[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.通過(guò)實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道導(dǎo)數(shù)是瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想，體會(huì)極限思想.2.通過(guò)函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的導(dǎo)數(shù).4.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(限于形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù).5.會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表．
1．導(dǎo)數(shù)的概念
(1)平均變化率：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，把比值eq \f(Δy,Δx)＝eq \x(\s\up1(01))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．
(2)瞬時(shí)變化率：如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率eq \f(Δy,Δx)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，即eq \f(Δy,Δx)有極限，則稱(chēng)y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱(chēng)為瞬時(shí)變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).
(3)當(dāng)x變化時(shí)，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，稱(chēng)它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù))，即y′＝f′(x)＝eq \x(\s\up1(02))eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).
2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)eq \x(\s\up1(03))P(x0，f(x0))處的切線的斜率，即曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率k0＝f′(x0)，切線方程為eq \x(\s\up1(04))y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
(1)c′＝eq \x(\s\up1(05))0(c為常數(shù))．
(2)(xα)′＝eq \x(\s\up1(06))αxα－1(α∈R，且α≠0)．
(3)(sinx)′＝eq \x(\s\up1(07))csx．
(4)(csx)′＝eq \x(\s\up1(08))－sinx．
(5)(ax)′＝eq \x(\s\up1(09))axln a(a＞0，且a≠1)．
(6)(ex)′＝eq \x(\s\up1(10))ex．
(7)(lgax)′＝eq \x(\s\up1(11))eq \f(1,xln a)(a＞0，且a≠1)．
(8)(ln x)′＝eq \x(\s\up1(12))eq \f(1,x)．
4．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝eq \x(\s\up1(13))f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)g(x)]′＝eq \x(\s\up1(14))f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
特別地：[cf(x)]′＝eq \x(\s\up1(15))cf′(x)(c為常數(shù))．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \x(\s\up1(16))eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
5．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
一般地，對(duì)于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝eq \x(\s\up1(17))yu′·ux′，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于eq \x(\s\up1(18))y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與eq \x(\s\up1(19))u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．
1．可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．
2．兩類(lèi)切線問(wèn)題的區(qū)別
(1)“過(guò)”與“在”：曲線y＝f(x)“在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線”與“過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者P(x0，y0)為切點(diǎn)，而后者P(x0，y0)不一定為切點(diǎn)．
(2)“切點(diǎn)”與“公共點(diǎn)”：曲線的切線與曲線不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)，而直線與二次曲線相切只有一個(gè)公共點(diǎn)．
1．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是( )
A．(sina)′＝csa(a為常數(shù))B．(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2)
C．(3x)′＝3xlg3eD．(eq \r(x＋1))′＝eq \f(2,\r(x＋1))
答案 B
解析 由a為常數(shù)知(sina)′＝0，A錯(cuò)誤；(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2)，B正確；(3x)′＝3xln 3，C錯(cuò)誤；(eq \r(x＋1))′＝[(x＋1)eq \f(1,2)]′＝eq \f(1,2)(x＋1)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2\r(x＋1))，D錯(cuò)誤．故選B.
2．(人教A選擇性必修第二冊(cè)習(xí)題5.1 T1改編)某跳水運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)跳板后，他達(dá)到的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距離單位：米，時(shí)間單位：秒)，則他在0.5秒時(shí)的瞬時(shí)速度為( )
A．9.1米/秒 B．6.75米/秒
C．3.1米/秒 D．2.75米/秒
答案 C
解析 因?yàn)閔′(t)＝－9.8t＋8，所以h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1，所以此運(yùn)動(dòng)員在0.5秒時(shí)的瞬時(shí)速度為3.1米/秒．
3．(人教A選擇性必修第二冊(cè)習(xí)題5.2 T2改編)已知函數(shù)f(x)＝ln (3－2x)＋cs2x，則f′(0)＝________．
答案 －eq \f(2,3)
解析 因?yàn)閒′(x)＝－eq \f(2,3－2x)－2sin2x，所以f′(0)＝－eq \f(2,3).
