【清單01】數(shù)列的通項(xiàng)公式
類型Ⅰ觀察法：
已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．
類型Ⅱ公式法：
若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式構(gòu)造兩式作差求解．
用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．
類型Ⅲ累加法：
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；
= 2 \* GB3 ②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；
= 3 \* GB3 ③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；
= 4 \* GB3 ④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．
類型Ⅳ累乘法：
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：
有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．
類型Ⅴ構(gòu)造數(shù)列法：
㈠形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：
（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；
（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：
法一：設(shè)，展開移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出
㈡形如型的遞推式：
⑴當(dāng)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時(shí)：
法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出
⑵當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時(shí)：
法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r(shí)，由遞推式得：——①，，兩邊同時(shí)乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方法解決．
⑶當(dāng)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：
在兩邊同時(shí)除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得．
類型Ⅵ對(duì)數(shù)變換法：
形如型的遞推式：
在原遞推式兩邊取對(duì)數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．
類型Ⅶ倒數(shù)變換法：
形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求；
還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求．
類型Ⅷ形如型的遞推式：
用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．
總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式
考點(diǎn)題型1：觀察法
【典例1-1】（2024·高二·安徽·期末）數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：令，可得，不合題意；
對(duì)于選項(xiàng)B：代入檢驗(yàn)均可，符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)C：令，可得，不合題意；
對(duì)于選項(xiàng)D：令，可得，不合題意；
故選：B.
【典例1-2】（2024·高二·江西景德鎮(zhèn)·期末）數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題數(shù)列的前5項(xiàng)可改寫為，
其中負(fù)號(hào)交替出現(xiàn)在偶數(shù)項(xiàng)，分母為從1開始的奇數(shù)，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
故選：D.
【變式1-1】（2024·高二·廣東佛山·期中）將自然數(shù)1，2，3，4，5，……，按照如圖排列，我們將2，4，7，11，16，……都稱為“拐角數(shù)”，則下列哪個(gè)數(shù)不是“拐角數(shù)”．（ ）
A．22B．30C．37D．46
【答案】B
【解析】由題意得第1個(gè)“拐角數(shù)”為，第2個(gè)“拐角數(shù)”為，
第3個(gè)“拐角數(shù)”為，第4個(gè)“拐角數(shù)”為，
則第個(gè)“拐角數(shù)”為．
對(duì)于A：第6個(gè)“拐角數(shù)”是，故A不合題意；
對(duì)于B、C：第7個(gè)“拐角數(shù)”是，第8個(gè)“拐角數(shù)”是，
則30不是“拐角數(shù)”，故B適合題意，C不合題意；
對(duì)于D：第9個(gè)“拐角數(shù)”是，故D不合題意．
故選：B.
【變式1-2】（2024·高二·福建福州·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)依次為，則的一個(gè)通項(xiàng)公式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】數(shù)列的前項(xiàng)依次為，
即，
所以的一個(gè)通項(xiàng)公式為．故B正確；
對(duì)A，代入，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
【變式1-3】（2024·高二·福建福州·期末）數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由數(shù)列，可得化為，
可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為.
故選：C.
考點(diǎn)題型2：疊加法
【典例2-1】（2024·高二·上海寶山·期末）在數(shù)列中，，且，則 .
【答案】5
【解析】
，
，
…
，
各式累加得.
故答案為：5.
【典例2-2】（2024·高二·湖南常德·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，，則 ．
【答案】
【解析】若，則，即，這與矛盾，所以，
由兩邊同時(shí)除以，得，
則，，，，
上面的式子相加可得：，
所以，
故答案為：.
【變式2-1】（2024·高二·福建漳州·期末）數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 ．
【答案】
【解析】
，該通式對(duì)也適用，
所以答案為：.
【變式2-2】（2024·高二·山東濱州·期末）已知數(shù)列中，，則 .
【答案】
【解析】由題意可知：，，，，
將上述個(gè)式子相加可得：，則，所以
故答案為：
【變式2-3】（2024·高二·廣東深圳·期末）已知數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【解析】由題意知數(shù)列滿足：，，
故
，,
也適合該式，故，
故答案為：
考點(diǎn)題型3：疊乘法
【典例3-1】（2024·高二·廣東河源·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則 .
【答案】
【解析】由可得，
由累乘可得.
故答案為：
【典例3-2】（2024·高二·內(nèi)蒙古·期末）在數(shù)列中，，則 ．
【答案】
【解析】因，故有，即得，
所以．
故答案為：.
【變式3-1】（2024·高三·遼寧葫蘆島·期末）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
所以，，，……，，，
所以，
所以，
因?yàn)椋苑?hào)該式，
故答案為：
【變式3-2】（2024·高二·海南?？凇て谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為且滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，
化簡(jiǎn)得，，利用累乘法得
，
顯然滿足上式，
所以
故答案為：
【變式3-3】（2024·高二·北京·期中）數(shù)列中，若，，則 .
