高中物理人教版 (2019)選擇性必修第一冊4 單擺優(yōu)秀課堂檢測-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單擺的回復(fù)力
如圖所示，一根細(xì)線上端固定，下端連接一個金屬小球，用手使小球偏離豎直方向一個很小的夾角，然后釋放，小球在A、A′間來回?cái)[動，不計(jì)空氣的阻力。
(1)小球擺動過程中受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？什么力提供回復(fù)力？
(3)小球經(jīng)過O點(diǎn)平衡位置時回復(fù)力為零，合外力也為零嗎？
答案 (1)小球受重力和細(xì)線的拉力作用。
(2)細(xì)線的拉力和重力沿徑向的分力的合力提供向心力。重力沿切線方向的分力提供小球振動的回復(fù)力。
(3)小球經(jīng)過平衡位置時，做圓周運(yùn)動，其合外力不為零。
1．單擺的組成：由細(xì)線和小球組成。
2．理想化模型
(1)細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽略。
(2)小球的直徑與線的長度相比可以忽略。
(3)細(xì)線的形變量與細(xì)線長度相比可以忽略。
(4)空氣阻力與小球的重力及細(xì)線的拉力相比可以忽略。
3．單擺的回復(fù)力
(1)回復(fù)力的來源：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力，即F＝mgsin θ。
(2)回復(fù)力的特點(diǎn)：在擺角很小時，擺球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總指向平衡位置，即F＝－eq \f(mg,l)x。從回復(fù)力特點(diǎn)可以判斷單擺做簡諧運(yùn)動。
判斷下列5幅圖中的擺動模型能否看成單擺？若不能，請說明原因。
答案均不能看成單擺。圖(a)(d)擺動過程中擺長會發(fā)生變化，圖(b)空氣阻力不能忽略，圖(c)球的直徑與繩的長度相比不能忽略，圖(e)繩的質(zhì)量與小球相比不能忽略。
單擺做簡諧運(yùn)動的推證
在偏角很小時，用弧度表示的θ與它的正弦sin θ近似相等，即sin θ≈θ≈eq \f(x,l)，因此單擺的回復(fù)力可表示為F＝－eq \f(mg,l)x(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，l表示單擺的擺長，負(fù)號表示回復(fù)力F與位移x的方向相反)，由此知回復(fù)力符合F＝－kx，單擺做簡諧運(yùn)動。
(1)擺球受到重力、拉力、向心力、回復(fù)力四個力的作用。( × )
(2)單擺運(yùn)動的回復(fù)力是重力和擺線拉力的合力。( × )
(3)單擺經(jīng)過平衡位置時受到的合力為零。( × )
(4)單擺擺動到最高點(diǎn)時速度為零，合外力也為零。( × )
例1 (2023·青島一中月考)圖中O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，現(xiàn)將擺球(可視為質(zhì)點(diǎn))拉至A點(diǎn)，此時細(xì)線處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來回?cái)[動，B點(diǎn)為運(yùn)動中的最低位置，則在擺動過程中( )
A．?dāng)[球受到重力、拉力、回復(fù)力三個力的作用
B．?dāng)[球在A點(diǎn)和C點(diǎn)處，速度為零，回復(fù)力也為零
C．?dāng)[球在B點(diǎn)處，速度最大，細(xì)線拉力也最大
D．?dāng)[球在B點(diǎn)處，速度最大，回復(fù)力也最大
答案 C
解析擺球在運(yùn)動過程中只受到重力和拉力作用，A錯誤；擺球在擺動過程中，在最高點(diǎn)A、C處速度為零，回復(fù)力最大，合力不為零，在最低點(diǎn)B處，速度最大，回復(fù)力為零，細(xì)線的拉力最大，C正確，B、D錯誤。
例2 (多選)如圖所示為一單擺的振動圖像，則( )
A．t1和t3時刻擺線的拉力等大
B．t2和t3時刻擺球速度相等
C．t3時刻擺球速度正在減小
D．t4時刻擺線的拉力正在減小
答案 AD
解析由題圖可知，t1和t3時刻擺球的位移相等，根據(jù)對稱性可知單擺振動的速度大小相等，故擺線拉力大小相等，故A正確；t2時刻擺球在負(fù)的最大位移處，速度為零，t3時刻擺球向平衡位置運(yùn)動，所以t2和t3時刻擺球速度不相等，故B錯誤；t3時刻擺球正靠近平衡位置，速度正在增大，故C錯誤；t4時刻擺球正遠(yuǎn)離平衡位置，速度正在減小，擺線拉力也減小，故D正確。
二、單擺的周期