4．(人教A選擇性必修第二冊(cè)習(xí)題5.2 T5改編)曲線y＝eq \f(csx,x)在點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))處的切線方程為_(kāi)_______．
答案 y＝－eq \f(2,π)x＋1
解析 因?yàn)閥′＝eq \f(（csx）′x－csx·x′,x2)＝eq \f(－xsinx－csx,x2)＝－eq \f(xsinx＋csx,x2)，所以當(dāng)x＝eq \f(π,2)時(shí)，y′＝－eq \f(\f(π,2)×1＋0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))\s\up12(2))＝－eq \f(2,π)，故所求切線方程為y－0＝－eq \f(2,π)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))，即y＝－eq \f(2,π)x＋1.
5．已知直線y＝kx是曲線y＝ex的切線，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_______．
答案 e
解析 y＝ex的導(dǎo)數(shù)為y′＝ex，設(shè)切點(diǎn)為P(x0，ex0)，則在點(diǎn)P處的切線方程為y－ex0＝ex0(x－x0)，將點(diǎn)(0，0)代入，得x0＝1，∴P(1，e)，∴k＝e.
例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
①y＝tanx；②y＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；
③y＝eq \f(1,（2x－1）3)；
④y＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))).
解 ①y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sinx,csx)))′＝eq \f(（sinx）′csx－sinx（csx）′,cs2x)＝eq \f(1,cs2x).
②因?yàn)閥＝x3＋eq \f(1,x2)＋1，所以y′＝3x2－eq \f(2,x3).
③y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,（2x－1）3)))′＝[(2x－1)－3]′＝－3(2x－1)－4×2＝－6(2x－1)－4.
④因?yàn)閥＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝eq \f(1,2)xsin(4x＋π)＝－eq \f(1,2)xsin4x，所以y′＝－eq \f(1,2)sin4x－eq \f(1,2)x·4cs4x＝－eq \f(1,2)sin4x－2xcs4x.
1.(多選)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,x)))′＝1＋eq \f(3,x2)B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2sinx,x2)))′＝eq \f(2xcsx－4sinx,x3)
C．[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2D．(2x＋csx)′＝2xln 2－sinx
答案 BD
解析 對(duì)于A，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,x)))′＝1－eq \f(3,x2)，A不正確；對(duì)于B，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2sinx,x2)))′＝eq \f(2csx·x2－2x·2sinx,（x2）2)＝eq \f(2xcsx－4sinx,x3)，B正確；對(duì)于C，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2·3＝9(3x＋5)2，C不正確；對(duì)于D，(2x＋csx)′＝2xln 2－sinx，D正確．故選BD.
2．已知函數(shù)f(x)＝e2x＋f′(0)ln (x＋4)，則f′(0)＝________．
答案 eq \f(8,3)
解析 因?yàn)閒′(x)＝2e2x＋eq \f(f′（0）,x＋4)，所以f′(0)＝2＋eq \f(f′（0）,4)，解得f′(0)＝eq \f(8,3).
多角度探究突破
角度 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象
例2 (1)(2024·長(zhǎng)春模擬)已知函數(shù)y＝f(x)的部分圖象如圖所示，且f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則( )
A．f′(－1)＝f′(－2)＜0＜f′(1)＜f′(2)
B．f′(2)＜f′(1)＜0＜f′(－1)＝f′(－2)
C．0＞f′(2)＞f′(1)＞f′(－1)＝f′(－2)
D．f′(2)＜f′(1)＜0＜f′(－2)＜f′(－1)
答案 B
解析 f′(－2)，f′(－1)，f′(1)，f′(2)分別表示曲線y＝f(x)在x＝－2，x＝－1，x＝1，x＝2處切線的斜率，結(jié)合圖象可知，當(dāng)x0時(shí)，f′(x)小于0且隨著x的增大而減小，所以f′(2)＜f′(1)＜0＜f′(－1)＝f′(－2)．故選B.