【答案】
【解析】由題意，，可得，所以，
所以.
故答案為：.
考點(diǎn)題型4：待定系數(shù)法
【典例4-1】（2024·高三·廣東·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，且，則的通項(xiàng)公式為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)?，設(shè)，其中、，
整理可得，
所以，，解得，所以，，
且，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比也為的等比數(shù)列，
所以，，解得.
故答案為：.
【典例4-2】（2024·高二·廣東深圳·期末）已知數(shù)滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 ．
【答案】
【解析】由可得：，又,
，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以.
故答案為：
【變式4-1】（2024·高二·福建福州·期末）數(shù)列中，，，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕郑?br>所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，則.
故答案為：
【變式4-2】（2024·高三·安徽合肥·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，（），則數(shù)列的通項(xiàng)公式 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋士傻茫?br>故可得數(shù)列是首項(xiàng)為3公比為3的等比數(shù)列，
則，解得.
故答案為：.
【變式4-3】（2024·高二·廣東佛山·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，若，則（ ）
A．253B．506C．1012D．2024
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所以，故為常?shù)列，
所以. 由，解得.
故選：B
【變式4-4】（2024·高二·河北滄州·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式 ．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?，則數(shù)列時(shí)以為首項(xiàng)
公比為的等比數(shù)列，故，所以.
【變式4-5】（2024·高二·寧夏中衛(wèi)·階段練習(xí)）數(shù)列滿足且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是 ．
【答案】
【解析】設(shè)，則，
又因?yàn)?，所以，則，
所以，
因?yàn)椋裕?br>所以為常數(shù)，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以.
故答案為：
【變式4-6】（2024·高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知數(shù)列中，，且（，且），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
【答案】
【解析】由，得，即
由所以，
于是數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
因此，即，
當(dāng)時(shí)，,此式滿足，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
故答案為：.
考點(diǎn)題型5：同除以指數(shù)
【典例5-1】（2024·高二·河北石家莊·期末）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
即．又，，
∴數(shù)列是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式．
故答案為：.
【典例5-2】（2024·高二·山東淄博·期中）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為
【答案】
【解析】由得，
故為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，
所以
所以.
故答案為：
【變式5-1】（2024·云南·二模）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 .
【答案】/0.5
【解析】由，得，
則，
又，則，則，
，，
，
故答案為：.
【變式5-2】（2024·高二·四川南充·期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，則 ．
【答案】
【解析】由，即，
則，又，
故數(shù)列是以為公比、為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
即，則.
故答案為：.
【變式5-3】（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解法一：在遞推公式的兩邊同時(shí)除以，得①，
令，則①式變?yōu)?，即?br>所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，
所以，即，
所以，
所以，
解法二：設(shè)，則，
與比較可得，
所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，
所以，所以，
故選：D
考點(diǎn)題型6：取倒數(shù)法
【典例6-1】（2024·高二·陜西西安·期中）已知數(shù)列滿足，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，即，
可得，又，
即有數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，
可得，
即.
故選：D.
【典例6-2】（2024·高二·全國(guó)·單元測(cè)試）已知數(shù)列滿足，，，則 .
【答案】
【解析】數(shù)列中，，，顯然，取倒數(shù)得，
即，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，
因此，所以.
故答案為：.
【變式6-1】（2024·高二·湖北荊州·期末）已知數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 ．
【答案】
【解析】由題意得，故是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
得，即，
故答案為：
【變式6-2】（2024·高二·河南·期中）數(shù)列中，若，，則 ．
【答案】19
【解析】∵，則，
∴，∴故數(shù)列為等差數(shù)列，公差等于2，
又，故，
∴.
故答案為：19．
考點(diǎn)題型7：已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問題
【典例7-1】（2024·高二·云南昆明·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為
【答案】
【解析】數(shù)列的前n項(xiàng)和，
當(dāng)時(shí)，，
而，不滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
故答案為：
【典例7-2】（2024·高三·四川·期末）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
【答案】
【解析】數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，即，則有，
因此數(shù)列是常數(shù)列，則，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
故答案為：
【變式7-1】（2024·高二·江蘇宿遷·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，（），則為 .
【答案】
【解析】數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，
整理得，即，顯然當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列，
因此，所以.
故答案為：
【變式7-2】（2024·高二·山東青島·期末）設(shè)數(shù)列 滿足 ， 則 的通項(xiàng)公式
【答案】
【解析】數(shù)列 滿足，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，有，即，
當(dāng)時(shí)，有，得，
不符合，
所以.
故答案為：.
【變式7-3】（2024·高二·福建福州·期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知，數(shù)列的通項(xiàng)公式 .
【答案】
【解析】因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，即，
而，
則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
故答案為：.
【變式7-4】（2024·高三·上海虹口·階段練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則 .
【答案】
【解析】①，當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，②，
①-②得，，
即，所以，
是首項(xiàng)為-1，公比是2的等比數(shù)列，故.
故答案為：
【變式7-5】（2024·高二·新疆阿克蘇·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，.