1．單擺振動的周期與擺球質(zhì)量無關(guān)(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，在振幅較小時與振幅無關(guān)(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，但與擺長有關(guān)(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，擺長越長，周期越大(選填“越大”“越小”或“不變”)。
2．單擺周期公式
(1)提出：單擺周期公式是荷蘭物理學(xué)家惠更斯首先提出的。
(2)公式：T＝2πeq \r(\f(l,g))，即周期T與擺長l的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根成反比，而與振幅、擺球質(zhì)量無關(guān)。
惠更斯利用擺的等時性發(fā)明了帶擺的計(jì)時器，叫擺鐘。擺鐘運(yùn)行時克服摩擦所需的能量由重錘的勢能提供，運(yùn)行的速率由鐘擺控制。旋轉(zhuǎn)鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤沿?cái)[桿上下移動。請思考：
(1)擺針走時偏快應(yīng)如何校準(zhǔn)？
(2)將一個走時準(zhǔn)確的擺鐘從福建移到北京，擺鐘應(yīng)如何校準(zhǔn)？
答案 (1)擺針走時偏快應(yīng)調(diào)節(jié)螺母使圓盤沿?cái)[桿下移。
(2)調(diào)節(jié)螺母使圓盤沿?cái)[桿下移。
對單擺周期公式的理解
1．成立條件：單擺偏角很小(偏角小于5°)。
2．影響因素：周期T只與l和g有關(guān)，與擺球質(zhì)量m及振幅無關(guān)，所以單擺的周期也叫固有周期。
3．對l、g的理解
(1)公式中l(wèi)是擺長，即懸點(diǎn)到擺球球心的距離。
①普通單擺，擺長l＝l′＋eq \f(D,2)，l′為擺線長，D為擺球直徑。
②等效擺長：(a)圖中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來效果是相同的，甲擺的等效擺長為lsin α，其周期T＝2πeq \r(\f(lsin α,g))。(b)圖中，乙在垂直紙面方向擺動時，其等效擺長等于甲擺的擺長；乙在紙面內(nèi)小角度擺動時，等效擺長等于丙擺的擺長。
(2)①公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
②等效重力加速度：一般情況下，公式中g(shù)的值等于擺球靜止在平衡位置時，擺線的拉力與擺球質(zhì)量的比值。
(1)擺球的質(zhì)量越大，周期越大。( × )
(2)若單擺的振幅變?yōu)樵瓉淼囊话?，則周期也將變?yōu)樵瓉淼囊话搿? × )
例3 周期是2 s的單擺叫秒擺，秒擺的擺長是多少？把一個地球上的秒擺拿到月球上去，它在月球上做50次全振動要用多少時間？已知地球表面的重力加速度為9.8 m/s2, 月球上的自由落體加速度為1.6 m/s2，π2取9.8。
答案 1 m 175eq \r(2) s
解析根據(jù)單擺周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可得l＝eq \f(gT2,4π2)
代入數(shù)據(jù)解得
l＝eq \f(9.8×22,4×9.8) m＝1 m
秒擺搬到月球上，其與地球上的秒擺的周期關(guān)系為eq \f(T′,T)＝eq \r(\f(g,g′))
它在月球上做50次全振動所用的時間為
t＝50T′＝50Teq \r(\f(g,g′))＝50×2×eq \r(\f(9.8,1.6)) s＝175eq \r(2) s。
例4 (多選)(2022·白城市洮南十中月考)甲、乙兩個單擺的振動圖像如圖所示，根據(jù)振動圖像可以判定( )
A．若甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)擺動，甲、乙兩單擺擺長之比是9∶4
B．甲、乙兩單擺振動的頻率之比是3∶2
C．甲、乙兩單擺振動的周期之比是2∶3
D．若甲、乙兩單擺在不同地點(diǎn)擺動，但擺長相同，則甲、乙兩單擺所在地點(diǎn)的重力加速度之比為9∶4
答案 BCD
解析根據(jù)題圖可知，單擺振動的周期關(guān)系eq \f(3,2)T甲＝T乙，所以周期之比為eq \f(T甲,T乙)＝eq \f(2,3)，所以頻率之比為eq \f(f甲,f乙)＝eq \f(3,2)，故B、C正確；若甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)擺動，則重力加速度相同，根據(jù)T＝2πeq \r(\f(l,g))，可得擺長之比為4∶9，故A錯誤；若甲、乙兩單擺在不同地點(diǎn)擺動，擺長相同，根據(jù)T＝2πeq \r(\f(l,g))，可得重力加速度之比為9∶4，故D正確。
例5 如圖所示，MN為半徑較大的光滑圓弧的一部分，把小球A放在MN的圓心處，再把另一個小球B放在MN上離最低點(diǎn)C很近的B處(弧BC所對圓心角小于5°)，今使兩小球同時靜止釋放，則( )