(2)(2023·濟(jì)南檢測(cè))曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(－1，f(－1))處的切線l如圖所示，則f′(－1)＋f(－1)＝________．
答案 －2
解析 ∵直線l過(guò)點(diǎn)(－2，0)和(0，－2)，∴直線l的斜率f′(－1)＝eq \f(0－（－2）,－2－0)＝－1，直線l的方程為y＝－x－2，則f(－1)＝1－2＝－1.故f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2.
導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系
(1)關(guān)系圖
(2)結(jié)論
函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，y＝f(x)增加(或減少)得越快，圖象越“陡峭”；|f′(x)|越小，y＝f(x)增加(或減少)得越慢，圖象越“平緩”．

1．如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是( )
答案 D
解析 由導(dǎo)函數(shù)圖象可知兩函數(shù)的圖象在x0處的切線斜率相等，故選D.
2. (2023·黃岡二模)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，記A＝f′(x1)，B＝f′(x2)，C＝f′(x3)，則A，B，C中最大的是________．
答案 A
解析 作出f(x)在三點(diǎn)處的切線如圖，則A＝f′(x1)，B＝f′(x2)，C＝f′(x3)分別為切線l1，l2，l3的斜率，由圖可知f′(x1)＞f′(x3)＞f′(x2)，即A＞C＞B.
角度 求切點(diǎn)的坐標(biāo)
例3 (2024·山東新高考聯(lián)考)過(guò)點(diǎn)(3，0)作曲線f(x)＝xex的兩條切線，切點(diǎn)分別為(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，則x1＋x2＝( )
A．－3 B．－eq \r(3)
C.eq \r(3) D．3
答案 D
解析 因?yàn)閒(x)＝xex，所以f′(x)＝(x＋1)ex，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x0ex0)，所以f′(x0)＝(x0＋1)ex0，所以切線方程為y－x0ex0＝(x0＋1)ex0·(x－x0)，所以－x0ex0＝(x0＋1)ex0(3－x0)，即(－xeq \\al(2,0)＋3x0＋3)ex0＝0，依題意關(guān)于x0的方程(－xeq \\al(2,0)＋3x0＋3)ex0＝0有兩個(gè)不同的解x1，x2，即關(guān)于x0的方程－xeq \\al(2,0)＋3x0＋3＝0有兩個(gè)不同的解x1，x2，所以x1＋x2＝3.故選D.
求切點(diǎn)坐標(biāo)的一般步驟
若曲線y＝xln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
答案 (e，e)
解析 設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·eq \f(1,x)＝1＋ln x．∴曲線y＝xln x在點(diǎn)P處的切線斜率k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e，y0＝eln e＝e，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(e，e)．
角度 求切線的方程
例4 (1)(2023·全國(guó)甲卷)曲線y＝eq \f(ex,x＋1)在點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(e,2)))處的切線方程為( )
A．y＝eq \f(e,4)x B．y＝eq \f(e,2)x
C．y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4) D．y＝eq \f(e,2)x＋eq \f(3e,4)
答案 C
解析 設(shè)曲線y＝eq \f(ex,x＋1)在點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(e,2)))處的切線方程為y－eq \f(e,2)＝k(x－1)，因?yàn)閥＝eq \f(ex,x＋1)，所以y′＝eq \f(ex（x＋1）－ex,（x＋1）2)＝eq \f(xex,（x＋1）2)，所以k＝y(tǒng)′|x＝1＝eq \f(e,4)，所以y－eq \f(e,2)＝eq \f(e,4)(x－1)，所以曲線y＝eq \f(ex,x＋1)在點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(e,2)))處的切線方程為y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4).故選C.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y＝ln |x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為_(kāi)_______，________．
答案 y＝eq \f(1,e)x y＝－eq \f(1,e)x
解析 當(dāng)x＞0時(shí)，y＝ln x，設(shè)切點(diǎn)為(x0，ln x0)，由y′＝eq \f(1,x)，所以y′|x＝x0＝eq \f(1,x0)，所以切線方程為y－ln x0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以－ln x0＝eq \f(1,x0)(－x0)，解得x0＝e，所以切線方程為y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即y＝eq \f(1,e)x；當(dāng)x＜0時(shí)，y＝ln (－x)，設(shè)切點(diǎn)為(x1，ln (－x1))，由y′＝eq \f(1,x)，所以y′|x＝x1＝eq \f(1,x1)，所以切線方程為y－ln (－x1)＝eq \f(1,x1)(x－x1)，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以－ln (－x1)＝eq \f(1,x1)(－x1)，解得x1＝－e，所以切線方程為y－1＝eq \f(1,－e)(x＋e)，即y＝－eq \f(1,e)x.
