知識梳理
1．導數(shù)的概念
(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)
一般地，稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率
eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．
(2)導數(shù)的幾何意義
函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù))．相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函數(shù)f(x)的導函數(shù)
稱函數(shù)f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)為f(x)的導函數(shù)．
2．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
3.導數(shù)的運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
4．復合函數(shù)的導數(shù)
復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積．
題型歸納
題型1 導數(shù)的運算
【例1-1】（2020春?房山區(qū)期末）已知函數(shù)，則它的導函數(shù)等于
A．B． C．D．
【分析】根據(jù)題意，有導數(shù)的計算公式可得數(shù)（1），化簡變形即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其導數(shù)（1）；
故選：．
【例1-2】（2020春?南陽期末）已知：函數(shù)，其導函數(shù)．若函數(shù)的導函數(shù)，且，則的值為
A．B．1C．D．
【分析】求出函數(shù)的解析式，計算的值即可．
【解答】解：由題意設，
則，符合題意，
故，解得：，
故，
，
故選：．
【跟蹤訓練1-1】（2020?新課標Ⅲ）設函數(shù)，若（1），則 ．
【分析】先求出函數(shù)的導數(shù)，再根據(jù)（1），求得的值．
【解答】解：函數(shù)，，
若（1），，則，
故答案為：1．
【跟蹤訓練1-2】（2020春?金鳳區(qū)校級期末）已知（1），則（1）的值為 ．
【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導數(shù)，令，可得（1）（1），變形解可得（1）的值．
【解答】解：根據(jù)題意，（1），
其導數(shù)（1），
令，得（1）（1），
所以（1），
故答案為：
【名師指導】
1．求函數(shù)導數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導．
2．常見形式及具體求導6種方法
題型2 求切線方程
【例2-1】（2020春?藍田縣期末）曲線在點處的切線方程為
A．B．C．D．
【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在處的導數(shù)，再由直線方程的斜截式得答案．
【解答】解：由，得，
．
曲線在點處的切線方程為．
即．
故選：．
【例2-2】已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為________．
【解析】因為點(0，－1)不在曲線f(x)＝xln x上，所以設切點為(x0，y0)．又因為f′(x)＝1＋ln x，所以直線l的方程為y＋1＝(1＋ln x0)x.
所以由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝（1＋ln x0）x0，))解得x0＝1，y0＝0.
所以直線l的方程為y＝x－1，
即x－y－1＝0.
【跟蹤訓練2-1】（2020?海東市模擬）已知函數(shù)，則曲線在點處的切線的方程為 ．
【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在處的導數(shù)，再由直線方程的斜截式得答案．
【解答】解：由，得，
，
則曲線在點處的切線的方程為．
故答案為：．
【跟蹤訓練2-2】(2020·江西吉安一模)過點P(1,1)且與曲線y＝x3相切的直線的條數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 當點P為切點時，∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，則曲線y＝x3在點P處的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.當點P不是切點時，設直線與曲線切于點(x0，y0)(x0≠1)，則k＝eq \f(y0－1,x0－1)＝eq \f(x\\al(3,0)－1,x0－1)＝xeq \\al(2,0)＋x0＋1.∵y′＝3x2，∴y′|x＝x0＝3xeq \\al(2,0)，∴2xeq \\al(2,0)－x0－1＝0，∴x0＝1(舍)或x0＝－eq \f(1,2)，∴過點P(1,1)與曲線y＝x3相切的直線方程為3x－4y＋1＝0.綜上，過點P的切線有2條，故選C.
