一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期和頻率
如圖甲所示為理想彈簧振子，O點(diǎn)為它的平衡位置，其中A、A′及B、B′點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱。圖乙為先后兩次分別從A、B兩點(diǎn)釋放經(jīng)過平衡位置開始計(jì)時(shí)所得的振動(dòng)圖像。
(1)分析圖乙中的a、b振動(dòng)圖像分別是從哪個(gè)點(diǎn)開始釋放的？兩次振動(dòng)圖像中的物理量有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？
(2)從小球經(jīng)過O點(diǎn)至下一次再經(jīng)過O點(diǎn)的速度方向是否相同？這段時(shí)間是否為一個(gè)周期？
答案 (1)a圖像是從A點(diǎn)開始釋放的，b圖像是從B點(diǎn)開始釋放的；彈簧振子兩次形成的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)具有相同的周期，從B點(diǎn)釋放時(shí)離平衡位置的最大距離比從A點(diǎn)釋放時(shí)的最大距離更大。
(2)不相同，兩次速度方向相反。這段時(shí)間僅為半個(gè)周期。若經(jīng)過一個(gè)周期，小球一定從同一方向再次經(jīng)過O點(diǎn)。
1．振幅
(1)概念：振動(dòng)物體離開平衡位置的最大距離。
(2)意義：振幅是表示振動(dòng)幅度大小的物理量，常用字母A表示。振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)的范圍是振幅的兩倍。
2．周期和頻率
(1)全振動(dòng)：一個(gè)完整的振動(dòng)過程稱為一次全振動(dòng)。做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體完成一次全振動(dòng)的時(shí)間總是相同的。
(2)周期：做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體完成一次全振動(dòng)所需要的時(shí)間，用T表示。在國際單位制中，周期的單位是秒(s)。
(3)頻率：物體完成全振動(dòng)的次數(shù)與所用時(shí)間之比，數(shù)值等于單位時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)，用f表示。在國際單位制中，頻率的單位是赫茲，簡(jiǎn)稱赫，符號(hào)是Hz。
(4)周期和頻率的關(guān)系：f＝eq \f(1,T)。周期和頻率都是表示物體振動(dòng)快慢的物理量，周期越小，頻率越大，表示振動(dòng)越快。
(5)圓頻率ω：表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的快慢，其與周期成反比、與頻率成正比，它們間的關(guān)系式為ω＝eq \f(2π,T)，ω＝2πf。
1．對(duì)全振動(dòng)的理解
(1)振動(dòng)過程：如圖所示，從O點(diǎn)開始，一次全振動(dòng)的完整過程為O→A→O→A′→O；從A點(diǎn)開始，一次全振動(dòng)的完整過程為A→O→A′→O→A。
(2)完成一次全振動(dòng)，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同時(shí)與初始狀態(tài)相同。
(3)完成一次全振動(dòng)歷時(shí)一個(gè)周期，通過的路程是振幅的4倍。
2．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中位移、路程、周期與振幅的關(guān)系
(1)位移和振幅
①最大位移的數(shù)值等于振幅。
②對(duì)于一個(gè)給定的振動(dòng)，振子的位移是時(shí)刻變化的，但振幅是不變的。
③位移是矢量，振幅是標(biāo)量。
(2)路程與振幅
①振動(dòng)物體在一個(gè)周期內(nèi)的路程為四個(gè)振幅，即4A。
②振動(dòng)物體在半個(gè)周期內(nèi)的路程為兩個(gè)振幅，即2A。
(3)周期與振幅
一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的周期和頻率有確定的值，由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定，與振幅無關(guān)。
(1)在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的過程中，振幅是不斷變化的。( × )
(2)振幅是振動(dòng)物體離開平衡位置的最大距離，它是標(biāo)量。( √ )
(3)振子從離開某位置到重新回到該位置的過程為一次全振動(dòng)過程。( × )
(4)振幅越大，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期就越大。( × )
(5)振動(dòng)物體eq \f(T,4)內(nèi)通過的路程一定等于振幅A。( × )
例1 (2023·如皋中學(xué)高二月考)如圖所示，彈簧振子在A、B間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O為平衡位置，A、B間距離是20 cm，小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過2 s首次到達(dá)B點(diǎn)，則( )