求曲線的切線方程的方法
(1)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)時(shí)，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)不是切點(diǎn)時(shí)，解題步驟如下：
提醒：“在點(diǎn)P處的切線”一定是以點(diǎn)P為切點(diǎn)；“過(guò)點(diǎn)P的切線”，不論點(diǎn)P在不在曲線上，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)．
1.(2023·宜昌四模)函數(shù)y＝f(x)＝sin2x＋csx的圖象在點(diǎn)(0，1)處的切線方程為_(kāi)_______．
答案 2x－y＋1＝0
解析 f′(x)＝2cs2x－sinx，故f′(0)＝2，故在點(diǎn)(0，1)處的切線方程為y－1＝2(x－0)，化簡(jiǎn)得2x－y＋1＝0.
2．(2024·紹興模擬)過(guò)點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，0))作曲線y＝x3的切線，寫(xiě)出一條切線方程：________________．
答案 y＝0或y＝3x＋2(寫(xiě)出一條即可)
解析 由y＝x3可得y′＝3x2，設(shè)過(guò)點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，0))作曲線y＝x3的切線的切點(diǎn)為(x0，y0)，則y0＝xeq \\al(3,0)，則該切線方程為y－y0＝3xeq \\al(2,0)(x－x0)，將eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，0))代入得－xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)－x0))，解得x0＝0或x0＝－1，故切點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)或(－1，－1)，故切線方程為y＝0或y＝3x＋2.
角度 求參數(shù)的值或取值范圍
例5 (1)(2023·山東部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)設(shè)點(diǎn)P是曲線y＝x3－eq \r(3)x＋eq \f(2,3)上的任意一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)P處切線的傾斜角α的取值范圍為( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,6)))
答案 C
解析 因?yàn)閥′＝3x2－eq \r(3)≥－eq \r(3)，故切線的斜率k≥－eq \r(3)，所以切線的傾斜角α的取值范圍為eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π)).故選C.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________．
答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析 因?yàn)閥＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.設(shè)切點(diǎn)為A(x0，(x0＋a)ex0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，依題意得，切線斜率kOA＝(x0＋a＋1)ex0＝eq \f(（x0＋a）ex0,x0)，化簡(jiǎn)，得xeq \\al(2,0)＋ax0－a＝0.因?yàn)榍€y＝(x＋a)ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，所以關(guān)于x0的方程xeq \\al(2,0)＋ax0－a＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范圍是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
處理與切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題的策略
(1)依據(jù)：曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系
①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；
②切點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足切線方程；
③切點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足曲線方程．
(2)方法：列出關(guān)于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)并解出參數(shù)．
提醒：注意曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．
(2024·襄陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(e－2x－1，x0，由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，則切線的斜率為k＝f′(a)＝－4a，由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－eq \f(3,x)－1，則切線的斜率為k＝g′(a)＝－eq \f(3,a)－1，因?yàn)閮珊瘮?shù)的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處切線相同，所以－4a＝－eq \f(3,a)－1，解得a＝1或a＝－eq \f(3,4)(舍去)，又g(1)＝－1，即公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－1)，將點(diǎn)(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.
課時(shí)作業(yè)
一、單項(xiàng)選擇題
1．(2024·重慶南開(kāi)中學(xué)模擬)若f(x)＝cs2x，則f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝( )
A．－1 B．1
C.eq \r(2) D.eq \f(\r(2),2)
答案 A
解析 因?yàn)閒(x)＝cs2x＝eq \f(1＋cs2x,2)，所以f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs2x,2)＋\f(1,2)))′＝eq \f(1,2)×(－sin2x)×(2x)′＝－sin2x，所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－sineq \f(π,2)＝－1.