【名師指導】
求曲線過點P的切線方程的方法
(1)當點P(x0，y0)是切點時，切線方程為y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)當點P(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步完成：
第一步：設出切點坐標P′(x1，f(x1))；
第二步：寫出過點P′(x1，f(x1))的切線方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1；
第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點P(x0，y0)的切線方程．
題型3 求切點坐標
【例3-1】（2020春?大興區(qū)期末）過點作曲線的切線，則切點坐標為
A．B．C．D．
【分析】設切點的坐標為，求得函數(shù)的導數(shù)，由導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，再由兩點的斜率公式，解方程可得切點．
【解答】解：設切點的坐標為，
的導數(shù)為，
可得切線的斜率為，
又切線過，可得，
解得，
則切點為．
故選：．
【跟蹤訓練3-1】（2020?沈陽三模）過點作曲線的切線，則切點坐標為 ．
【分析】由已知結合直線的斜率公式及導數(shù)的幾何意義即可求解．
【解答】解：因為，
所以，設切點為，，
，根據(jù)題意可得，
，即切點坐標．
故答案為：．
【名師指導】
求切點坐標的思路
已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數(shù)的導數(shù)，再讓導數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點的橫坐標，將橫坐標代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標．
題型4 由曲線的切線（斜率）求參數(shù)取值范圍
【例4-1】（2020春?海淀區(qū)校級期末）曲線在點處的切線斜率為8，則實數(shù)的值為
A．B．6C．12D．
【分析】求得的導數(shù)，由導數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，解方程可得的值．
【解答】解：的導數(shù)為，
可得在點處的切線斜率為，
解得．
故選：．
【例4-2】（2020春?渭濱區(qū)期末）函數(shù)的圖象存在與直線平行的切線，則實數(shù)的取值范圍是
A．，B．，
C．，，D．，，
【分析】易知切線斜率為1，由題意可知，只需的值域中含有1即可．由此構造的不等式，解出的范圍．
【解答】解：，．
由題意，只需，有解，則只需的值域中包含1即可．
當時，，顯然不符合題意；
當時，的開口向下，在對稱軸處取得最大值，
故，即，結合得，即為所求．
故選：．
【跟蹤訓練4-1】（2020春?未央?yún)^(qū)校級期末）直線與曲線相切，則的值為 ．
【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，設直線與曲線相切于，得到函數(shù)在處的導數(shù)，再由題意列關于與的方程組求解．
【解答】解：由，得，
設直線與曲線相切于，
則．
，解得．
的值為2．
故答案為：2．
【名師指導】
1．利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法
利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進而求出參數(shù)的值或取值范圍．
2．求解與導數(shù)的幾何意義有關問題時應注意的兩點
(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍；
(2)謹記切點既在切線上又在曲線上．
題型5 兩曲線的公切線問題
【例5-1】（2020?上饒三模）已知與有相同的公切線，設直線與軸交于點，，則的值為
A．1B．0C．D．
【分析】分別設出切點，然后利用導數(shù)表示出切線方程，再利用是公切線，列出方程，求出切點，問題即可獲解．
【解答】解：對于，設切點為，因為，故．
故切線方程為：．
即；
對于，設切點為，．
，．
故切線為：，
即．
根據(jù)為公切線得：，
解得．
故切線為．
令得．
故選：．
【跟蹤訓練5-1】（2020?遂寧模擬）若存在，使得函數(shù)與在這兩函數(shù)圖象的公共點處的切線相同，則的最大值為
A．B．C．D．
【分析】設公共點為，然后根據(jù)公共點處函數(shù)值相等、導數(shù)值相等，列出關于公共點滿足的方程組，將消去，得到關于，的等量關系式，整理成（a）的形式，求函數(shù)的最值即可．
【解答】解：設公共點為，，且．
所以，由②得，
解得或（舍．
將代入①式整理得：，
令（a），，
，
令（a）得，，且時，（a）．
故（a）在上遞增，在上遞減．
故（a）．故的最大值為．
故選：．
【名師指導】
解決此類問題通常有兩種方法：一是利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關系式求解；二是設公切線l在y＝f(x)上的切點P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝.原函數(shù)
導函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù))
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)
連乘形式
先展開化為多項式形式，再求導
三角形式
先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導
分式形式
先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導
根式形式
先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導
對數(shù)形式
先化為和、差形式，再求導
復合函數(shù)
先確定復合關系，由外向內(nèi)逐層求導，必要時可換元

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