2024年新高考數(shù)學一輪復習題型歸納與達標檢測第5講函數(shù)及其表示（講）（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

知識梳理
1．函數(shù)的有關(guān)概念
(1)函數(shù)的定義域、值域：
在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．
(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系．
(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．
2．函數(shù)的三種表示法
3．分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．
核心素養(yǎng)分析
本單元的學習，可以幫助學生建立完整的函數(shù)概念，不僅把函數(shù)理解為刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學語言和工具，也把函數(shù)理解為實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系。
重點提升數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)。
題型歸納
題型1 函數(shù)的定義域
【例1-1】（2020?東城區(qū)一模）函數(shù)f(x)=x-2x2+1的定義域為（）
A．（﹣1，2]B．[2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）
【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)大于或等于0，列不等式求出解集即可．
【解答】解：函數(shù)f(x)=x-2x2+1，
令x-2x2+1≥0，得x﹣2≥0，
解得x≥2，
所以f（x）的定義域為[2，+∞）．
故選：B．
【例1-2】（2020春?邯山區(qū)校級月考）函數(shù)y＝f（x）的定義域為[﹣1，2]，則函數(shù)y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定義域為（）
A．[﹣1，3]B．[0，2]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]
【分析】由已知可得-1≤1+x≤2-1≤1-x≤2，求解不等式組得答案．
【解答】解：∵函數(shù)y＝f（x）的定義域為[﹣1，2]，
∴由-1≤1+x≤2-1≤1-x≤2，解得﹣1≤x≤1．
∴函數(shù)y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定義域為[﹣1，1]．
故選：C．
【例1-3】（2019秋?武邑縣校級期中）若函數(shù)f(x)=xmx2-mx+2的定義域為R，則實數(shù)m取值范圍是．
【分析】根據(jù)題意知不等式mx2﹣mx+2＞0恒成立，討論m＝0和m≠0時，分別求出滿足條件的m取值范圍即可．
【解答】解：函數(shù)f(x)=xmx2-mx+2的定義域為R，
則mx2﹣mx+2＞0恒成立，
當m＝0時，不等式為2＞0，滿足題意；
當m≠0時，應(yīng)滿足m＞0△=m2-8m＜0，解得0＜m＜8；
綜上，實數(shù)m的取值范圍是[0，8）．
故答案為：[0，8）．
【跟蹤訓練1-1】（2020?北京）函數(shù)f （x）=1x+1+lnx的定義域是．
【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式組，解不等式即可．
【解答】解：要使函數(shù)有意義，則x+1≠0x＞0，
得x≠-1x＞0，
即x＞0且x≠﹣1，
即函數(shù)的定義域為{x|x＞0}，
故答案為：{x|x＞0}．
【跟蹤訓練1-2】（2019秋?椒江區(qū)校級月考）已知f(x)=x+1-mx2+6mx+m+10的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是．
【分析】根據(jù)f（x）的定義域為R即可得出，不等式﹣mx2+6mx+m+10＞0的解集為R，容易看出m＝0時滿足題意，m≠0時，得出m需滿足-m＞0△=(6m)2+4m(m+10)＜0，解出m的范圍即可．
【解答】解：∵f（x）的定義域為R，
∴﹣mx2+6mx+m+10＞0的解集為R，
①m＝0時，10＞0恒成立；
②m≠0時，-m＞0△=(6m)2+4m(m+10)＜0，解得﹣1＜m＜0；
∴實數(shù)m的取值范圍是{m|﹣1＜m≤0}．
故答案為：{m|﹣1＜m≤0}．
【名師指導】
1.常見函數(shù)的定義域
2.求抽象函數(shù)定義域的方法
題型2 求函數(shù)的解析式
【例2-1】（2020春?鄭州期中）已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），且f(x)=2f(1x)?x-1，則f（x）＝（）
A．13x+23(x＞0)B．23x+13(x＞0)
C．x+1(x＞0)D．x-1(x＞0)
【分析】在已知函數(shù)解析式中，以1x替換x，得到f(1x)=2f(x)?1x-1，與已知等式聯(lián)立即可求得f（x）的解析式．
