知識梳理
1．向量的有關(guān)概念
(1)向量的定義及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A為起點、B為終點的向量記作eq \(AB,\s\up7(―→))，也可用黑體的單個小寫字母a，b，c，…來表示向量．
(2)向量的長度(模)：向量eq \(AB,\s\up7(―→))的大小即向量eq \(AB,\s\up7(―→))的長度(模)，記為eq \(|AB|,\s\up7(―→)).
2．幾種特殊向量
3．向量的線性運算
4．共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.
題型歸納
題型1 平面向量的有關(guān)概念
【例1-1】（2020春?臨川區(qū)校級期中）下列說法正確的是（ ）
A．零向量沒有方向
B．向量就是有向線段
C．只有零向量的模長等于0
D．單位向量都相等
【分析】根據(jù)零向量，單位向量、有向線段的定義即可判斷出結(jié)論．
【解答】解：零向量的方向是任意的，故A選項錯誤；
有向線段只是向量的一種表示形式，兩者不等同，故B選項錯誤；
只有零向量的模長等0，故C選項正確；
單位向量模長相等，單位向量若方向不同，則不是相等向量，故D選項錯誤．
故選：C．
【例1-2】（2020春?芮城縣月考）有下列命題：
①兩個相等向量，若它們的起點相同，終點也相同；
②若|a→|=|b→|，則a→=b→；
③若|AB→|=|DC→|，則四邊形ABCD是平行四邊形；
④若m→=n→，n→=k→，則m→=k→；
⑤若a→∥b→，b→∥c→，則a→∥c→；
⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段．
其中，假命題的個數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對選項中的命題判斷真假性即可．
【解答】解：對于①，兩個相等向量時，它們的起點相同，則終點也相同，①正確；
對于②，若|a→|=|b→|，則a→、b→不一定相同，∴②錯誤；
對于③，若|AB→|=|DC→|，AB→、DC→不一定相等，
∴四邊形ABCD不一定是平行四邊形，③錯誤；
對于④，若m→=n→，n→=k→，則m→=k→，④正確；
對于⑤，若a→∥b→，b→∥c→，
當(dāng)b→=0→時，a→∥c→不一定成立，∴⑤錯誤；
對于⑥，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，∴⑥錯誤；
綜上，假命題是②③⑤⑥，共4個．
故選：C．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2019春?城關(guān)區(qū)校級月考）給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的：②若a→，b→都是單位向量，則a→=b→；③向量AB→與BA→相等，則所有正確命題的序號是（ ）
A．①B．③C．①③D．①②
【分析】根據(jù)零向量和單位向量的定義，易知①正確②錯誤，由向量的表示方法可知③錯誤．
【解答】解：根據(jù)零向量的定義可知①正確；
根據(jù)單位向量的定義，單位向量的模相等，但方向可不同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；
AB→與向量BA→互為相反向量，故③錯誤．
故選：A．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2019春?北碚區(qū)期末）下列命題中，正確的個數(shù)是（ ）
①單位向量都相等；
②模相等的兩個平行向量是相等向量；
③若a→，b→滿足|a→|＞|b→|且a→與b→同向，則a→＞b→；
④若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；
⑤若a→∥b→，b→∥c→，則a→∥c→．
A．0個B．1個C．2個D．3個
【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對選項中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可．
【解答】解：對于①，單位向量的大小相等相等，但方向不一定相同，故①錯誤；
對于②，模相等的兩個平行向量是相等向量或相反向量，故②錯誤；
對于③，向量是有方向的量，不能比較大小，故③錯誤；
對于④，向量是可以平移的矢量，當(dāng)兩個向量相等時，
它們的起點和終點不一定相同，故④錯誤；
對于⑤，b→=0→時，a→∥b→，b→∥c→，則a→與c→不一定平行．
綜上，以上正確的命題個數(shù)是0．
故選：A．
【跟蹤訓(xùn)練1-3】（2019?西湖區(qū)校級模擬）下列關(guān)于向量的敘述不正確的是（ ）
A．向量AB→的相反向量是BA→
B．模為1的向量是單位向量，其方向是任意的
C．若A，B，C，D四點在同一條直線上，且AB＝CD，則AB→=CD→
D．若向量a→與b→滿足關(guān)系a→+b→=0→，則a→與b→共線
【分析】根據(jù)相反向量、單位向量的定義即可判斷出選項A，B的敘述是正確的，根據(jù)共線向量基本定理即可判斷選項D的敘述是正確的，從而敘述不正確的只能選C．
【解答】解：根據(jù)相反向量的定義即可判斷選項A的敘述正確；根據(jù)單位向量的定義即可判斷選項B的敘述正確；
AB→與CD→的方向不一定相同，從而得出AB→=CD→是錯誤的；a→+b→=0→，得出a→=-b→，得出a→與b→共線是正確的．
故選：C．
【跟蹤訓(xùn)練1-4】（2019春?民樂縣校級月考）下列關(guān)于向量的結(jié)論：
（1）若|a→|＝|b→|，則a→=b→或a→=-b→；
