知識梳理
1. 斜率存在的兩條直線平行與垂直
若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
則l1∥l2? ；
l1⊥l2? ；
l1與l2重合? ．
2. 直線的一般式方程中的平行與垂直條件
若直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(其中A1，B1不同時為0，A2，B2不同時為0)，則l1∥l2? C1；l1⊥l2? ．
3. 兩直線的交點
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點的坐標與方程組
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對應．
(1)相交? ；
(2)平行? ；
(3)重合? ．
4. 已知兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則兩點間的距離為d＝ ．
5. 設點P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)，則點P到直線l的距離為d＝
．
兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時為0)之間的距離d＝ ．
7.五種常用對稱關(guān)系
(1)點(x，y)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為 ．
(2)點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為 ，關(guān)于y軸的對稱點為 ．
(3)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為 ，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為 ．
(4)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為 ，關(guān)于直線y＝b的對稱點為( ．
(5)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為 ．
【2020年新課標3卷文科】點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（ ）
A．1B．C．D．2
1、(2022·廣東模擬)已知a∈R，則直線l1：x＋ay－1＝0與直線l2：(1－a)x＋2ay－1＝0平行的充要條件是( )
A. a≠0 B. a＝0
C. a＝－1 D. a＝0或a＝－1
2、(2022·濰坊二模)已知直線l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，則a的值為( )
A. eq \f(1,3) B. － eq \f(1,3) C. 3 D. －3
3、 已知點(a，2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a的值為________．
4、若直線2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一點，則a的值為________．
考向一 兩條直線的位置關(guān)系
例1、(1)已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實數(shù)a的值為( )
A．－eq \f(3,2) B．0 C．－eq \f(3,2)或0 D．2
(2)已知兩條直線l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0垂直，則a等于( )
A．1 B．eq \f(1,3) C．0 D．0或eq \f(1,3)
變式1、已知直線l1：ax＋2y＋3＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1) 當l1∥l2時，求實數(shù)a的值；
(2) 當l1⊥l2時，求實數(shù)a的值．
變式2、（1）（2022年遼寧省大連市高三模擬試卷） “”是“直線與平行”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
（2）（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考模擬預測）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
方法總結(jié)：(1)當直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．
(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．
考向二 兩條直線的交點問題
例2、已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－ eq \f(1,2)x＋2的交點位于第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是__________．
變式1、三條直線l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0構(gòu)成一個三角形，則k的取值范圍是( )
A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1
變式2、求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程．
方法總結(jié)：(1)求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點的坐標．
(2)求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，常用的直線系方程如下：
①與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R，且m≠C)；②與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③過直線l1：A1x＋B1y＋C1 ＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
考向三 兩直線及點到直線的距離問題
例3、已知點P(2，－1)．
(1)求過點P且與原點距離為2的直線l的方程．
(2)求過點P且與原點距離最大的直線l的方程，并求出最大距離．
(3)是否存在過點P且與原點距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由．
變式1、（2022年重慶市巴蜀中學高三模擬試卷）若直線與垂直，直線的方程為，則與間的距離為（ ）
A. B. C. D.
變式2、(1) 已知直線l過點P(3,4)且與點A(－2，2)，點B(4，－2)的距離相等，則直線l的方程為 .
(2) 若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq \f(2\r(,13),13)，則eq \f(c＋2,a)的值為 .
變式3、已知直線l經(jīng)過直線l1：2x＋y－5＝0與直線l2：x－2y＝0的交點P.
(1) 若點A(5，0)到直線l的距離為3，求直線l的方程；
(2) 求點A(5，0)到直線l距離的最大值．
方法總結(jié)：1．點到直線的距離的求法
可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式．
2．兩平行線間的距離的求法
(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離．(2)利用兩平行線間的距離公式．
考向四 直線的對稱性
例4、已知直線l：x＋2y－2＝0.
(1) 求直線l關(guān)于點A(1，1)對稱的直線方程；
(2) 求直線l1：y＝x－2關(guān)于直線l對稱的直線l2的方程．
變式1、 已知△ABC的兩個頂點A(－1，5)和B(0，－1)，若∠ACB的平分線所在的直線方程為2x－3y＋6＝0，則BC邊所在的直線方程為______________；
變式2、 如圖，已知點A(4，0)，B(0，4)，從點P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后射到直線OB上，再經(jīng)直線OB反射后又回到點P，則光線所經(jīng)過的路程是________．
變式3、已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：
(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標；
(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；
(3)直線l關(guān)于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程．
方法總結(jié)：對稱性問題有三類：一是點關(guān)于點對稱；二是點關(guān)于線對稱；三是線關(guān)于線對稱；點關(guān)于點對稱問題比較簡單，只要用中點坐標公式即可；點關(guān)于線對稱要用到兩個條件，一是已知點和對稱點的連線與已知直線垂直，二是已知點和對稱點的中點在已知直線上；線關(guān)于線對稱問題，一般是在某一條直線上找兩個點，求出這兩個點關(guān)于另一條直線的對稱點，然后用兩點式求出其方程．通常情況下會用到兩直線的交點．
1、(2022·武漢部分學校9月起點質(zhì)量檢測)在平面直角坐標系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一組對邊所在的直線方程分別為eq 3x－4y＋c\s\d(1)＝0，eq 3x－4y＋c\s\d(2)＝0，則|eq c\s\d(1)－c\s\d(2)|＝
A．eq 2\r(,3) B．eq 2\r(,5) C．2 D．4
2、(2022·湖北華中師大附中等六校開學考試聯(lián)考)已知兩點，，動點在直線上運動，則的最小值為（ ）
A B. C. 4D. 5
3、（2020·山東高三開學考試）已知，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
4、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學?？寄M預測）（多選題）已知直線和點，過點A作直線與直線相交于點B，且，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
5、(2022·蘇州模擬)已知直線l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下結(jié)論不正確的是( )
A．不論a為何值時，l1與l2都互相垂直
B．當a變化時，l1與l2分別經(jīng)過定點A(0,1)和B(－1,0)
C．不論a為何值，l1與l2都關(guān)于直線x＋y＝0對稱
D．如果l1與l2交于點M，O為坐標原點，則|MO|的最大值是eq \r(2)
6、定義點P(x0，y0)到直線l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距離為d＝eq \f(ax0＋by0＋c,\r(a2＋b2)).已知點P1，P2到直線l的有向距離分別是d1，d2.以下命題正確的是( )
A．若d1＝d2＝1，則直線P1P2與直線l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，則直線P1P2與直線l垂直
C．若d1＋d2＝0，則直線P1P2與直線l垂直
D．若d1·d2≤0，則直線P1P2與直線l相交

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