【解答】解：由f(x)=2f(1x)?x-1，①
以1x替換x，得f(1x)=2f(x)?1x-1，②
把②代入①，可得f(x)=2x[2f(x)?1x-1]-1，
即3f(x)=2x+1．
∴f（x）=23x+13（x＞0）．
故選：B．
【跟蹤訓練2-1】（2020春?蓮湖區(qū)校級期中）已知y＝f（x）是一次函數(shù)，且有f[f（x）]＝16x﹣15，則f（x）的解析式為．
【分析】由題意設(shè)f（x）＝ax+b，代入f（f（x））＝16x﹣15，化簡后列出方程組，解出a，b的值即可．
【解答】解：由題意設(shè)f（x）＝ax+b，
∴f（f（x））＝a（ax+b）+b＝a2x+ab+b＝16x﹣15，
則a2=16ab+b=-15，解得a=-4b=5或a=4b=-3，
∴f（x）＝4x﹣3或f（x）＝﹣4x+5，
故答案為：f（x）＝4x﹣3或f（x）＝﹣4x+5．
【名師指導】
求函數(shù)解析式的方法
(1)待定系數(shù)法
先設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程(組)，通過解方程(組)求出相應(yīng)的待定系數(shù)．
(2)換元法
對于形如y＝f(g(x))的函數(shù)解析式，令t＝g(x)，從中求出x＝φ(t)，然后代入表達式求出f(t)，再將t換成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范圍．
(3)配湊法
由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．
(4)解方程組法
已知關(guān)于f(x)與feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))或f(－x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．
題型3 分段函數(shù)
【例3-1】（2020?漢中二模）設(shè)f（x）=x-2，x≥10f[f(x+6)]，x＜10，則f（5）的值為（）
A．10B．11C．12D．13
【分析】欲求f（5）的值，根據(jù)題中給出的分段函數(shù)，只要將問題轉(zhuǎn)化為求x≥10內(nèi)的函數(shù)值即可求出其值．
【解答】解析：∵f（x）=x-2(x≥10)f[f(x+6)](x＜10)，
∴f（5）＝f[f（11）]
＝f（9）＝f[f（15）]
＝f（13）＝11．
故選：B．
【例3-2】（2019秋?連云港期末）已知函數(shù)f(x)=lgx(x＞0)2x(x≤0)，若f(m)=12，則m＝．
【分析】由于函數(shù)f（x）為分段函數(shù)，故方程f(m)=12可轉(zhuǎn)化為不等式組，分別解得方程的解即可
【解答】解：f(m)=12?m＞0lgm=12或m≤02m=12
解得m=10或m＝﹣1
故答案為10或﹣1
【跟蹤訓練3-1】（2020?寶雞二模）若f（x）=sinπx6(x≤0)1-2x(x＞0)，則f[f（3）]＝．
【分析】先求出f（3）來，再求f[f（3）]，一定要注意定義域選擇好解析式．
【解答】解：f（3）＝1﹣2×3＝﹣5
f[f（3）]＝f（﹣5）＝sin（-5π6）=-12
故答案為-12．
【跟蹤訓練3-2】（2020春?和平區(qū)期末）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+2(x≤2)2x(x＞2)，若f（x0）＝8，則x0＝．
【分析】按照x0≤2與x0＞2兩種情況，分別得到關(guān)于x0的方程，解之并結(jié)合大前提可得到方程的解，最后綜合即可．
【解答】解：由題意，得
①當x0≤2時，有x02+2＝8，解之得x0＝±6，
而6＞2不符合，所以x0=-6；
②當x0＞2時，有2x0＝8，解之得x0＝4．
綜上所述，得x0＝4或-6．
故答案為：4或-6．
【名師指導】
1.求分段函數(shù)的函數(shù)值的步驟
(1)先確定要求值的自變量屬于哪一個區(qū)間．
(2)然后代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求值，直到求出具體值為止．
2.求參數(shù)或自變量的值(范圍)的解題思路
(1)解決此類問題時，先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數(shù)的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結(jié)果合起來(取并集)即可．
(2)如果分段函數(shù)的圖象易得，也可以畫出函數(shù)圖象后結(jié)合圖象求解．解析法
圖象法
列表法
就是把變量x，y之間的關(guān)系用一個關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)來表示，通過關(guān)系式可以由x的值求出y的值.
就是把x，y之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個點的坐標就是相應(yīng)的變量x，y的值.
就是將變量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.

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