2．曲線y＝f(x)在x＝1處的切線如圖所示，則f′(1)－f(1)＝( )
A．0B．2
C．－2D．－1
答案 C
解析 設(shè)曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝kx＋b，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2，,－2k＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1，,b＝2，))所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝x＋2，所以f′(1)＝1，f(1)＝1＋2＝3，因此f′(1)－f(1)＝1－3＝－2.故選C.
3．(2024·濰坊模擬)設(shè)f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（1）－f（1＋2Δx）,Δx)＝－2，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為( )
A．2 B．－1
C．1 D．－eq \f(1,2)
答案 C
解析 f′(1)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（1）－f（1＋2Δx）,－2Δx)＝－eq \f(1,2)eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（1）－f（1＋2Δx）,Δx)＝1.故曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為1.故選C.
4．(2024·深圳模擬)已知曲線y＝axex＋ln x在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y＝3x＋b，則( )
A．a(chǎn)＝e，b＝－2 B．a(chǎn)＝e，b＝2
C．a(chǎn)＝e－1，b＝－2 D．a(chǎn)＝e－1，b＝2
答案 C
解析 y′＝aex＋axex＋eq \f(1,x)，切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝ae＋ae＋1＝2ae＋1＝3，∴ae＝1，∴a＝eq \f(1,e)＝e－1.將(1，1)代入y＝3x＋b得3＋b＝1，∴b＝－2.故選C.
5．(2023·保定模擬)吹氣球時(shí)，氣球的體積V(單位：L)與半徑r(單位：dm)之間的關(guān)系是V＝eq \f(4,3)πr3.當(dāng)V＝eq \f(4π,3) L時(shí)，氣球的瞬時(shí)膨脹率(氣球半徑關(guān)于氣球體積的瞬時(shí)變化率)為( )
A．eq \f(1,4π) dm/L B．eq \f(1,3) dm/L
C．3 L/dm D．4π L/dm
答案 A
解析 ∵V＝eq \f(4,3)πr3，∴r＝eq \r(3,\f(3V,4π))，∴r′＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3V,4π)))－eq \s\up7(\f(2,3))×eq \f(3,4π)＝eq \f(1,4π)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3V,4π)))－eq \s\up7(\f(2,3))，當(dāng)V＝eq \f(4π,3) L時(shí)，r′＝eq \f(1,4π)，∴氣球的瞬時(shí)膨脹率為eq \f(1,4π) dm/L.故選A.
6．(2024·宣城模擬)若曲線y＝aln x＋x2(a>0)的切線的傾斜角的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，則a＝( )
A.eq \f(1,24) B.eq \f(3,8)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(3,2)
答案 B
解析 由題意知，y′＝eq \f(a,x)＋2x≥2eq \r(2a)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq \r(\f(a,2))時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)榍€的切線的傾斜角的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，所以斜率k≥eq \r(3)，則eq \r(3)＝2eq \r(2a)，解得a＝eq \f(3,8).
7．(2024·荊門(mén)龍泉中學(xué)質(zhì)檢)過(guò)點(diǎn)P(1，2)作曲線C：y＝eq \f(4,x)的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x＋y－6＝0
C．2x＋y－4＝0 D．x＋2y－5＝0
答案 A
解析 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝eq \f(4,x)，得y′＝－eq \f(4,x2)，∴曲線C在A點(diǎn)處的切線方程為y－y1＝－eq \f(4,xeq \\al(2,1))(x－x1)，把P(1，2)代入切線方程，得2－y1＝－eq \f(4,xeq \\al(2,1))(1－x1)，化簡(jiǎn)得2x1＋y1－8＝0，同理可得曲線C在B點(diǎn)處的切線方程為2x2＋y2－8＝0，∵A，B都滿(mǎn)足直線2x＋y－8＝0，∴直線AB的方程為2x＋y－8＝0.故選A.