A．從O→B→O小球做了一次全振動(dòng)
B．振動(dòng)周期為2 s，振幅是10 cm
C．從B開始經(jīng)過6 s，小球通過的路程是60 cm
D．從O開始經(jīng)過3 s，小球處在平衡位置
答案 C
解析 小球從O→B→O只完成半個(gè)全振動(dòng)，A錯(cuò)誤；從A→B是半個(gè)全振動(dòng)，用時(shí)2 s，所以振動(dòng)周期是4 s，振幅A＝eq \f(1,2)eq \x\t(AB)＝10 cm，B錯(cuò)誤；因?yàn)閠＝6 s＝1eq \f(1,2) T，所以小球經(jīng)過的路程為4A＋2A＝6A＝60 cm，C正確；從O開始經(jīng)過3 s，小球處在最大位移處(A或B)，D錯(cuò)誤。
例2 一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移x與時(shí)間t的關(guān)系圖像如圖所示，由圖可知( )
A．質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的頻率是4 Hz，振幅是2 cm
B．質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過1 s通過的路程總是2 cm
C．0～3 s內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)通過的路程為6 cm
D．t＝3 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的振幅為零
答案 C
解析 由題圖可以直接看出振幅為2 cm，周期為4 s，所以頻率為0.25 Hz，故A錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)在1 s即eq \f(1,4)個(gè)周期內(nèi)通過的路程不一定等于一個(gè)振幅，故B錯(cuò)誤；t＝0時(shí)質(zhì)點(diǎn)在正向最大位移處，0～3 s為eq \f(3,4)T，則質(zhì)點(diǎn)通過的路程為3A＝6 cm，故C正確；振幅為質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的最大距離，與質(zhì)點(diǎn)的位移有本質(zhì)的區(qū)別，t＝3 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位移為零，但振幅仍為2 cm，故D錯(cuò)誤。
eq \f(1,4)個(gè)周期內(nèi)路程與振幅的關(guān)系
1．振動(dòng)物體在eq \f(1,4)個(gè)周期內(nèi)的路程不一定等于一個(gè)振幅A。只有當(dāng)初始時(shí)刻振動(dòng)物體在平衡位置或最大位移處時(shí)，eq \f(1,4)個(gè)周期內(nèi)的路程才等于一個(gè)振幅。
2．當(dāng)初始時(shí)刻振動(dòng)物體不在平衡位置或最大位移處時(shí)，若質(zhì)點(diǎn)開始時(shí)運(yùn)動(dòng)的方向指向平衡位置，則質(zhì)點(diǎn)在eq \f(1,4)個(gè)周期內(nèi)的路程大于A，若質(zhì)點(diǎn)開始時(shí)運(yùn)動(dòng)的方向遠(yuǎn)離平衡位置，則質(zhì)點(diǎn)在eq \f(1,4)個(gè)周期內(nèi)的路程小于A。
二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位、表達(dá)式
如圖所示，兩個(gè)由完全相同的彈簧和小球組成的振子懸掛在一起，試分析以下問題：
(1)將兩個(gè)小球向下拉相同的距離后同時(shí)放開，可以看到什么現(xiàn)象？
(2)若當(dāng)?shù)谝粋€(gè)小球到達(dá)平衡位置時(shí)再釋放第二個(gè)，可以看到什么現(xiàn)象？
(3)在問題(2)中，兩個(gè)小球振動(dòng)的位移隨時(shí)間變化的表達(dá)式x＝Asin(ωt＋φ)中哪個(gè)量不同？相差多少？
答案 (1)兩個(gè)小球在相同位置同時(shí)釋放，除振幅和周期都相同外，還總是向同一方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)經(jīng)過平衡位置，并同時(shí)到達(dá)同一側(cè)的最大位移處。兩個(gè)小球的振動(dòng)步調(diào)完全一致。
(2)當(dāng)?shù)谝粋€(gè)小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，第二個(gè)剛剛到達(dá)平衡位置，而當(dāng)?shù)诙€(gè)小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，第一個(gè)已經(jīng)返回平衡位置了。與第一個(gè)小球相比，第二個(gè)小球總是滯后eq \f(1,4)個(gè)周期，或者說總是滯后eq \f(1,4)個(gè)全振動(dòng)。
(3)由問題(1)可得兩振子A、ω相同，可知φ不同，且(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝eq \f(1,4)×2π，即φ1－φ2＝eq \f(π,2)。
1．相位
(1)概念：物理學(xué)中把(ωt＋φ)叫作相位，其中φ是t＝0時(shí)的相位，叫初相位，或初相。