(1)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，滿足，
即數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2），
當(dāng)時(shí)，為常數(shù)，
則數(shù)列是等差數(shù)列．
【變式7-6】（2024·高二·貴州遵義·期末）數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，已知，．
(1)求證：是等差數(shù)列；
(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．
【解析】（1）①，
當(dāng)時(shí)， ②，
得：，
即，即，且.
是公差為的等差數(shù)列.
（2）由（1）知是公差為的等差數(shù)列，
，
又，，成等比數(shù)列，
，
，即，
故，解得.
，
，
二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，
，當(dāng)或時(shí)取到最大值為.
故的最大值為.
考點(diǎn)題型8：周期數(shù)列
【典例8-1】（2024·高二·江蘇鹽城·期中）若數(shù)列滿足，若，則的值為
【答案】
【解析】由已知，則，，
可得，進(jìn)而可得，，，
即，，
所以，
故答案為：.
【典例8-2】（2024·高二·江蘇·期中）已知數(shù)列滿足，，，則 ．
【答案】
【解析】由已知，則，
且，
所以，
故答案為：.
【變式8-1】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知數(shù)列滿足，若，則 ．
【答案】
【解析】因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，且余?br>由已知可得，
故答案為：.
【變式8-2】（2024·高二·上?！て谀?shù)列滿足：，則 .
【答案】/0.5
【解析】法一：依次代入的值，看看它們符合什么規(guī)律：
.至此可以發(fā)現(xiàn)周期為3.
（余數(shù)為2），.
故答案為：.
法二：該數(shù)列的周期為3，推理過程如下展示：
將換成，得，再將代入，得
，
再將換成，得，繼續(xù)將代入，得，
，以下同解法一.
故答案為：.
【變式8-3】（2024·高二·福建福州·期末）數(shù)列滿足，則 ．
【答案】
【解析】，
，
.至此可以發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的周期為3.
（余數(shù)為2），.
故答案為：.
考點(diǎn)題型9：前n項(xiàng)積型
【典例9-1】（2024·高二·山西長(zhǎng)治·期末）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>若，可得；
若，則，
可得；
且符合上式，可得，所以.
故答案為：.
【典例9-2】（2024·高二·河南鄭州·期末）設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，，解得：；
當(dāng)時(shí)，由得：，即，
，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
，解得：，，
經(jīng)檢驗(yàn)：滿足，，
故選：B.
【變式9-1】（2024·高二·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知，則（ ）
A．23B．24C．25D．26
【答案】C
【解析】因?yàn)闉閿?shù)列的前n項(xiàng)積，
當(dāng)時(shí)，，所以，∴，
當(dāng)時(shí)，，所以，
化簡(jiǎn)可得：，
所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以.
所以.
故選：C.
【變式9-2】（2024·河南開封·三模）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，若，，則滿足的n的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】由可得，，
故為公比為2的等比數(shù)列，故，
所以，故，
因此
故，
要使，則，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，且在時(shí)，隨著正整數(shù)的增大而增大，故的最小值為6，
故選：B
【變式9-3】（2024·高二·山東威?！て谀┰O(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．
(1)求，；
(2)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【解析】（1）由，且，
當(dāng)時(shí)，，得，
當(dāng)時(shí)，，得；
（2）對(duì)于①，
當(dāng)時(shí)，②，
①②得，
即，，
又，
數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；
（3）由（2）得，
，
當(dāng)時(shí)，，
又時(shí)，，不符合，
.
【變式9-4】（2024·高二·湖南永州·期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，且滿足．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，證明：．
【解析】（1）方法一：當(dāng)，得，
當(dāng)時(shí)，①
②
兩式相除可得：
即，又，
故，
變形為：，
因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，1為公差的等比數(shù)列．
所以
化簡(jiǎn)可得
法二：因?yàn)?，?br>所以
即
令，則，
所以以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
所以，即，
所以．
又因?yàn)闈M足上式，
所以，
所以，故，
故數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）
因?yàn)椋?br>所以
考點(diǎn)題型10：因式分解型求通項(xiàng)
【典例10-1】（2024?安徽月考）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，，．
（Ⅰ）判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列，并說明理由；
（Ⅱ）若，設(shè)．，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】解：（Ⅰ），，
又?jǐn)?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，
，
①當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列；
②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，
，
．
【典例10-2】（2024?懷化模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，設(shè)．
（1）求，；
（2）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；
（3）的通項(xiàng)公式，并求其前項(xiàng)和為．
【解析】解：（1），，，
可得，
則，
數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
可得；
，
，；
（2）數(shù)列為等差數(shù)列，理由：，
則數(shù)列為首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列；
（3），
前項(xiàng)和為．
【變式10-1】（2024?倉山區(qū)校級(jí)月考）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且
（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列；
（Ⅱ）若記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】證明：由，
變形得：，
由于為正項(xiàng)數(shù)列，，
利用累乘法得：從而得知：數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，
從而．

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