8．(2023·成都模擬)已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln 2＝0，則eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)的最小值為( )
A.eq \f(\r(10),5) B.eq \f(2\r(5),5)
C.eq \f(2\r(10),5) D.eq \f(2\r(15),5)
答案 B
解析 eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)的最小值可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝ln x－x＋2圖象上的點(diǎn)與直線x＋2y－4－2ln 2＝0上的點(diǎn)的距離的最小值，由y＝ln x－x＋2，可得y′＝eq \f(1,x)－1，與直線x＋2y－4－2ln 2＝0平行的直線的斜率為－eq \f(1,2)，令eq \f(1,x)－1＝－eq \f(1,2)，得x＝2，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，ln 2)，切點(diǎn)到直線x＋2y－4－2ln 2＝0的距離d＝eq \f(|2＋2ln 2－4－2ln 2|,\r(1＋4))＝eq \f(2\r(5),5).故選B.
二、多項(xiàng)選擇題
9．(2023·遼寧本溪高級(jí)中學(xué)期末)若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱(chēng)y＝f(x)具有T性質(zhì)．下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是( )
A．y＝csx B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x2
答案 AD
解析 由題意y＝f(x)具有T性質(zhì)，則存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1.對(duì)于A，f′(x)＝－sinx，存在x1＝eq \f(π,2)，x2＝－eq \f(π,2)，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；對(duì)于B，f′(x)＝eq \f(1,x)＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；對(duì)于C，f′(x)＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；對(duì)于D，f′(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－eq \f(1,4)，使得f′(x1)f′(x2)＝4x1x2＝－1.故選AD.
10．若直線y＝3x＋m是曲線y＝x3(x＞0)與曲線y＝－x2＋nx－6(x＞0)的公切線，則( )
A．m＝－2 B．m＝－1
C．n＝6 D．n＝7
答案 AD
解析 設(shè)直線y＝3x＋m與曲線y＝x3(x＞0)相切于點(diǎn)(a，a3)，對(duì)于函數(shù)y＝x3(x＞0)，y′＝3x2，則3a2＝3(a＞0)，解得a＝1，所以13＝3＋m，即m＝－2；設(shè)直線y＝3x－2與曲線y＝－x2＋nx－6(x＞0)相切于點(diǎn)(b，3b－2)，對(duì)于函數(shù)y＝－x2＋nx－6(x＞0)，y′＝－2x＋n，則－2b＋n＝3(b＞0)，又－b2＋nb－6＝3b－2，所以－b2＋b(3＋2b)－6＝3b－2，又b＞0，所以b＝2，n＝7.故選AD.
11．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，記g(x)＝f′(x)．若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－2x))，g(2＋x)均為偶函數(shù)，則( )
A．f(0)＝0 B．geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
答案 BC
解析 因?yàn)閒eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－2x))為偶函數(shù)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－2x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋2x))，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(3,2)對(duì)稱(chēng)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－2×\f(5,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋2×\f(5,4)))，即f(－1)＝f(4)，故C正確；因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(3,2)對(duì)稱(chēng)，所以f(x)＝f(3－x)，所以f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＝－g(3－x)，所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))對(duì)稱(chēng)，所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝0，g(1)＝－g(2)，又g(2＋x)為偶函數(shù)，所以g(2＋x)＝g(2－x)，函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)，所以g(x)的周期T＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(3,2)))＝2，所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正確，D錯(cuò)誤；不妨取f(x)＝1(x∈R)，經(jīng)驗(yàn)證滿(mǎn)足題意，但f(0)＝1，故A錯(cuò)誤．故選BC.
三、填空題
12．(2024·廣州模擬)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿(mǎn)足f(x)＝x3－xf′(2)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為_(kāi)_______________．
答案 6x－y－16＝0
解析 對(duì)函數(shù)f(x)＝x3－xf′(2)，求導(dǎo)可得f′(x)＝3x2－f′(2)，得f′(2)＝3×22－f′(2)，因而切線的斜率k＝f′(2)＝6，又f(2)＝23－2×f′(2)＝8－12＝－4，由點(diǎn)斜式可得切線方程為y＋4＝6(x－2)，即6x－y－16＝0.