(2)意義：描述做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體某時(shí)刻在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期中的狀態(tài)。
(3)相位差：兩個(gè)具有相同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
2．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式
x＝Asin(ωt＋φ0)＝Asin(eq \f(2π,T)t＋φ0)，其中：x表示振動(dòng)物體在t時(shí)刻離開平衡位置的位移，A為振幅，ω為圓頻率，T為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期，φ0為初相位。
1．相位
相位ωt＋φ代表了做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在各個(gè)不同時(shí)刻所處的狀態(tài)。它是一個(gè)隨時(shí)間變化的量，相位每增加2π，意味著物體完成了一次全振動(dòng)。
2．相位差
頻率相同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
若Δφ＝0，表明兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)步調(diào)相同，即同相；
若Δφ＝π，表明兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)步調(diào)相反，即反相。
3．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式x＝Asin(eq \f(2π,T)t＋φ)
(1)表達(dá)式反映了做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的位移x隨時(shí)間t的變化規(guī)律。
(2)從表達(dá)式x＝Asin(ωt＋φ)體會(huì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性。當(dāng)Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ時(shí)，Δt＝eq \f(2nπ,ω)＝nT，振子位移相同，每經(jīng)過周期T完成一次全振動(dòng)。
例3 (多選)(2022·廣州六中月考)物體A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)位移xA＝3sin(100t＋eq \f(π,2)) m，物體B做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)位移xB＝5sin(100t＋eq \f(π,6)) m。以下說法正確的是( )
A．物體A的振幅是6 m，物體B的振幅是10 m
B．物體A、B的周期相等，為100 s
C．物體A振動(dòng)的頻率fA等于物體B振動(dòng)的頻率fB
D．物體A的相位始終超前物體B的相位eq \f(π,3)
答案 CD
解析 物體A、B的振幅分別是3 m、5 m，A錯(cuò)誤．物體A、B的圓頻率ω＝100 rad/s，周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,50) s，B錯(cuò)誤；因?yàn)門A＝TB，故fA＝fB，C正確；Δφ＝φA0－φB0＝eq \f(π,3)，故物體A的相位始終超前物體B的相位eq \f(π,3)，D正確。
例4 有一個(gè)彈簧振子，振幅為0.8 cm，周期為0.5 s，初始時(shí)具有負(fù)方向的最大加速度，則它的振動(dòng)方程是( )
A．x＝8×10－3sin(4πt＋eq \f(π,2)) m
B．x＝8×10－3sin(4πt－eq \f(π,2)) m
C．x＝8×10－3sin(πt＋eq \f(3π,2)) m
D．x＝8×10－3sin(eq \f(π,4)t＋eq \f(π,2)) m
答案 A
解析 由題可知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，可得ω＝eq \f(2π,T)＝4π rad/s，初始時(shí)刻具有負(fù)方向的最大加速度，則初位移x0＝0.8 cm，初相位φ0＝eq \f(π,2)，得彈簧振子的振動(dòng)方程為x＝8×10－3sin(4πt＋eq \f(π,2)) m，A正確。
三、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性與對(duì)稱性
簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種周期性的運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量隨時(shí)間周期性變化，如圖所示，物體在A、B兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O點(diǎn)為平衡位置，OC＝OD。
(1)時(shí)間的對(duì)稱
①物體來回通過相同兩點(diǎn)間的時(shí)間相等，即tDB＝tBD。
②物體經(jīng)過關(guān)于平衡位置對(duì)稱的等長的兩段路程的時(shí)間相等，圖中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的對(duì)稱
