（2020春?內(nèi)江期末）某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其年產(chǎn)量為萬件時利潤為萬元，當(dāng)時，年利潤為，當(dāng)時，年利潤為．
（1）若公司生產(chǎn)量在且年利潤不低于400萬時，求生產(chǎn)量的范圍；
（2）求公司年利潤的最大值．
【分析】（1）令，解之即可；
（2）分段討論出的最大值即可．
【解答】解：（1）當(dāng)時，令，解得；
（2）當(dāng)時，，
故此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則此時最大值為；
當(dāng)時，，則時，，
故此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則此時最大值為，
綜上公司年利潤的最大值為480．
【例3-2】一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq \f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq \f(\r(2),2).
(1)求每年砍伐面積的百分比；
(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？
【解析】 (1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(01)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的單調(diào)性
增函數(shù)
增函數(shù)
增函數(shù)
增長速度
越來越快
越來越慢
相對平穩(wěn)
圖象的變化
隨x值增大，圖象與y軸接近平行
隨x值增大，圖象與x軸接近平行
隨n值變化而不同
單價/元
16
17
18
19
20
21
22
日銷售量/盒
480
440
400
360
320
280
240

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