（2）向量a→與b→平行，則a→與b→的方向相同或相反；
（3）起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
（4）若向量a→與b→同向，且|a→|＞|b→|，則a→＞b→．
其中正確的序號為（ ）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（3）
【分析】根據(jù)向量的定義，平行向量和相等向量的定義判斷即可．
【解答】解：根據(jù)向量的定義可判斷（1）（4）錯誤，向量a→，b→都是零向量時，由向量a→，b→平行得不出方向相同或相反，從而判斷（2）錯誤，根據(jù)相等向量的定義可判斷（3）正確．
故選：D．
【名師指導(dǎo)】
向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點
(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度．
(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制．
(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等．
(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度．
(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0，規(guī)定零向量與任意向量共線．
題型2 向量的線性運算
【例2-1】（2020?海南）在△ABC中，D是AB邊上的中點，則CB→=（ ）
A．2CD→+CA→B．CD→-2CA→C．2CD→-CA→D．CD→+2CA→
【分析】利用向量加法法則直接求解．
【解答】解：在△ABC中，D是AB邊上的中點，
則CB→=CD→+DB→=CD→+AD→
=CD→+(AC→+CD→)
＝2CD→-CA→．
故選：C．
【例2-2】（2020?綏化模擬）已知點D在△ABC的邊AC上，CD＝2DA，點E是BD中點，則EC→=（ ）
A．13AB→+23AC→B．12AB→+23AC→C．-13AB→+56AC→D．-12AB→+56AC→
【分析】根據(jù)條件可畫出圖形，可得出EC→=-12(CD→+CB→)，然后帶人CD→=-23AC→，CB→=AB→-AC→，進(jìn)行向量數(shù)乘運算即可得出答案．
【解答】解：如圖，根據(jù)題意，
EC→=-12(CD→+CB→)=-12?(23CA→+AB→-AC→)=-12?(-23AC→-AC→+AB→)=-12AB→+56AC→．
故選：D．
【例2-3】（2020春?焦作期末）在正方形ABCD中，點M，N分別滿足DM→=MC→，CN→=λNB→，且AD→-AB→=2NM→，則λ＝（ ）
A．2B．1C．12D．13
【分析】可畫出圖形，根據(jù)條件即可得出M為CD的中點，而根據(jù)AD→-AB→=2NM→可得出BD→=2NM→，從而得出N為BC的中點，從而得出CN→=NB→，從而得出λ的值．
【解答】解：如圖，
∵DM→=MC→，∴M為CD的中點，
∵AD→-AB→=BD→=2NM→，
∴N為BC的中點，
∴CN→=NB→，
∴λ＝1．
故選：B．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020春?涼山州期末）如圖，△ABC中，已知CD→=2DB→，則AD→=（ ）
A．13AB→+23AC→B．34AB→+14AC→C．14AB→+34AC→D．23AB→+13AC→
【分析】根據(jù)條件可得出AD→-AC→=2(AB→-AD→)，然后根據(jù)向量的數(shù)乘運算解出向量AD→即可．
【解答】解：∵CD→=2DB→，
∴AD→-AC→=2(AB→-AD→)，
∴AD→=23AB→+13AC→．
故選：D．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2020?東莞市二模）已知A，B，C三點不共線，且點O滿足16OA→-12OB→-3OC→=0→，則（ ）
A．OA→=12AB→+3AC→B．OA→=-12AB→+3AC→
C．OA→=12AB→-3AC→D．OA→=-12AB→-3AC→
【分析】把已知條件整理即可求解結(jié)論．
【解答】解：因為點O滿足16OA→-12OB→-3OC→=0→，
故OA→+12OA→-12OB→+3OA→-3OC→=0→；
即：OA→+12BA→+3CA→=0→?OA→=12AB→+3AC→；
故選：A．
【跟蹤訓(xùn)練2-3】（2020?湖北模擬）△ABC中，點D為BC的中點，AB→=3AE→，M為AD與CE的交點，若AM→=λAD→，則實數(shù)λ＝（ ）
A．14B．13C．25D．12
【分析】根據(jù)D為BC的中點可得出AD→=12AB→+12AC→，再根據(jù)AB→=3AE→即可得出AM→=3λ2AE→+λ2AC→，而根據(jù)E，M，C三點共線即可得出3λ2+λ2=1，解出λ即可．
【解答】解：如圖，D為BC的中點，
∴AD→=12AB→+12AC→，
又∵AM→=λAD→，且AB→=3AE→，
∴AM→=λ2AB→+λ2AC→=3λ2AE→+λ2AC→，且E，M，C三點共線，
∴3λ2+λ2=1，解得λ=12．
故選：D．
【名師指導(dǎo)】
平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略
(1)向量加法或減法的幾何意義：向量加法和減法均適合三角形法則．
(2)求已知向量的和：一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．
題型3 共線向量定理的應(yīng)用