①物體連續(xù)兩次經(jīng)過同一點(diǎn)(如D點(diǎn))的速度大小相等，方向相反。
②物體經(jīng)過關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)(如C點(diǎn)與D點(diǎn))時(shí)，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的對(duì)稱
①物體經(jīng)過同一點(diǎn)(如C點(diǎn))時(shí)，位移相同。
②物體經(jīng)過關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)(如C點(diǎn)與D點(diǎn))時(shí)，位移大小相等、方向相反。
例5 (多選)彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，從小球通過O點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，小球第一次到達(dá)M點(diǎn)用了0.3 s，又經(jīng)過0.2 s第二次通過M點(diǎn)，則小球第三次通過M點(diǎn)還要經(jīng)過的時(shí)間可能是( )
A.eq \f(1,3) s B.eq \f(8,15) s
C．1.4 s D．1.6 s
答案 AC
解析 假設(shè)彈簧振子在B、C之間振動(dòng)，M點(diǎn)在O點(diǎn)的右側(cè)，如圖甲，若小球開始先向左振動(dòng)，小球的振動(dòng)周期為T＝eq \f(0.3＋\f(0.2,2),3)×4 s＝eq \f(1.6,3) s，則小球第三次通過M點(diǎn)還要經(jīng)過的時(shí)間是t＝eq \f(1.6,3) s－0.2 s＝eq \f(1,3) s。如圖乙，若小球開始先向右振動(dòng)，小球的振動(dòng)周期為T＝4×(0.3＋eq \f(0.2,2)) s＝
1.6 s，則小球第三次通過M點(diǎn)還要經(jīng)過的時(shí)間是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A、C正確。
1．周期性造成多解：物體經(jīng)過同一位置可以對(duì)應(yīng)不同的時(shí)刻，物體的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這樣就形成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的多解問題。
2．對(duì)稱性造成多解：由于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性，因此當(dāng)物體通過兩個(gè)對(duì)稱位置時(shí)，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這種也形成多解問題。
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
考點(diǎn)一 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期和頻率
1．(多選)下列關(guān)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期和頻率的說法正確的是( )
A．振幅是矢量，方向從平衡位置指向最大位移處
B．周期和頻率的乘積是一個(gè)常數(shù)
C．振幅增加，周期必然增加，而頻率減小
D．做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，其頻率與振幅無關(guān)
答案 BD
解析 振幅是標(biāo)量，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；周期與頻率互為倒數(shù)，即Tf＝1，選項(xiàng)B正確；簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期和頻率由系統(tǒng)本身決定，與振幅沒有關(guān)系，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。
2．(2023·廈門一中月考)如圖所示，彈簧振子在B、C間振動(dòng)，O為平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若小球從B到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1 s，則下列說法正確的是( )
A．小球從B經(jīng)O到C完成一次全振動(dòng)
B．振動(dòng)周期是2 s，振幅是5 cm
C．經(jīng)過兩次全振動(dòng)，小球通過的路程是20 cm
D．從B開始經(jīng)過3 s，小球通過的路程是20 cm
答案 B
解析 小球在B、C間振動(dòng)，小球從B經(jīng)O到C再經(jīng)O回到B，完成一個(gè)全振動(dòng)，A錯(cuò)誤；小球從B到C經(jīng)歷的時(shí)間為半個(gè)周期，所以振動(dòng)周期為2 s，小球在B、C兩點(diǎn)間做機(jī)械振動(dòng)，BO＝OC＝5 cm，O是平衡位置，則振幅為5 cm，B正確；經(jīng)過兩次全振動(dòng)，小球通過的路程是2×4A＝40 cm，C錯(cuò)誤；從B開始經(jīng)過3 s，小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是1.5個(gè)周期，通過的路程為s＝1.5×4A＝1.5×4×5 cm＝30 cm，D錯(cuò)誤。