A．球A先到達(dá)C點(diǎn)
B．球B先到達(dá)C點(diǎn)
C．兩球同時到達(dá)C點(diǎn)
D．無法確定哪個球先到達(dá)C點(diǎn)
答案 A
解析球A做自由落體運(yùn)動，到達(dá)C點(diǎn)的時間為tA＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2R,g))
當(dāng)弧BC所對的圓心角小于5°時，球B在圓弧的支持力FN和重力G的作用下做簡諧運(yùn)動(與單擺類似)，它的振動周期為T＝2πeq \r(\f(l,g))＝2πeq \r(\f(R,g))，
因此球B運(yùn)動到C點(diǎn)所需的時間是
tB＝eq \f(T,4)＝eq \f(π,2)eq \r(\f(R,g))
故tAT2>T3>T4 B．T4T2 D．T1g乙，將擺長縮短
B．g甲g甲，為了增大周期，可以增大擺長，B正確。
5．?dāng)[長是1 m的單擺在某地區(qū)的周期是2 s，則在同一地區(qū)( )
A．?dāng)[長是0.5 m的單擺的周期是0.707 s
B．?dāng)[長是0.5 m的單擺的周期是1 s
C．周期是1 s的單擺的擺長為2 m
D．周期是4 s的單擺的擺長為4 m
答案 D
解析擺長是1 m的單擺的周期是2 s，根據(jù)單擺的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭＝eq \f(4π2l,T2)＝π2 m/s2。擺長是0.5 m 的單擺的周期T1＝2πeq \r(\f(l1,g))＝2π×eq \r(\f(0.5,π2)) s≈1.414 s，故A、B錯誤；周期是1 s的單擺的擺長l2＝eq \f(gT22,4π2)＝eq \f(π2×12,4π2) m＝0.25 m，周期是4 s的單擺的擺長l3＝eq \f(gT32,4π2)＝eq \f(π2×42,4π2) m＝4 m，故C錯誤，D正確。
6．(2023·煙臺市月考)如圖甲所示，細(xì)線下端懸掛一個除去了柱塞的注射器，注射器內(nèi)裝上墨汁。將擺線拉開一較小幅度，當(dāng)注射器擺動時，沿著垂直于擺動的方向以速度v勻速拖動木板，得到噴在木板上的墨汁圖樣如圖乙所示，若測得木板長度為L，墨汁圖樣與木板邊緣交點(diǎn)P、Q恰好是振動最大位置處，已知重力加速度為g，則該單擺的等效擺長為( )
A.eq \f(gv2,25π2L2) B.eq \f(gL2,25π2v2)
C.eq \f(25gL2,16π2v2) D.eq \f(25gv2,16π2L2)
答案 B
解析由題圖乙可知，該單擺恰好擺動2.5個周期，故滿足eq \f(5,2)T＝eq \f(L,v)，單擺周期公式為T＝2πeq \r(\f(l,g))，解得該單擺的等效擺長為l＝eq \f(gL2,25π2v2)，B正確。
7．(多選)(2023·安慶一中月考)如圖所示，三根細(xì)線在O點(diǎn)處打結(jié)，A、B兩端固定在同一水平面上相距為L的兩點(diǎn)上，△AOB為直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC長為L，下端C點(diǎn)處系著一個小球(忽略小球的半徑，小球擺動時偏角θta>tc，c球最先運(yùn)動到最低點(diǎn)，b球最后到達(dá)O′點(diǎn)，故A、B、D錯誤，C正確。
12．(2022·浙江金華十校調(diào)研)如圖甲所示，擺球在豎直平面內(nèi)做簡諧運(yùn)動，通過力傳感器測量擺線拉力F，F(xiàn)的大小隨時間t變化規(guī)律如圖乙所示，擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時的速度大小v＝eq \f(\r(5),5) m/s，忽略空氣阻力，取g＝10 m/s2，π2≈g，求：
(1)單擺的擺長l；
(2)擺球的質(zhì)量m；
(3)擺線拉力的最小值。
答案 (1)1 m (2)0.1 kg (3)0.99 N
解析 (1)由題圖乙可知單擺周期為T＝2 s
根據(jù)單擺周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))
解得l＝1 m。
(2)當(dāng)拉力最大時，即F＝1.02 N
擺球處在最低點(diǎn)
由牛頓第二定律F－mg＝meq \f(v2,l)
解得m＝0.1 kg。
(3)從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，由動能定理得
－mgl(1－cs θ)＝0－eq \f(1,2)mv2
解得cs θ＝0.99
在最高點(diǎn)擺線的拉力最小，最小值為
F′＝mgcs θ＝0.99 N。

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