【例3-1】（2020春?新余期末）已知兩個非零向量e1→，e2→不共線，若AB→=λe1→+3e2→，BC→=6e1→+23e2→，CD→=4e1→-8e2→，且A、B、D三點共線，則λ等于 ．
【分析】可求出BD→=10e1→+15e2→，根據(jù)A，B，D三點共線即可得出λe1→+3e2→=10ke1→+15ke2→，然后根據(jù)平面向量基本定理即可求出λ的值．
【解答】解：BD→=BC→+CD→=10e1→+15e2→，
∵A，B，D三點共線，
∴設(shè)AB→=kBD→，即λe1→+3e2→=10ke1→+15ke2→，
∴λ=10k15k=3，解得λ＝2．
故答案為：2．
【例3-2】（2019春?西城區(qū)校級期中）向量OA→=（k，12），OB→=（4，5），OC→=（10，k），當(dāng)k為何值時，A、B、C三點共線．
【分析】由條件和向量的坐標(biāo)運算求出AB→、BC→的坐標(biāo)，再代入向量共線的坐標(biāo)條件求出k的值．
【解答】解：由題意得，AB→=（4﹣k，﹣7），BC→=（6，k﹣5），
∵A、B、C三點共線，∴AB→∥BC→，
∴（4﹣k）（k﹣5）+42＝0，即k2﹣9k﹣22＝0，
解得k＝﹣2或k＝11．
綜上知，當(dāng)k＝﹣2或k＝11時，A、B、C三點共線
【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020?江都區(qū)校級模擬）在△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，記AB→=a→，AC→=b→，若DE→=xa→+yb→，則x+y的值為 ．
【分析】可畫出圖形，根據(jù)AD＝DB，BE＝2EC即可得出DB→=12AB→，BE→=23(AC→-AB→)，再根據(jù)AB→=a→，AC→=b→便可得出DE→=-16a→+23b→，又知DE→=xa→+yb→，這樣根據(jù)平面向量基本定理即可求出x，y的值．
【解答】解：如圖，
∵AD＝DB，BE＝2EC；
∴DB→=12AB→，BE→=23BC→=23(AC→-AB→)，且AB→=a→，AC→=b→；
∴DE→=DB→+BE→=12a→+23(b→-a→)=-16a→+23b→；
又DE→=xa→+yb→；
∴根據(jù)平面向量基本定理得，x=-16，y=23；
∴x+y=12．
故答案為：12．
【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020?茂名二模）設(shè)a→，b→是不共線的兩個平面向量，已知AB→=a→-2b→，BC→=3a→+kb→(k∈R)，若A，B，C三點共線，則k＝（ ）
A．2B．﹣2C．6D．﹣6
【分析】根據(jù)題意，分析可得AB→∥BC→，進(jìn)而可得k-2=31，解可得k的值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，若A，B，C三點共線，則AB→∥BC→，
又由AB→=a→-2b→，BC→=3a→+kb→(k∈R)，則有k-2=31，
解可得k＝﹣6；
故選：D．
【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2020春?臨川區(qū)校級期中）設(shè)a→，b→不共線，AB→=a→+3b→，BC→=a→+2b→，CD→=3a→+mb→，若A，C，D三點共線，則實數(shù)m的值是（ ）
A．23B．15C．72D．152
【分析】根據(jù)A，C，D三點共線，得到AC→=λCD→，即可求解結(jié)論．
【解答】解：∵AB→=a→+3b→，BC→=a→+2b→，∴AC→=AB→+BC→=2a→+5b→，
∵A，C，D三點共線，∴AC→=λCD→，即2a+5b＝λ（3a+mb），
∴2=3λ5=λm，解得λ=23m=152．
故選：D．
【名師指導(dǎo)】
利用向量共線定理證明三點共線
若存在實數(shù)λ，使eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(AC,\s\up7(―→))，則A，B，C三點共線．
[提醒] (1)使用向量共線基本定理的大前提是至少有一個向量是非零向量．
(2)證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點．名稱
定義
備注
零向量
長度為0的向量
零向量記作0，其方向是任意的
單位
向量
長度等于1個單位的向量
單位向量記作a0，a0＝eq \f(a,|a|)
平行
向量
方向相同或相反的非零向量(也叫共線向量)
0與任意向量共線
相等
向量
長度相等且方向相同的向量
相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
相反
向量
長度相等且方向相反的兩個向量
若a，b為相反向量，則a＝－b
向量運算
定義
法則(或幾何意義)
運算律
加法
求兩個向量和的運算

三角形法則 eq \a\vs4\al(平行四邊形,法則)
(1)交換律：
a＋b＝b＋a；
(2)結(jié)合律：
(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
減法
求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差
三角形法則
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
求實數(shù)λ與向量a的積的運算
|λa|＝|λ||a|；當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb

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