3．(多選)如圖所示是一做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的振動(dòng)圖像，下列說法正確的是 ( )
A．物體的振動(dòng)周期是2×10－2 s
B．第2個(gè)10－2 s內(nèi)物體的位移是－10 cm
C．物體的振動(dòng)頻率為25 Hz
D．物體的振幅是10 cm
答案 BCD
解析 由題圖可知，物體周期為T＝4×10－2 s，A錯(cuò)誤；在第2個(gè)10－2 s內(nèi)，即在1×10－2 s到2×10－2 s內(nèi)物體由正向的10 cm處到達(dá)平衡位置，故位移為x＝0－10 cm＝－10 cm，B正確；頻率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,4×10－2) Hz＝25 Hz，C正確；由題圖可知，物體的振幅為10 cm，D正確。
考點(diǎn)二 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位、表達(dá)式
4．(多選)(2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)檢測(cè))一彈簧振子A的位移x隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為x＝
0.1sin 2.5πt，位移x的單位為m，時(shí)間t的單位為s。則 ( )
A．彈簧振子的振幅為0.2 m
B．彈簧振子的周期為1.25 s
C．在t＝0.2 s時(shí)，振子的運(yùn)動(dòng)速度為零
D．若另一彈簧振子B的位移x隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為x＝0.2sin (2.5πt＋eq \f(π,4)) m，則A的相位滯后B的相位eq \f(π,4)
答案 CD
解析 由題意可知振幅為0.1 m，圓頻率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2.5π) s＝0.8 s，故A、B錯(cuò)誤；在t＝0.2 s時(shí)，x＝0.1 m，即振子的位移最大，速度最小，為零，故C正確；兩彈簧振子的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋eq \f(π,4)－2.5πt＝eq \f(π,4)，即B的相位超前A的相位eq \f(π,4)，或者說A的相位滯后B的相位eq \f(π,4)，故D正確。
5．彈簧振子在M、N兩點(diǎn)之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期為0.5 s，M、N相距0.8 cm，計(jì)時(shí)開始時(shí)具有正向最大加速度，則它的振動(dòng)方程是( )
A．x＝8×10－3sin(4πt＋eq \f(π,2)) m
B．x＝4×10－3sin(4πt－eq \f(π,2)) m
C．x＝8×10－3sin(2πt＋eq \f(π,2)) m
D．x＝4×10－3sin(2πt＋eq \f(π,2)) m
答案 B
解析 振子在M、N兩點(diǎn)之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，由于M、N相距0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm＝4×10－3 m，周期為0.5 s，所以ω＝eq \f(2π,T)＝4π rad/s，而初始時(shí)刻具有正向最大加速度，即在負(fù)向最大位移處，綜上可得x＝4×10－3sin(4πt－eq \f(π,2)) m，B正確，A、C、D錯(cuò)誤。
6．(多選)(2022·北京四中期中)彈簧振子1和2均做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，位移隨時(shí)間的變化規(guī)律滿足x1＝3asin 10πbt和x2＝9asin(10πbt＋eq \f(π,3))，下列說法正確的是( )
A．彈簧振子1和2的振幅不同，頻率不同
B．彈簧振子1和2的振幅不同，頻率相同
C．彈簧振子1超前于彈簧振子2的相位是eq \f(π,3)
D．彈簧振子1落后于彈簧振子2的相位是eq \f(π,3)
答案 BD
解析 1的振幅為3a,2的振幅為9a，所以兩個(gè)彈簧振子的振幅不同；1的頻率為f1＝eq \f(10πb,2π)＝5b,2的頻率為f2＝eq \f(10πb,2π)＝5b，所以兩個(gè)彈簧振子的頻率相同，故A錯(cuò)誤，B正確；從表達(dá)式可以看出彈簧振子1落后于彈簧振子2的相位是eq \f(π,3)，故C錯(cuò)誤，D正確。
考點(diǎn)三 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性和對(duì)稱性
7．一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它從最大位移處經(jīng)0.3 s第一次到達(dá)某點(diǎn)M處，再經(jīng)0.2 s第二次到達(dá)M點(diǎn)，則其振動(dòng)頻率為( )
A．0.4 Hz B．0.8 Hz