13．(2024·廣東省四校聯(lián)考)對(duì)于二元函數(shù)z＝f(x，y)，若eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx，y0）－f（x0，y0）,Δx)存在，則稱(chēng)eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx，y0）－f（x0，y0）,Δx)為f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記為f′x(x0，y0)；若eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δy→0)) eq \f(f（x0，y0＋Δy）－f（x0，y0）,Δy)存在，則稱(chēng)eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δy→0)) eq \f(f（x0，y0＋Δy）－f（x0，y0）,Δy)為f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，記為f′y(x0，y0)．已知二元函數(shù)z＝f(x，y)＝x2－2xy＋y3(x>0，y>0)，則f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)的最小值為_(kāi)_______．
答案 －eq \f(1,3)
解析 根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，在求對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，f(x，y)中y可作為常數(shù)，即函數(shù)可看作是x的一元函數(shù)求導(dǎo)，同理在求對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，f(x，y)中x可作為常數(shù)，即函數(shù)可看作是y的一元函數(shù)求導(dǎo)，所以f′x(x，y)＝2x－2y，f′y(x，y)＝－2x＋3y2，f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)＝2x0－2y0－2x0＋3yeq \\al(2,0)＝3yeq \\al(2,0)－2y0＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0－\f(1,3)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,3)，所以f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)的最小值是－eq \f(1,3).
14．(2023·長(zhǎng)沙模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝mex－ln x，參數(shù)m＞0，過(guò)點(diǎn)(0，1)作曲線C：y＝f(x)的切線(斜率存在)，則切線的斜率為_(kāi)_______(用含m的式子表示)．
答案 me－1
解析 由f(x)＝mex－ln x，得f′(x)＝mex－eq \f(1,x)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t，met－ln t)，則f′(t)＝met－eq \f(1,t)，∴過(guò)切點(diǎn)的切線方程為y－(met－ln t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(met－\f(1,t)))(x－t)，把(0，1)代入，可得1－(met－ln t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(met－\f(1,t)))(0－t)，整理得met(t－1)＋ln t＝0，令g(t)＝met(t－1)＋ln t，g′(t)＝mtet＋eq \f(1,t)>0，g(t)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又g(1)＝0，∴1－(met－ln t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(met－\f(1,t)))(0－t)的根為t＝1，∴切線的斜率為f′(1)＝me－1.
四、解答題
15．(2022·全國(guó)乙卷改編)已知函數(shù)f(x)＝ln (1＋x)＋eq \f(x,ex)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程．
解 因?yàn)閒(0)＝0，所以切點(diǎn)為(0，0)，因?yàn)閒′(x)＝eq \f(1,1＋x)＋eq \f(1－x,ex)，f′(0)＝2，所以切線斜率為2，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝2x.
16．已知曲線y＝x3＋x－2在點(diǎn)P0處的切線l1平行于直線4x－y－1＝0，且點(diǎn)P0在第三象限．
(1)求切點(diǎn)P0的坐標(biāo)；
(2)若直線l⊥l1，且l也過(guò)切點(diǎn)P0，求直線l的方程．
解 (1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－4.
又點(diǎn)P0在第三象限，
∴切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(－1，－4)．
(2)∵直線l⊥l1，l1的斜率為4，
∴直線l的斜率為－eq \f(1,4).
∵l過(guò)切點(diǎn)P0，點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(－1，－4)，
∴直線l的方程為y＋4＝－eq \f(1,4)(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
17．已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率為－3，求a，b的值；
(2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．
解 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由題意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）＝b＝0，,f′（0）＝－a（a＋2）＝－3，))
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因?yàn)榍€y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，所以關(guān)于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－eq \f(1,2).
所以a的取值范圍為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).考向一 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
考向二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
x
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))
－eq \f(1,3)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)， 0))
0
(0，1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
h(x)
單調(diào)遞減
eq \f(5,27)
單調(diào)遞增
eq \f(1,4)
單調(diào)遞減
－1
單調(diào)遞增

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