C．2.5 Hz D．1.25 Hz
答案 D
解析 由題意知，從M位置沿著原路返回到起始最大位移處的時(shí)間也為0.3 s，故完成一個(gè)全振動(dòng)的時(shí)間為：T＝0.3 s＋0.2 s＋0.3 s＝0.8 s，故頻率為f＝eq \f(1,T)＝1.25 Hz，D正確。
8.如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O點(diǎn)為平衡位置，先后以相同的速度依次通過M、N兩點(diǎn)，歷時(shí)1 s，質(zhì)點(diǎn)通過N點(diǎn)后再經(jīng)過1 s又第2次通過N點(diǎn)，在這2 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)通過的總路程為12 cm。則質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期和振幅分別為( )
A．3 s,6 cm B．4 s,6 cm
C．4 s,9 cm D．2 s,8 cm
答案 B
解析 質(zhì)點(diǎn)以相同的速度依次通過M、N兩點(diǎn)，畫出示意圖如圖所示。
質(zhì)點(diǎn)由M到O和由O到N運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，均為0.5 s，質(zhì)點(diǎn)由N到最大位移處和由最大位移處到N運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，均為0.5 s，可見周期為4 s，振幅A＝eq \f(12,2) cm＝6 cm，故B正確。
9．如圖甲所示，水平彈簧振子的平衡位置為O點(diǎn)，其在B、C兩點(diǎn)之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，規(guī)定水平向右為正方向。圖乙是彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的x－t圖像，下列說法正確的是( )
A．彈簧振子從B點(diǎn)經(jīng)過O點(diǎn)再運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)為一次全振動(dòng)
B．彈簧振子的振動(dòng)方程為x＝0.1sin(2πt＋eq \f(3π,2)) m
C．圖乙中的P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的速度方向與加速度方向都向右
D．彈簧振子在0～2.5 s內(nèi)的路程為1 m
答案 D
解析 彈簧振子從B點(diǎn)經(jīng)過O點(diǎn)再運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)為0.5次全振動(dòng)，故A錯(cuò)誤；根據(jù)題圖乙可知，彈簧振子的振幅為A＝0.1 m，周期T＝1 s，則圓頻率為ω＝eq \f(2π,T)＝2π rad/s.向右為正，t＝0時(shí)刻位移為0.1 m表示振子從B點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，初相為φ0＝eq \f(π,2)，則振動(dòng)方程為x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.1sin (2πt＋eq \f(π,2)) m，故B錯(cuò)誤；簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像中P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的速度方向?yàn)樨?fù)，此時(shí)刻振子正在向左做減速運(yùn)動(dòng)，加速度方向向右，故C錯(cuò)誤；因周期T＝1 s，則0～2.5 s內(nèi)振子振動(dòng)了2eq \f(1,2)個(gè)周期，則振子從B點(diǎn)開始振動(dòng)的路程為s＝2×4A＋2A＝1 m，故D正確。
10．(2022·湖北十堰市期末)如圖所示，小球以O(shè)點(diǎn)為平衡位置在B、C兩點(diǎn)之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，B、C相距20 cm。小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，t＝0.5 s時(shí)小球第一次到達(dá)C點(diǎn)。若小球偏離平衡位置的位移隨時(shí)間的變化規(guī)律滿足x＝Asin (eq \f(2π,T)t＋φ0)，則下列說法正確的是( )
A．周期T＝0.5 s
B．振幅A＝20 cm
C．φ0＝eq \f(π,2)
D．t＝0.125 s時(shí)，小球的位移為5 cm
答案 C
解析 小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，t＝0.5 s時(shí)小球第一次到達(dá)C點(diǎn)，歷時(shí)半個(gè)周期，故周期為T＝1 s，故A錯(cuò)誤；振幅為偏離平衡位置的最大距離，故振幅為A＝10 cm，故B錯(cuò)誤；t＝0時(shí)刻，x＝A，代入題中位移表達(dá)式可得φ0＝eq \f(π,2)，故C正確；位移表達(dá)式為x＝10sin(2πt＋eq \f(π,2)) cm，t＝0.125 s時(shí)，代入表達(dá)式可得小球的位移為5eq \r(2) cm，故D錯(cuò)誤。
11．(多選)一簡(jiǎn)諧振子沿x軸振動(dòng)，平衡位置在坐標(biāo)原點(diǎn)。t＝0時(shí)刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝eq \f(4,3) s時(shí)刻x＝0.1 m；t＝4 s時(shí)刻x＝0.1 m。該振子的振幅和周期可能為( )
A．0.1 m，eq \f(8,3) s B．0.1 m,8 s
C．0.2 m，eq \f(8,3) s D．0.2 m,8 s
答案 ACD
解析 如果振幅等于0.1 m，則eq \f(4,3) s是半周期的奇數(shù)倍，4 s－eq \f(4,3) s＝eq \f(8,3) s是半周期的偶數(shù)倍，故A正確，B錯(cuò)誤；如果振幅大于0.1 m，可能有4 s＝nT＋eq \f(T,2)，當(dāng)n＝0時(shí)，T＝8 s；當(dāng)n＝1時(shí)，T＝eq \f(8,3) s，故C、D正確。
12．(2022·黃石二中期末)如圖所示，彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在B、C兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。在t＝0時(shí)刻，振動(dòng)物體從O、B間的P點(diǎn)以速度v向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；在t＝0.2 s時(shí)，振動(dòng)物體的速度第一次變?yōu)椋璿；在t＝0.5 s時(shí)，振動(dòng)物體的速度第二次變?yōu)椋璿。
(1)求彈簧振子的振動(dòng)周期T。
(2)若B、C之間的距離為25 cm，求振動(dòng)物體在4.0 s內(nèi)通過的路程。
(3)若B、C之間的距離為25 cm，從振動(dòng)物體經(jīng)過平衡位置向B運(yùn)動(dòng)開始計(jì)時(shí)，寫出彈簧振子的位移表達(dá)式，并畫出振動(dòng)圖像。
答案 見解析
解析 (1)根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性和題意可知，振動(dòng)物體完成半次全振動(dòng)所用時(shí)間為0.5 s，則T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之間的距離為25 cm，則振幅A＝eq \f(1,2)×25 cm＝12.5 cm，
振動(dòng)物體4.0 s內(nèi)通過的路程s＝eq \f(4.0,1.0)×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根據(jù)物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式x＝Asin ωt，
A＝12.5 cm，ω＝eq \f(2π,T)＝2π rad/s，得x＝12.5sin 2πt cm，振動(dòng)圖像如圖所示。
13．(多選)如圖所示，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊，物塊沿豎直方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。以豎直向上為正方向，物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為x＝0.1sin (2.5πt) m．t＝0時(shí)刻，一小球從距物塊平衡位置h高處自由落下；t＝0.6 s時(shí)，小球恰好與物塊處于同一高度。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。以下判斷正確的是( )
A．h＝1.7 m
B．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是0.8 s
C．0.6 s內(nèi)物塊運(yùn)動(dòng)的路程是0.2 m
D．t＝0.4 s時(shí)，物塊與小球運(yùn)動(dòng)方向相反
答案 AB
解析 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2.5π) s＝0.8 s，選項(xiàng)B正確；t＝0.6 s時(shí)，物塊的位移為x＝0.1sin (2.5π×0.6) m＝－0.1 m，則對(duì)小球h＋|x|＝eq \f(1,2)gt2，解得h＝1.7 m，選項(xiàng)A正確；t＝0.6 s＝eq \f(3,4)T，t＝0時(shí)刻物塊位于平衡位置，則0.6 s內(nèi)物塊運(yùn)動(dòng)的路程是3A＝0.3 m，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；t＝0.4 s＝eq \f(T,2)，此時(shí)物塊在平衡位置向下振動(dòng)，則此時(shí)物塊與小球運(yùn)動(dòng)方向相同，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

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2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述

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